需求依赖于库存水平下的风险规避型报童模型研究

【摘 要】论文重点研究了风险规避行为和需求依赖于库存对零售商订货决策的影响。无论需求与库存水平是正相关还是负相关关系，风险规避型报童模型的最优订货量都是有效的。一方面，当消费者的需求和零售商的库存水平负相关时，风险规避行为和需求对库存的依赖性对零售商最优订货量的共同影响是呈负相关的；另一方面，当市场需求和零售商的库存水平正相关时，二者对零售商最优订货的共同影响则取决于初始需求、需求对库存的敏感度和零售商风险规避程度。此外，论文讨论了风险规避和需求对库存的依赖对零售商最优订货量影响的相互作用。

【关键词】报童模型；风险规避；需求依赖于库存水平

【中图分类号】F202；F274 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2024）07-0060-04

1 引言

在现实中，零售商的库存水平通常会对消费者需求产生影响。例如，大量的库存可能预示着受欢迎的产品，从而吸引更多的客户购买。在这种情况下，消费者需求和零售商的库存水平呈正相关关系。库存对消费者需求的刺激作用已在运营管理文献中得到了广泛的研究，例如，Gerchak et al.[1]、Dana et al.[2]、郑梦等[3]对相关内容进行了研究。Urban[4]对这类研究文献进行了全面综述。

与此同时，Balachander et al.[5]从美国汽车行业观察到，汽车的相对稀缺性与较高的消费者需求相关，换言之，需求与零售商的可用库存负相关。运营管理（尤其是库存管理）文献中关于库存稀缺效应（即高库存水平对潜在需求产生负面影响）的研究相对较少。Sapra et al.[6]研究了并构建了一个有限期以及定期审查库存补充模型，模型中假设每个阶段性需求是关于前一个周期剩余库存的递减函数。Yang et al.[7]提出了一个有限期、定期审查的联合定价和库存管理模型，其中每个时期的需求与零售价格、期初可用库存水平负相关。

在上述研究中，通常会假设零售商是风险中性的，在作出订购（定价）决策时，倾向于最大化其预期利润。然而，并非所有决策者都会做出风险中立行为。其中，一些人可能规避风险，一些人可能追求风险。很明显，不同的风险态度会导致零售商作出截然不同的决策。在本研究中，主要探讨需求依赖于零售商的库存水平时的风险规避型报童模型。许多学者提出了风险规避型报贩模型，例如，Eeckhoudt et al.[8]、Gotoh et al.[9]、Chen et al.[10]、李胃胜等[11]、刘树人等[12]、邓杰等[13]。这些研究与本文研究的主要区别在于现有的研究通常假设需求是外生的，而本文假设需求依赖于零售商的库存水平。

当零售商为风险规避型决策者时，通过期望利润确定最优订货量不再是一个合适的衡量标准。在现有文献中，有许多关于风险度量的定量分析方法，如效用函数、均值-方差、下侧风险、风险价值VaR、条件风险价值CVaR、损失规避和一致风险度量等。在这些度量方法中，条件风险价值CVaR侧重于最大化低于某个分位数水平的平均利润，该分位数水平定义为特定置信水平下的最大利润。由于该措施同时考虑了回报和风险，因此，在文献中被广泛使用，如Gotoh et al.和Chen et al.的相关研究。本文也采用CVaR标准测度风险规避行为。

本文的研究目标是双重的：一是研究风险规避和需求依赖于库存对零售商的综合影响效应，以及风险规避和需求依赖于库存对零售商的订购决策所产生的影响；二是本文提出了一个简化模型，其可以探究需求对库存的正向依赖和反向依赖关系。

2 零售商的订货决策

本文以一个风险规避型零售商在一个时期内销售产品为研究对象，分别用p、c和r表示单位售价、单位采购成本和单位残值。通常，这些参数必须满足p＞c＞r＞0。本文假设需求依赖于零售商的库存水平，可以表示为：

D= α+βQ+ε （1）

式中，D是市场需求；α＞0，是独立于库存水平的初始需求；β∈（-1，0）∪（0，1），是需求对库存水平的敏感度；Q是零售商的库存水平；ε是分布在[A，B]的随机变量，其中A≥0及B＞0，f（·）和F（·）分别表示随机变量ε的概率密度函数和累积分布函数。当-1＜β＜0（或者0＜β＜1），表明零售商的库存水平和消费者需求呈负相关（或者正相关）。值得注意的是，β≤-1（或者β≥1）意味着零售商根本不会订货（或者将库存增加到无穷大），这两种情况都是没有意义的。因此，本文不考虑这两种极端的情况。本文采用条件风险价值CVaR测度零售商的风险规避行为，此时零售商的目标函数可以表示为：

命题1表明，在需求依赖于库存的条件下，风险规避型零售商最优决策存在的充分条件是β≤1-ηδ，δ＜1且η≤1，同时β≤1-ηδ＜1。很显然，式（5）中的最优订货量适用于需求和零售商的库存水平呈正相关或者呈负相关的情形。

随后本文研究了价格、成本和需求参数与风险规避型零售商的最优订货量之间的关系。由于市场需求和α、β呈线性正相关，可以推测，随着α和β逐渐变大，零售商会订购更多的库存，但是随着单位采购成本的增加，零售商可能会降低库存水平，因为利润率会降低。此外，当单位残值很大时，零售商将保持相对较高的库存水平。这些关系如以下命题所示：

命题2：风险规避型零售商的最优订货量Q■与单位成本c呈负相关，但是与单位产品的净产值r、初始库存α以及库存敏感系数β呈正相关。

3 关于风险规避和需求依赖于库存水平对最优订货决策的影响情况

推导出零售商的最优订货决策后，可以直观地发现市场需求对库存的依赖性和零售商的风险规避态度是如何影响零售商的最优订货量的，这部分将具体地分析风险规避和需求依赖于库存对最优决策的影响。在下文中，首先分别研究了需求依赖于库存和风险规避行为各自对最优订货决策的影响；其次讨论了二者对最优订货决策的聚合效应。

3.1 需求依赖对库存的影响

根据式（5）得出的结论，在需求不依赖于库存水平的情况下即β=0时，风险规避型零售商的最优订购量Q如下所示：

根据以上结论，可以发现当零售商为风险规避型决策者时，需求对于库存的依赖程度越高，零售商最优的订货量越大，反之则最优订货量越小。因此，当大量库存可以刺激消费者需求时，零售商自然会订购更多的商品以满足消费者的大量需求，从而达到利润最大化的目的。相反，当库存无法刺激消费者需求时，零售商会降低订货量，以此避免损失。在现有的研究中，当零售商是风险中立型决策者时，以上的结论同样是成立的。例如，Dana et al.的文章证明了当零售商是风险中立型决策者，库存水平与市场需求呈正相关时，库存水平的影响越大，零售商的最优订货量越大。而Yang et al.表明，库存水平与市场需求呈负相关时，库存水平的影响越大，零售商的最优订货量越小。在某种程度上，本文的研究可被视为对需求依赖于库存水平对零售商订货策略影响问题相关文献的补充和改进。

3.2 风险规避型行为对零售商最优订货的影响

当市场需求依赖于库存水平时，风险中性型零售商的最优订货量为：

以上结论表明，当需求依赖于库存水平时，风险规避型零售商的最优订货量小于风险中性型零售商的最优订货量。在市场需求与库存水平无关的情况下，Choi et al.[14]也得出了类似的结论。然而，Gotoh et al.证明，当考虑零售商的缺货惩罚时，需求与库存水平无关，同时，随机需求是呈现S-D分布的（可以参见Lau[15]的研究了解更多关于S-D需求分布的内容），风险规避型零售商会增加其订货量。这个结果与本文中的结论正好相反。但是，当考虑短缺惩罚成本且需求函数中的随机项（即ε）呈均匀分布时，风险规避型行为仍然导致零售商的最优订货量减少。Katariya et al.[16]提出，风险中立型和风险规避型零售商的最优订货量的比较取决于对模型中一些关键指标的假设，例如，需求分布、决策标准以及是否考虑缺货惩罚成本。

本文的研究结果验证了Katariya et al.的结论，并进一步提出，风险规避型和风险中立型零售商的最优订购量之间的关系可能取决于需求结构。

3.3 需求依赖于库存水平与风险规避型行为的综合影响

综合以上两部分的分析结果表明，当市场需求与零售商库存水平之间的关系为负相关时，市场需求对零售商库存的依赖和风险规避型行为都会导致零售商降低订货量。因此，聚合效应是非常明显的。与此同时，当零售商的库存水平与市场需求呈正相关时，需求对库存的依赖程度越高，零售商的最优订货量越大，而风险规避型行为会导致零售商订货量的减少。换言之，这两种不同条件状态下的结论正好相反。因此，本文的研究重点在于探究需求对库存的依赖和风险规避型行为对零售商的最优订货量的综合影响，或者，在这两种影响中哪一种因素能够主导另一种。

当需求与库存水平无关且零售商为风险中性型决策者时，即β=0且η=0，零售商的最优订货量为：

对于β∈（0，1）的情况，从命题5中看到，需求对库存的依赖性对零售商的最优订购量的影响取决于β、α和η。当η或β的值足够大时，可以发现在需求依赖库存水平的条件下，风险规避型零售商总是比市场需求不受库存影响且风险中立型零售商预定更多的商品。换言之，需求对库存的依赖性的影响主导了风险规避的影响。这是由于β和η分别捕获了需求依赖于库存和风险规避的影响。当价值较大时，库存对消费者需求的刺激作用较大。与此同时，当η值越大，意味着零售商的风险规避程度越低，因此，风险规避对于最优订货量的影响往往越小。

此外，当η和β的值越小时，需求对库存的依赖性的影响是否仍然占主导地位，还是由风险规避的影响占主导地位，这取决于初始需求的值。值得注意的是，β的值越小，对应于需求对库存依赖性的影响越小，而风险规避系数η越小，则对应于风险规避有较大的影响。当初始需求α较小时，在零售商的库存决策中，风险规避的作用比需求对库存的依赖性更为重要。与此同时，当初始需求α足够大时，需求对库存的依赖性和风险规避对零售商最优订货数量的影响相对较小。命题5的结果表明，在这种情况下，零售商

可能更关注需求对库存的依赖性，而不是风险规避行为的影响。

3.4 风险规避与需求对库存依赖影响的相互作用

本部分主要讨论需求对库存的依赖程度和风险规避对零售商最优订购量的影响之间的相互作用。以下结果可被视为命题5的补充。

4 结论

本文重点研究了风险规避和需求对库存的依赖对零售商库存策略的影响。本文首先推导了风险厌恶型零售商的最优订购量，当需求正或负依赖于零售商的库存水平时，该最优订购量是有效的。结果表明，需求对库存的正（负）依赖导致零售商订购量更多（更少），风险规避导致零售商减少订购量。当消费者需求与零售商的库存水平负相关时，风险规避和需求对库存的依赖对零售商的最优订购量的总效应为负。与此同时，当消费者需求和零售商的库存水平正相关时，总效应取决于初始需求、需求对库存的依赖程度和风险规避程度。最后，研究发现，当需求函数中的随机需求呈均匀分布，当零售商为风险规避型决策者时，需求对库存的依赖性减弱，而当需求依赖于零售商的库存水平时，风险规避程度降低。这些结果均适用于库存水平对消费者需求的正面或负面影响。当随机项呈指数分布，当消费者需求和零售商的库存水平正相关时，这些结果依然成立；当市场需求和零售商的库存水平负相关时，结果正好相反。

【参考文献】

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