基于“做数学”的初中代数教学实践研究

【摘要】“做数学”是以问题为导向，从数学实践、数学操作与数学活动入手，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考的一系列自主实践活动，从而总结出数学概念和数学规律.在初中代数教学中，通过“做数学”让运算法则具体化，从而使学生深刻理解法则的选择和原理，发展学生的运算能力；通过“做数学”让学生探究数学对象的本质属性，在深入体验概念的生成过程中深化概念理解.

【关键词】“做数学”；初中数学；教学实践

长久以来，人们基于“数学是高度抽象的思维活动”的认识，重视通过纸笔进行计算、分析、推理等静坐式的学习. 在教学过程中，普遍存在单一的教师讲授学生听讲模式. 在基础教育课程改革中，教育概念创新层出不穷，如“项目式学习”“深度学习”“大单元教学”等等，无不在突显学生的主体地位.正如《义务教育数学课程标准（2022年版》指出，强化课程综合性和实践性，推动育人方式改革，着力发展学生的核心素养［1］.“做数学”正是让学生通过观察实验、动手操作、分析思考中经历概念的理解、知识的发生发展、体系的建构，培养学生的独立思考能力，激发学生数学学习的兴趣，发展学生的核心素养.

1 “做数学”的内涵和意义

在新课程改革二十年的时间节点上，育人任务更为明确地落在了学科的肩上，由此驱动了更深层次的学科实践创新，“做数学”便是其中的一大代表［2］.

“做数学”不是人们日常所说的做数学题，而是以问题为导向，从数学实践、数学操作与数学活动入手，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考的一系列自主实践活动，从而总结出数学概念和数学规律.学生在教师的引导下，通过丰富的“做数学”的过程积累直接经验，从而总结出数学知识，再引导学生通过不断地修正加工和概括，将数学知识整理成数学概念或命题，从而建构完整的知识发生发展过程，建构结构化的知识系统.

在“做数学”的学习过程中，学生通过积极思考、实践操作、大胆猜测、小心求证、自主探索、合作交流等方式主动参与数学知识的发生、发展和形成过程，通过动手“做”而获得亲身感悟，激活高阶思维；学生的知识不是由老师直接告知，而是经由学生探究获得，给足学生时间进行感悟和思考，培养学生学习的热情和主动性，从而促进学生思维的发展和深度学习的实现. 基于“做数学”的深度学习能够引导学生将所学内容迁移到新情境中，综合应用所学数学知识去解决新问题.

2 基于“做数学”的代数教学实践研究

代数的核心思想是符号系统抽象和基于符号的运算及推理.代数的发展是以数为基础的，由字母代表数进行一般化，在符号化的过程，将现实世界的数量关系抽象而得到研究对象.由于代数的抽象性，在代数教学中普遍存在教师讲解概念和运算法则后学生则进行大量练习固化的教学模式；学习过程单一，没有营造环境让学生思考知识的内在思想，只关注对客观知识的记忆.越是抽象的科学，越要从实践中汲取营养和力量.同样，抽象知识的学习也要从亲身实践中获得体验，要从具体事例的共性、规律的认知入手［3］.“做数学”通过活动让抽象可视化，赋予抽象运算直观上的意义，从而使学生深刻理解法则的选择和原理，发展学生的运算能力；在代数概念的教学中，也可通过“做数学”探究数学对象的本质属性，在深入体验概念的生成过程中深化概念理解.

2.1 在“做数学”中将运算法则具体化

基于“做数学”的要求，运算法则的教学，首先要让学生感知法则由来的过程，通过亲身经历法则的探究过程，感受法则的合理性，同时渗透数学思想方法，或者掌握一类数学问题的研究路径. 在情境创造中，可以是从实际生活情境中抽象出算式，或者立足数学本身的观察归纳总结，但无论哪一种，都离不开学生亲历法则的获得过程.通过操作体验活动让抽象的运算可视化，赋予抽象运算直观上的意义，从而理解法则的发生与发展，在潜移默化中发展学生的核心素养，激活创新意识.

例如 人教版“1.3.1有理数的加法”这一课时教学过程中探究了加法法则，这是学生进入初中阶段以来接触的第一个运算法则. 先前新引入的负数对学生来说已经是比较抽象，这节课学生还需要从符号和绝对值两方面来进行运算结果的确定，这对他们来说是比较复杂的探究任务.教材即传统的教学设计采用让学生思考一个物体在数轴上两次运动的最后结果，写出相应的算式.基于“做数学”的理念，在实际教学中，可让学生用笔尖在数轴上的运动代替物体的运动，如下实验1：把笔尖放在数轴的原点，沿着数轴先向右移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“8”的位置上，接着实验2进行求两次向左的结果，由学生观察两次同向运动后表示结果的点在原点的左边、右边或者位于原点，以及表示结果的点与原点的距离，确定出两次运动的结果，概括出同号相加的法则，完成有理数加法中较简单情况的讨论.接着通过设计实验3和4提出讨论异号相加的讨论，让学生仿照同号相加的探究过程，自行完成异号相加的探究.通过笔尖的运动，丰富操作体验，让学生亲身经历两次连续运动的点的移动方向和距离对最后结果的影响.该实验人人都可上手操作，由形的变化到数的变化，为验证有理数的加法法则积累操作经验，体现了手脑协同的“做数学”理念.对于学习能力较强的学生，归纳出法则便可以通过步骤化“一定符号二定绝对值”直接运用，加快运算速度；而对于学习能力较薄弱的学生，在进行加法运算时，由于经历先前的操作环节，脑海中会建立具体的点的运动过程，从而提高运算的准确度，实现不同的学生得到不同的发展.此关键教学点的操作体验也为后续“有理数的乘法”提供了教学范式.

2.2 在“做数学”中将数学概念可视化

数学的研究对象来源于生活，数学概念也是基于对现实世界具有共性特征事物的概括.数学概念的教学直接决定了学生对数学问题本质的理解，概念教学普遍存在教师简单介绍概念，通过变式辨析概念的现象.上述模式的教学只停留在概念的机械学习或表层学习，学生没有经历概念生成的过程，无法内化概念知识，更不用谈促进学生思维的发展和深度学习.

早在20世纪90年代，陈重穆先生就提出“淡化形式，注重实质”的主张，他指出：“概念要靠直观演示、具体操作，使学生领悟.要通过学生实际去‘做’，具体去‘用’，加深领悟，才能逐步掌握”［3］.基于“做数学”的要求，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，学生在做中探索数学概念的自然生成，理解概念所需的“事实”，感悟数学概念产生的合理性和必要性，从而理解概念本质.

虽然数学概念都源于现实生活，但并不都是客观现实的存在. 比如，在代数方面，无理数似乎是实实在在的“数”，但其实不是学生容易理解的“事实”，学生对其存在性的感知还是存在一定困难的.

例如 以人教版“6.1平方根”教学中探究形如2的无理数为例，第一步，给学生两个面积为1dm2的小正方形纸片，要求学生通过裁剪拼成一个面积不变的新的正方形，展示学生的做法，预设如下两种方法.

法1

法2

第二步，提出问题：这个新的正方形的边长应该是多少呢？你能求出它的值吗？

第三步，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数可以用数轴上的点来表示吗？

教师引导学生将熟悉的π用数轴上的点来表示，如图1，即将直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上原先在原点的那点到达点O′，则点O′所表示的数便是π.学生类比探究将边长为1的等腰直角三角形放在数轴上，如图2，从而借助圆规在数轴上表示±2.

本设计通过让学生动手操作拼接正方形真切感受到正方形边长2的客观存在性，也感受到了它的大小，然而学生在求解边长的过程中发现无法用现有学过的数来表示，引发学生的认知冲突，调动学生学习的积极性，激发学生的数学思考. 接下来让学生经历在数轴上确实可以找到表示这些数的点，进一步感知这类数的真实存在性，感悟数学概念产生的自然性和必要性. 两次操作体验，都是基于学生的现有认知，不仅让学生主动参与到学习活动中，达到印象深刻的目的，同时让学生亲历知识的发生发展过程，真切感知到这类好似摸不着的数的真实存在，体验数学问题来源于现实世界，激发了学生学习的兴趣，培养了学生的核心素养.

3 关于“做数学”的几点思考

教师要更新教育理念，认识到“做数学”是以学生为本的重要落实方式，能够有效促进学生的深度理解，培养学生的高阶思维，实现学科育人，从而落实立德树人的根本任务.

3.1 培养学生的高阶思维

学生在“做数学”的活动中经历完整的探究过程，将自己发现的结果转化为数学知识，在归纳和总结中探究事物本质和规律，既让学生充分理解数学知识，也进一步激发学生学习数学的兴趣和热情.在“做数学”的过程中，学生学会贯通思想方法，在进行充分思考的过程中激发学生的深层质疑；同时调动了好奇心和学习热情，这些积极的情感体验是激发灵感的强大动力，从而发展学生的创新思维，激活了学生的高阶思维，实现数学创造.

3.2 实现学科育人

“做数学”使用的是体验式学习方式，学生在操作体验中获得亲身感悟，在充分经历“感知—感悟—知识”的过程中［4］，建立已有经验与未知经验之间的联系，从而更容易将所学内容迁移应用到新情境中，综合运用所学数学知识去解决问题. 这种数学学习方式的改变，使得学生像数学家一样去思考，在理解数学知识解决数学问题的过程中，实现全面发展.学生在“做数学”的过程中调动了多种感官参与数学认知活动，手要动，眼要看，口要说，脑要思考，启迪了心智；学生主动参与了探究过程，充分发挥学生的主体性作用，激发学生学习的兴趣，同时培养了学生的合作精神和探索精神，实现了学科育人价值.

【本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“基于‘做数学’的初中数学深度学习教学实践研究”（课题编号：FJJKZX22-295）的阶段性成果】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］董林伟.走向学科育人：“做数学”的时代建构与实践创新［J］.教育发展研究，2021（08）：7-16

［3］章建跃.“做数学”的育人价值探讨［J］.教育研究与评论，2021（03）：27-29.

［4］郭庆松.在“做数学”中促进深度理解［J］.教育研究与评论，2021（03）：30-35.