经历概念形成，促进概念理解

【摘要】数学概念是整个数学知识结构的基础，有了概念才可能进行数学推理、判断及论证.数学概念的教学是整个数学教学的重要环节，怎样让学生获得概念、明了概念的内涵与外延是教师概念教学的关键.本文以初中数学二次函数的概念教学为例，对二次函数概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的运用的教学理念和教学策略进行阐述.

【关键词】二次函数；概念教学；初中数学

1 概念的形成——合作探究，形成概念

二次函数是初中阶段学生学习了一次函数、反比例函数之后，要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型.在二次函数的概念教学中，本文在结合学生已学函数的认知经验的基础之上，采取渐进式的方式，让学生从实际问题中通过类比并抽象出二次函数模型，进而自然而然地形成二次函数的概念.

例1 （1）已知一个正方形的边长为a，它的面积为S，则S与a之间的关系为________.

（2）若福建与深圳铁路总长大约1400km，若一趟列车从深圳开往福建，每小时运行速度为vkm，运行了t小时，则v与t之间的关系为________.

（3）现有一个矩形的邻边之和为10，若其中一边为x，矩形面积为y，则x与y之间的关系为________.

（4）如图1，现有一个正方形的边长为a ，若在正方形的四个角都减去边长为1的小正方形，若剩下的面积为S，则S与a之间的关系为________.

（5）李明去购买一批单价为50元的服装，当他购买x件时，他应付商店的费用为y元，则y与x之间的关系为________.

师 上面的问题中哪些是变量？它们构成函数吗？它们中有我们已学的函数吗？是否有新的函数存在？

生1 有变量，如a，x，y，S等.

生2 存在函数，如y随x的变化而变化，S随a的变化而变化等.

生3 有我们所学的正比例函数、一次函数、反比例函数.

生4 有新的函数，既不是一次函数，也不是正比例函数和反比例函数.

师 请你观察新的函数，概括新的函数特征，并用一般形式和条件来表示它.

生 y=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c为常数）.

2 概念的理解

概念的理解是一个辨别和运用的过程，必须揭示其本质特征，进行逐层剖析.其次，通过对概念的理解，可以加深、巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维能力.对概念的深化理解需要注意以下两点.

2.1 概念的辨别——概念辨析，加强理解

有的概念叙述简练，寓意深刻，对于这类概念，必须深刻揭示概念中关键词、句的真实含义.对二次函数概念的理解要注重以下几点：（1）它与正比例函数、一次函数和反比例函数都是初中所学的基本初等函数；（2）形式上区别于其他，函数必须满足y=ax2+bx+c；（3）注重一般式中常数a，b，c的条件.

例2 下面各函数中，哪些是二次函数？如果是，请写出它的a，b，c，若不是，请说明理由.

（1）s=－12+3t2；

（2）y=－2x；

（3）y=22+x；

（4）y=－12x2；

（5）y=x－12－x2.

学生完成后，教师投影学生的做题情况并确定答案，并进行以下教学活动.

师 谈谈（1）和（4）中的函数为什么是二次函数？说说你的理由.

生1 问题（1）可以写成一般形式“s=3t2－12”再来判断，满足自变量x的最高次数为2，其中a=3，b=0，c=12

生2 问题（4）符合y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），其中a=-12，b=0，c=0.

师 谈谈问题（2）（3）（5）中的函数为什么不是二次函数？

生1 问题（2）中的函数是反比例函数.

生2 问题（3）中的函数自变量最高次数不为2.

生3 问题（5）中的函数化简后不满足自变量最高次数为2的条件.

师 通过以上问题，说说你的收获.

生 判断的依据是在建立在二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c为常数）的前提下，注重它的形式和条件必须同时满足，同时要区分初中已学的其他函数.

2.2 概念的理解——小组合作，概念深化

概念的教学在整个数学教学中是重点，也是难点，概念教学的过程中不能仅仅停留在知识的讲解层面，需帮助学生理解概念的本质，通过基本概念的正用、反用、变用等，促进学生对概念的理解.

例3 已知如图2，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，动点P从B点出发以每秒2cm的速度向C运动，与此同时，动点Q从C点出发以每秒1cm的速度向A运动，当运动时间为x秒时（当其中一点达到时另一点立即停止运动），△PCQ的面积为ycm2.

（1）请写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范值；

（2）请填写表1.

教师安排学生们完成第（1）问，并请学生F在黑板上写出y与x的函数关系式并讲解.

师 这是什么函数？你是怎么发现的？自变量的取值范围又是怎样的？

生1 是二次函数.

生2 可以通过化为函数一般式来判断.

生3 可以通过函数关系式发现，由两个一次自变量x相乘取得.

生4 依题意可得自变量的取值范围0<x≤4.

师 填写完表1，谈谈随着x的变化，y是如何变化的？通过变化规律，你能发现什么？

小组代表 我们可以发现：（1）y随x的变化先变大后变小；（2）y有最大值；（3）它的图象不是直线.

让学生充分体验二次函数模型思想，也让学生进一步加深对二次函数概念的理解，即由两个一次自变量相乘取得，让学生有所获，更有所悟.另外，通过x和y的值变化情况了解自变量和因变量之间的变化规律，为后续函数的性质的学习做好准备，同时通过让学生归纳总结初步感知二次函数的用途，明确学习目的（解决生活中的最值问题）.

3 结语

通过上述这种开放性问题的设计能很大程度上促进孩子对概念的理解，以及提高学生学习数学的兴趣，同时让学生把二次函数和一元二次方程自然地联系起来，起到了承上启下的作用.

参考文献：

［1］史宁中.数学课程标准［M］.北京：北京师范大学出版社，2011.

［2］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2006.