反比例函数与一次函数综合问题的解题策略探讨

【摘要】在数学的学习中，反比例函数与一次函数的综合问题常常是重点和难点，这类问题具有较强的综合性和灵活性，能够充分考查学生对函数知识的掌握程度和运用能力．本文深入探讨反比例函数与一次函数综合问题的解题策略，希望能为广大学生提供有益的参考．

【关键词】反比例函数；一次函数；解题策略

1 反比例函数和一次函数在几何问题中的应用

例1 已知反比例函数y1=k1xk1≠0与正比例函数y2=x相交于A，B两点，A点横坐标为2，如图1．

（1）k1=________；当y1>y2，x取值范围是________．

（2）若A点坐标为a，b，则B点坐标为________.（用a，b表示）

（3）将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接BD，BC，求△BCD的面积．

解析 （1）因为A点横坐标为2，

所以y=2，即A2，2，

所以2=k12，即k1=4.

因为点A和点B关于原点对称，

所以B－2，－2，

由图像可知，y1>y2时，0<x<2或x<－2.

（2）因为点A和点B关于原点对称，A点坐标为a，b，

所以B点坐标为－a，－b.

（3）由题意可得CD：y=x－3，

所以E0，－3，

所以OE=3，

联立得y=x－3y=4x，

即x2－3x－4=0，

解得x1=4，x2=－1，

所以C4，1，D－1，－4，

过点B作BI∥y轴交CD于点I，如图2，

则I－2，－5，BI=3，

△BCI的高为6，底为3，△BDI的高为1，底为3，

所以S△BCD=S△BCI－S△BID=12×3×6－12×3×1=152．

解题策略 本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．第（1）问中，把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；根据反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即可写出x的取值范围．第（2）问中，根据点A和点B关于原点对称即可得点B的坐标.第（3）问中，过点B作BI∥y轴交CD于点I，由条件可求得D，C的坐标，用△BCI的面积减去△BDI的面积即可求出△BCD的面积．

2 运用反比例函数与一次函数解决实际问题

例2 某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃．玻璃温度y℃与时间xmin的函数图象如图3所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）

（A）玻璃加热速度为120℃/min．

（B）玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为y=600x．

（C）能够对玻璃进行加工的时长为1.8min．

（D）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为80min．

解析 因为600÷4=150℃/min，

所以玻璃加热速度为150℃/min，故（A）选项不合题意；

由题意可得，4，600在反比例函数图象上，

设反比例函数解析式为y=kx，

代入点4，600，可得k=2400，

所以玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y=2400x，故（B）选项不合题意；

设玻璃温度上升时y与x的函数关系表达式为y=k1x，

由题意可得，4，600在正比例函数图象上，

代入点4，600，可得k=150，

所以玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是y=150x，

所以将y=480代入y=150x，得x=3.2，

所以将y=480代入y=2400x，得x=5，

所以5－3.2=1.8min，

所以能够对玻璃进行加工的时长为1.8min，故（C）选项符合题意；

将y=30代入y=2400x得，x=80，

所以80－4=76min，

所以玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为76min，故（D）选项不符合题意．

解题策略 本题考查了反比例函数和一次函数在实际问题中的综合应用，读懂函数图象，获取信息是解决本题的关键．0～4min内，温度随时间成正比增加，可求出k的值，再结合4min时的坐标值可求出反比例函数的解析式，根据图象中的数据逐项分析求解即可．

3 结语

总之，反比例函数与一次函数综合问题的解题需要学生具备扎实的基础知识、良好的分析问题和解决问题的能力．通过不断的练习和总结，学生能够逐渐掌握解题策略，提高解题水平，更好地应对这类复杂的数学问题．同时，教师在教学过程中也要注重引导学生掌握方法，培养学生的思维能力和创新精神，使学生在数学学习中不断进步．希望本文的探讨能对广大师生在解决反比例函数与一次函数综合问题时提供有益的帮助．

参考文献：

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