初中数学翻折模型的中心条件与解题思路

【摘要】初中数学教学中，翻折模型作为几何学习的重要内容之一，旨在培养学生的几何思维和问题解决能力.本文以初中数学教学中的翻折模型为研究对象，探讨了其解题过程中的中心条件与思路.研究发现，翻折模型的教学不仅仅是为了掌握具体的解题方法，更重要的是培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和问题解决能力.

【关键词】初中数学；翻折模型；中心条件；解题思路

1 引言

初中数学作为学生学习的重要学科之一，在培养学生的逻辑思维和解决问题能力方面发挥着重要作用.其中，翻折模型作为数学教学中的一个重要内容，旨在通过几何图形的折叠和全等性质的运用，培养学生的空间想象能力和几何推理能力［1］.笔者将以一道例题进行探究，以“全等性”“对称性”为该类题目中心条件和破题关键，以“根据全等性和已知条件确定所有已知量，设出未知量，在同一个图形内构造等量关系，解出未知量”为该类题的一般解题思路，通过合理引导学生运用全等性质，提升学生的问题解决能力和数学思维水平.

2 翻折模型的概述

翻折变换，亦称折叠问题，其本质是一种轴对称变换.在几何学中，折叠操作将图形沿某一条直线（称为折痕或对称轴）进行翻折，使得折叠前后的图形部分或全部重合.学生在解题过程中，需要时刻牢记翻折模型的具体性质，即：折叠前后图形的形状和大小保持不变，但位置会发生改变；折叠过程中，对应边和对应角保持相等.这些性质为学生解决折叠问题提供了重要的理论依据.

在解决实际问题时，面对较为复杂的折叠问题，学生可以通过实际操作图形的折叠来寻找图形间的关系.这种方法有助于学生直观地理解问题，从而找到解题的突破口.学生还需要明确折叠和轴对称所能提供的隐含条件，并充分利用这些条件.通常，可以设要求的线段长度为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他相关线段的长度.然后选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程，进而求解出x的值.在运用方程解决问题时，学生应认真审题，确保设定的未知数正确无误.同时，要注意分析题目中的已知条件和所求目标，将实际问题转化为数学模型，再通过数学方法求解.在此过程中，熟练掌握折叠和轴对称的性质，以及灵活运用勾股定理等几何知识，是解决折叠问题的关键.总之，掌握折叠问题的解题方法，不仅有助于提高学生的几何解题能力，还能培养学生的空间想象力和逻辑思维能力.

3 试题呈现

如图1所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为________.

4 思路分析

本题运用倒推法，若需要求出tan∠DAE，由于已知BC=5，则可得到AD=5，故只需求解DE的长度即可.尝试利用“根据全等性和已知条件确定所有已知量，设出未知量，在同一个图形内构造等量关系，解出未知量”的一般解题思路进行求解.首先，根据全等性，可知AF=5，因此可求BF的长度，同时满足全等性的还有EF=DE.设未知量为DE的长度x，则不难发现，在△CEF中，可以根据勾股定理进行等式构建，从而解出未知量.

而本题还可根据“对称性”这一中心条件，进行简化求解.可以连接D、F两点，根据对称性，可知对称轴与连线垂直.因此根据相似三角形，可将tan∠DAE等价于tan∠FDE，如此一来，便不需要设未知量即可求解［2］.

5 解题探究

解法1 一般思路

如图1，由翻折变换可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF=AF2－AB2=52－32=4，因此FC=BC－BF=5－4=1，设DE=x，则EF=x，EC=3－x.

在Rt△EFC中，由勾股定理得12+（3－x）2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD=535=13.

解法2 升阶思路

如图2，连接D、F两点，交AE于点O，则根据对称性，对称两点的连线垂直于翻转轴，则AE⊥DF.由于∠ADE=∠DOE，∠AED=∠ADO，所以∠DAE=∠ODE，因此tan∠DAE=tan∠ODE=tan∠FDC，此时可根据解法1中结论得到FC=1，又因为CD=3，所以tan∠DAE=13.

6 解后反思

在本文的探讨中，笔者深入研究了翻折模型在初中数学教学中的重要性和应用.翻折模型的教学不仅仅是为了让学生掌握具体的解题方法，更重要的是培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和问题解决能力［3］.通过对翻折模型的研究和实践，学生在解决翻折模型问题时，需要灵活运用全等性质，构造等量关系，建立方程，进行推理和论证，从而培养了他们综合运用数学知识的能力.在教学实践中，笔者还发现了一些问题和挑战，比如学生对于全等性质的理解和应用存在困难，需要通过实例分析和模型演示来帮助学生理解.同时，教师在引导学生解题过程中需要不断激发学生的求知欲和探索精神，鼓励他们尝试不同的解题方法，培养他们的数学思维能力.翻折模型的教学既考验着学生的数学能力，也考验着教师的教学水平和教学方法.通过不断地探索和实践，学生可以更好地引导学生掌握翻折模型的解题技巧，提升他们的数学素养，培养他们综合运用数学知识解决实际问题的能力.

参考文献：

［1］单小燕.初中数学解题教学策略探析——以“勾股定理中的翻折问题解题教学”为例［J］.数学之友，2023，37（04）： 47-48+52.

［2］沈颖.初中数学勾股定理中的翻折问题［J］.现代中学生（初中版），2022，（22）：3-4.

［3］刘钰.初中数学解题课教学策略课例分析——以“勾股定理中的翻折问题”解题教学为例［J］.中学数学，2021，（10）：8-9+13.