数形结合，以简驭繁

【摘要】以2022年舟山市中考压轴题第（3）小题为例，结合四大数学思想，化繁为简，聚焦二次函数的图象性质与不等式的精妙运用，构思多种解题思路，利用几何画板作图分析研究，旨在让学生领略数学的无穷魅力，以培育思维的灵活性和发散性.

【关键词】一题多解；二次函数；不等式

1 原题再现

（2022舟山）已知抛物线L1：y=a（x+1）2－4（a≠0）经过点A（1，0）.

（1）求抛物线L1的函数表达式；

（2）将抛物线L1向上平移m（m>0）个单位得到抛物线L2，若抛物线L2的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线L1上，求m的值；

（3）把抛物线L1向右平移n（n>0）个单位得到抛物线L3，已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t>6时，都有s>r，求n的取值范围.

由于前两题比较容易求解，所以着重探讨第（3）小题的解法.

前两题的参考答案：（1）y=（x+1）2－4.（2）m=4.

2 解法剖析

本题有关于二次函数的性质及不等式的综合应用，要求学生掌握二次函数、不等式的基础知识，考查学生的数学运算和逻辑推理能力，下面通过三种解题思路进行分析讨论.

解法1 由s>r列出不等式，解不等式.

将P，Q代入得：s=（8－t+1－n）2－4，

r=（t－4+1－n）2－4.

因为s>r，

所以（8－t+1－n）2－4>（t－4+1－n）2－4，

移项得：（8－t+1－n）2－（t－4+1－n）2>0，

化简得：（－2n+6）（－2t+12）>0.

因为t>6，

所以－2t+12<0，

所以－2n+6<0，

所以n>3.

类似于作差法比较大小，求解过程中，由于代数推理过程比较复杂，学生容易犯错.尤其是在判断两式相乘大于零，两式应该同号时，更容易出错.

解法2 数形结合，利用二次函数轴对称的性质.

学生可直接利用草稿纸画曲线草图进行辅助分析，下面采用几何画板绘图观察函数图象特征，可知抛物线开口向上.

P，Q所成线段中点的横坐标恒为2；当抛物线的对称轴与直线x=2重合时，s=r，见图1；

当抛物线的对称轴在直线x=2左侧时，s<r，见图2；当抛物线的对称轴在直线x=2右侧时，s>r，见图3.

观察发现，当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点，其图象就越低，函数值越小.已知s>r，我们只需要保证函数的对称轴x=n－1在直线x=2右侧即可，由此得出n－1>2即n>3.

我们的第二种解法就是通过几何画板建模，应用分类讨论的思想绘出符合题意的函数图象，在这个过程中逐步锻炼培养学生的分析能力、逻辑推理能力，一目了然地求解出不等式条件下参数的取值范围.

3 变式拓展

在进行一题多解的探究后，教师还可进一步引导学生提出新问题，在原有基础上改编题目，进一步验证方法的可行性.

变式1 已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）在抛物线y=－（x+1－n）2－4上，若当t>6时，都有s>r，求n的取值范围.

分析 同样应用几何画板进行图象分析，抛物线开口向下.

P，Q所成线段中点的横坐标恒为2；

当抛物线的对称轴与直线x=2重合时，s=r，见图4；

当抛物线的对称轴在直线x=2左侧时，s>r，见图5；

当抛物线的对称轴在直线x=2右侧时，s<r，见图6.

同样可以得出，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，其图象就越高，函数值越大.因此该题目同样可以通过对称轴快速找到n的取值范围，n-1<2即n<3.

在讨论清楚二次函数图象开口向上和向下这两种情形后，我们将之合二为一，得到新的变式拓展题.

变式2 已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）在抛物线y=（2－n）x2+x+1上，若当t>6时，都有s>r，求n的取值范围.

分析 当2-n出现在二次项的时候，需要分类讨论它与0的大小关系，进而确定抛物线的开口方向，再利用数形结合去分析图形特征.

解 当2—n>0时，

—12（2-n）>2；

当2—n<0时，

—12（2-n）<2.

综上：n>94.

通过对中考压轴题和变式题的分析，归纳出这类题目的解题通法：找到抛物线的对称轴以及已知点所成线段中点的横坐标，结合二次函数图象开口方向，利用对称轴结合题目当中的已知条件列出不等式，最后解不等式求出答案.

4 结语

从上述试题探究可知，在用代数方法求解复杂问题比较困难时，学生可以通过绘制图象，将抽象的数学关系具象化，更直观地理解问题，从而简化问题并找到新的解题思路.