关于一次函数中k值妙用的探究与思考

[摘 要] 一次函数的k值是研究其图象的重要参数，在解题中有着一定的妙用，可以极大地简化解题过程，降低思维难度. 文章从三大视角进行k值妙用探究，结合实例探索构建思路，并提出相应的教学建议.

[关键词] 一次函数k值;特殊角;几何变换

一次函数y=kx+b（k≠0）中的k是其重要的特征参数，影响着直线的变化趋势，是研究直线特性的重要参数. 实际上我们可以妙用一次函数的k值解题，下面结合实例具体探究，并总结方法思路.

关于k值妙用的探究

对于一次函数k值妙用的探究，需要关注两点：一是关注应用内涵的解析，探索应用策略;二是关注k值应用的示例探究，精选问题，探索应用过程. k值妙用主要有三种类型，包括与特殊角的关系、与几何运动规律的结合、隐含k值关联，下面分类探究.

1. 应用k值探索特殊角

一次函数的k值与特殊角之间有着一定的关联，把握两者的关系，可以简化解析过程. 具体关系如下：当k=±1时，直线与x轴的夹角为45°;当k=±时，直线与x轴的夹角为30°;当k=±时，直线与x轴的夹角为60°.

例1 图1所示为一次函数y=x+2的图象，与x轴、y轴分别交于点A和点B，将直线AB绕点B顺时针旋转30°，交x轴于点C，则线段AC长为______.

分析：本题目中给定了一次函数的解析式，对直线AB进行旋转，求解相关线段长. 已知一次函数解析式，且k=1，解析时可以妙用其与特殊角的关系，即当k=1时直线与x轴的夹角为45°，从而确定几何角的大小.

解析：已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，由一次函数的k=1，可得∠ABO=45°，△OAB为等腰直角三角形. 结合一次函数解析式可得点A（-2，0），B（0，2）. 在Rt△OAB中，利用勾股定理可得AB==4.

过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1的虚线所示，由于∠CAD=∠OAB=45°，则△ACD为等腰直角三角形，可设CD=AD=x，则AC==x. 由旋转的性质可知∠ABC=30°，BC=2CD=2x，所以BD==x. 又可得BD=AB+AD=4+x，所以4+x=x，可解得x=2+2，所以AC=x=2+2.

评析 上述解析线段长问题时，用到了一次函数k值与特殊角的关系，即直接根据k=1求出∠ABO=45°，这是解题的关键.

2. 应用k值与几何运动规律的关系

几何运动问题在初中数学中十分常见，涉及平移、翻折、旋转，实际上一次函数的k值与几何运动之间存在一定的规律，可以利用其规律直接推导. 如直线平移过程中，一次函数的k值不变;直线关于坐标轴或平行于坐标轴的直线翻折时，翻折前后的k值互为相反数. 而不与x轴平行或垂直的直线经90°旋转，前后两直线的k值乘积为-1.

例2 如图2所示，在平面直角坐标系中，已知点P（2，2），点C在y轴正半轴上，连接PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD=4AD，直线CD与直线OP交于点Q，试回答下列问题.

（1）求解点Q的坐标;

（2）求解直线PC和PD的解析式.

分析：本题目为与几何综合题，涉及了几何直线旋转. 第（1）问求解点Q的坐标，需要进行几何分析;第（2）问则求解两直线的解析式，可以把握两者解析式k值的关系，即乘积为-1，简化解题过程.

解析：（1）当点D在直线OP的下方时，过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F，如图3所示.

已知AB⊥OB，则∠OBF=∠EOB=∠FEO=90°，可知四边形EOBF是矩形. 已知点P（2，2），则OE=PE=BF=2. 因为∠CPD=90°，则∠CPE+∠DPF=90°，∠ECP+∠CPE=90°，可推得∠ECP=∠DPF.

在△CPE和△PDF中，有∠PEC=∠PFD，

∠PCE=∠DPF，

PC=PD，可证△CPE≌△PDF（AAS），所以DF=PE=2，则BD=BF+DF=4. 因为BD=4AD，可得AD=1，AB=OB=5，则CE=PF=3，可求得D（5，4），C（0，5）. 利用待定系数法可求得直线CD的解析式为y=-x+5，从而可得点Q

，.

当点D在直线OP的上方时，参考上述方法，可得C（0，3），D（3，4），利用待定系数法可求得直线CD的解析式为y=x+3，从而可得点Q

，.

（2）由第（1）问结论可知，当点D在直线OP的下方时，有D（5，4），C（0，5）. 又知点P（2，2），利用待定系数法求得其解析式为y=-x+5. 由于直线PC与PD垂直，则有k=，直线PD的解析式为y=x+.

当点D在直线OP的上方时，有C（0，3），D（3，4），结合点P坐标，利用待定系数法求得其解析式为y= -x+3. 直线PC与PD垂直，则可推知k=2，直线PD的解析式为y=2x-2.

评析 求解两线的解析式时，充分利用了垂直直线之间k值的关系，简化了解题过程. 对于与x轴平行的直线，此时k=0，旋转90°后，恰好与y轴平行，此时不存在k，这一点需要注意.

3. 应用k值的隐含关系

在一次函数中还存在k值的隐含关系，如与正切值的关系，即k=tanθ，θ表示直线与x轴的夹角. 而在坡度问题中，k与坡度角之间也存在一定的联系. 探究解析时，可充分利用其隐含关系，构建点、线、角与k值的联系.

例3 已知点A（4m，3m），且m>0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP=5，则△PAB周长的最小值为______.

分析：本题目求解三角形周长的最小值，总体上需要分两步进行：第一步，探究解析，确定最值情形;第二步，求解线段长，确定周长最值. 而求解线段长时，可以充分利用一次函数k值的隐含关系，直接转化推导.

解析：如图4所示，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E、点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H.

由题意可知点P关于OA，OB的对称点分别为点E、点F，所以OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB，AP=AE，BP=BF. 因为△PAB周长=AP+BP+AB=AE+BF+AB，分析可知当点A、点B、点E、点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF.

因为∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB，所以∠EOF=2∠AOB. 由于OE=OF=5，OH⊥EF，则EH=FH，∠EOH=∠EOF=∠AOB，由于点A（4m，3m），则直线OA的解析式为y=x，其中k=，所以tan∠AOB=k=. 进而可知tan∠EOH==，且OE=5，所以EH=4，EF=8，即△PAB周长的最小值为8.

评析 上述求解三角形周长的最小值，实则为“轴对称—最短路径问题”. 解析的关键有两点：一是构建最值模型，确定最值情形;二是转化求解其中的线段长，解析时需要利用一次函数k值的隐含关系，直接推导角度的正切值，求得线段长.

关于解题的教学思考

上述结合实例深入探究了一次函数k值的妙用，分别从特殊角、几何变换、隐含关系三大视角进行剖析，总结了相应的知识规律，形成了转化应用的具体思路. 下面笔者将结合教学实践进行反思，提出相应的教学建议.

1. 强化定义公式，构建知识关联

上述围绕一次函数的k值开展应用探究，与几何特殊角、正切值、动态几何构建了知识关联，形成了相应的转化思路. 教师可以分三个阶段教学：阶段一，概念定义公式教学，指导学生理解k值的概念、几何意义，以及求解的具体公式;阶段二，探索与k值相联系的知识，如由直线与x轴的特殊角直接求k值、相关角度的正切值;阶段三，引导学生进行知识关系梳理，构建完整的知识体系，形成关联网络. 阶段性教学中教师需要立足教材的知识定义，引导学生开展探究分析，领悟定义本质，掌握知识要点.

2. 注重应用探究，梳理构建思路

对于一次函数k值的妙用探究，需要围绕其知识关联从上述三大Fn5I6hVkXJV6KNZc1UzLBw==视角进行，即与特殊角的关系、与动态几何的关联及常用的隐含关系. 而在应用探究中需要注意三点：一是注意应用的知识解读，分析知识关联，形成常规的解题策略;二是注意结合实例引导探究，探究中可分为“解题分析”与“过程详解”两个阶段，引导学生分析解题方法，探索k值妙用，呈现构建过程，掌握构建思路;三是注意解后反思总结，总结应用过程、转化思路、构建策略，教师可适度点拨，引导学生思考应用转化的思路.

3. 合理渗透思想，提升综合素养

一次函数k值妙用的探究过程中涉及了众多的思想方法，以上述探究问题为例，其中隐含了构造、化归转化、数形结合、分类讨论思想. 教师要注意开展思想方法教学，渗透数学思想，于潜移默化中提升学生的综合素养. 对此，教师可分为三个阶段教学：一是思想方法定义教学，指导学生理解其思想内涵;二是解题应用渗透教学，指导学生应用数学思想解题，掌握构建思路;三是开展数学思想解题反思，思考其应用价值，同时适度拓展，提升学生思维的灵活性. 思想方法能力提升是一个长期过程，教师应注意合理设计教学环节，引导学生理解方法精髓，让学生逐步掌握其构建策略.

写在最后

上述围绕一次函数k值的妙用从三个方面进行解题探索，形成了k值转化应用的方法策略. 探究教学中，教师要注意精选问题类型，突出转化构建过程，引导学生分析思路. 归纳、总结，让学生充分理解知识.