立足数学实验 发展抽象素养

[摘 要] 数学抽象是促使学生形成理性思维的基础，是数学核心素养的六大要素之一，对学生个体的发展具有重要价值. 数学实验的开展，可有效促进数学抽象素养的发展. 文章主要从如下几方面展开探索与思考：以实验的“做”，促进抽象素养发展;以实验的“思”，促进抽象素养提升;以实验的“引”，催生抽象方法形成;以实验的概括，促进抽象能力发展.

[关键词] 数学实验;抽象;素养

学科核心素养是连接宏观教育与个体发展的桥梁，抽象素养作为核心素养的重要组成部分，受到广大教育工作者的关注. 在“互联网+”的时代，如何立足于数学实验，发展学生的数学抽象素养呢？这是为社会培育高素质创新人才必须思考的现实问题. 研究发现，学生通过手脑并用的数学实验活动，可在“做”的支架下开展学习，提升学力. 同时，在实验过程中，学生借助相关工具进行实操，通过观察、分析与思考发现研究对象所存在的数学规律.

以实验的“做”，促进抽象素养

发展

初中阶段的学生依然以直观形象思维为主，但初中阶段所涉及的数学概念、定理、法则等却越来越抽象，导致不少学生难以从直观的角度去理解与应用. 数学实验的介入，让学生通过手脑共同协作来“做”数学. 实验的过程离不开学生积极主动的参与，学生在“做中学”，可获得更多思考与感悟.

从概念教学的角度来分析，教师根据概念特征与学生的认知发展规律与水平设计实验活动，不仅能让学生在实验过程中理解概念，还能借助实验揭露知识本质，提炼数学思想，对概念形成深刻理解. 纵观学生在实验加工后的练习反馈情况，不难发现实验所揭露的是最原始的现象，因此能带给学生更直观的视觉冲击，促使学生获得更深刻的理解与感悟.

数学知识与现象往往就在实验的辅助下，经历由具体到抽象的发展过程，学生的思维也因此得以发展. 同时，数学练习缺乏直观性，对学生的思维要求较高，学生从单纯的练习训练中难以发现数量间的关系的常规结构与一般规律，这也是需要关注数学实验的重要因素之一.

案例1 “有理数的加减法”的教学.

本章节设置一个实验活动，意在帮助学生通过实验操作抽象有理数加减运算的规律，达到深度理解、灵活应用的目的.

实验过程：如图1所示，若以数轴原点为起点，朝向数轴的左侧数5个单位长度，停顿之后再向数轴的右侧数3个单位长度，最终停留在数轴上“-2”处.

列式为：（-5）+（+3）=-2.

分析：在数轴上数数，属于一次以物理现象为背景的数学抽象过程. 实验中的“左、右”的本质为“意义相反的两个量”，因此这是一次“数到数量”的抽象，两次连续运动的活动实现了“数量关系——加法运算”的抽象. 在亲身操作演示中，学生自然而然地借助实验来描述算式. 此过程彰显了特殊到一般的思维历程，凸显了数学探索中常用到的由一个延伸到一类的方法，此为提炼事物属性的基本方法，对发展学生的抽象素养具有重要意义.

此实验过程，让学生对数量间的关系产生了明确认识，实现了从具体事物抽象出普遍一类事物的一般规律，并用数学语言来描述相应的数学现象. 因此，数学实验活动的开展是发展学生“三会”能力的基础，反映了数学抽象的概括性与一般性等特征. 学生通过实验充分感知了数学抽象的层次发展情况，即从肉眼直接观察到用数学符号进行表征. 通过实验实现“做中学”，真正发展了学生的抽象素养.

以实验的“思”，促进抽象素养

提升

所谓的数学实验，指借助一定的技术手段，实施数学化的实操过程，学生对研究对象的数学化特征实施抽样、观察、测试等，从而有效解决问题的一种科学方法. 简而言之，数学实验就是在一定工具与数学思维的辅助下，学生动手、动脑开展活动的过程. 从实操到数学语言、符号的表征，是数学思维化的过程，这也是实现数学抽象，从直观操作到深入问题核心的过程.

数学实验从事物表象到数学问题的提出，凸显实验所展示问题的特殊属性到一般共性，揭示数学抽象过程循序渐进的发展. 学生的思维经历“具体—抽象—概括—具体”的过程，有效促使学生的抽象思维在实验的“思”中发展.

案例2 “相似三角形的应用”教学.

实验内容：阳光照射下的户外实验，分析生活实际中的物品在平行光照射下，高与影子长度之间存在怎样的联系.

具体操作：平滑的空地上垂放三根长短不一的杆子，在阳光的照射下，几名学生在同一时间分别测量杆子本身的长度与被太阳照射之后形成的影子长度，测量而来的数据整理到表1中.

师：各组以合作学习的方式分析表格中的数据，并对你们的发现谈一些想法.

分析：在该实验过程中，分别测量三根木杆的长度与影子的长度，并对其比值进行分析，属于典型的数学抽象过程. 学生边测量、边统计与计算，不仅对该实验产生明确的认识，还通过合作学习对结论初步形成共识.

同一时间的一组数据可以作为从特殊到一般的总结吗？显然是不够的. 想要实现一般性的总结，需在“质疑”的基础上，教师带领学生验证自己的猜想，并在思考中借助其他时间的实验，继续测量、记录、计算，观察结论的特点. 不同时间的实验能促进学生的思维发展，也能验证“从特殊到一般”的结论.

值得注意的是，在“互联网+”的时代，我们在实施动手操作实验的同时，还可借助多媒体的演示功能进行实验操作，这种方法可将很多手工无法完成的任务直观地展示出来，为更好地理解现象本质服务. 如测量杆子与影长实验，在学生自主操作的基础上，教师还可借助多媒体进行实验演示，让学生对现象、数据、关系等一目了然.

一般情况下，数学实验涉及观察、测量等，为抽象数学结论服务. 从某种程度上来说，人脑对数学事物的理解需经历“思—悟—理”的过程，随着对问题的深刻理解，学生可形成良好的数学抽象素养.

以实验的“引”，催生抽象方法

形成

虽说当下的课堂需秉承“以生为本”的理念，但教师在课堂中的引导作用不容小觑，尤其是数学实验活动的开展，教师的“引”显得更加重要. 课堂上所探索的数学实验基本都属于学生未知的领域，若完全放权给学生，则会导致实验缺乏明确的方向而乱套，教师适当的引导能给学生指明方向，让学生朝向既定的目标去操作与思考. 因此，实验的“引”不仅能给课堂争取更多的时间，还能显著提高实验效率，进而催生抽象方法的形成. 基于此，教师可有针对性地加强实验引导，让学生在活动中感知数学抽象形成的过程，提升学力.

一般情况下，数学实验的“引”遵循如下流程：辨别实验对象—分化其物理属性—抽象出相应的数学符号—数学属性—概括一般性特征—数学化抽象—用数学语言概括.

案例3 “认识三角形”的教学.

实验内容：要求学生从长度分别为3，4，5，6，9厘米的小棒中任取3根搭建三角形.

结合数学实验研究的一般流程，教师引导如下：①辨别数学对象，给学生提供一些长度不一的小棒，让学生初步观察;②对不同长度小棒的物理属性进行分析，思考长度不一样的小棒与构建三角形之间是否存在什么联系;③根据以上思考结论进行线段的初步抽象，即用不同长度的小棒与线段进行对应，让思维经历第一次抽象过程;④结合实验过程与思考，进一步抽象数学属性，分析任意三角形的三边与线段长短的关系，此为数形结合抽象过程;⑤概括一般性特征，并非任意三根小棒都可以搭成一个三角形，只有任意两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度的情况下，才能有效完成首尾相连，否则无法形成三角形;⑥数学化抽象：两边之和大于第三边，可构成一个三角形;⑦数学语言概括：a+b>c.

分析：在教师的引导下，学生亲历一般性的实验流程，对三角形三边关系进行实验探索. 探索过程中，学生不仅经历了成功与失败，还在反复试错与思考中不断反思，真正实现“数—形”的转化，促进了数学抽象素养的发展与数学思维能力的提升.

以实验的概括，促进抽象能力

发展

鲁宾斯提出，概括能力是体现智慧水平的关键指标. 数学实验概括是指将实验过程中所发现的一些现象的共性特征总结出来，用数学的眼光与数学的思维去观察和思考这些特征，探寻其本质中的共性. 实践证明，一个学生数学实验概括能力的强弱直接决定了该生对知识本质的理解程度，因此，数学实验概括能力对促进抽象素养的发展有着直接影响，这是值得每一个教育工作者关注的问题.

案例4 “平面直角坐标系”的教学.

实验1：教师给定一些点的坐标，要求学生依次连接直角坐标系中的各个点，并说说连接后所获得的图形.

在这个实验中，学生先寻找、描述、连接点，根据图形形状分别获得“坐标到点”“点到图”的抽象，再通过对“图”的思考，发现点的对称性与坐标间的关系. 学生根据这些实验提炼相应的数学思想方法，在自主探究中提升对问题的解析能力.

实验2：要求学生根据问题自主画图，完成填空.

问题1：在坐标系中标出点（2，-3）的位置，并根据图示分析该点关于坐标系纵轴、横轴对称的点的坐标分别为______，______.

问题2：点（-2，3）关于x轴与y轴对称的点的坐标分别为______，______.

问题3：一般情况下，点M（a，b）关于x轴与y轴对称的点的坐标分别为______，______.

分析：该实验应用了典型的从特殊到一般的数学思想方法，对学生思维的发展具有重要意义. 学生从对一个点的对称的探索开始，逐渐扩展到对多个点的对称的研究，由此抽象出不同点对称的共性特征. 随着对多点坐标的分析与总结，学生自主抽象出变换之后坐标的共同数学属性.

学生亲历画点过程，对直角坐标系中的点的对称形成明确认识，并在实验中操作、思考、辨析，不仅能获得了良好的学习体验，还进一步提升了抽象能力. 因此，基于数学实验的操作、思考与类比，是提升学生数学思维的形象化素材，也是发展学生学力的根本.

总之，数学核心素养的发展离不开实验的辅助，学科素养在充满情境性与体验性的实验活动中形成与发展. 一线数学教师应充分认识到数学实验的重要性与必要性，它是“题海战术”无法替代的教学方式，是促进学生个人可持续发展的重要手段.