“新质生产力”引领下的数学成长型思维培养

[摘 要] 新质生产力不仅代表着先进的教育技术，教学方法和手段的更新迭代，更代表着教育理念和育人模式的创新. 初中数学压轴题不应当被学生当作一道难以逾越的鸿沟，教师可以通过恰当的教学方式，让学生转换思维，纠正这一错误观念. 文章以分析一道压轴题为例，展示不同的解题方法与思维方式，强调教师应通过创造挑战和鼓励探索的教学方式培养学生的成长型思维，提高他们解决问题的能力.

[关键词] 成长型思维;压轴题;初中数学

很多时候，教师容易忽略试卷最后一题的讲解，认为最后一题讲了也没多大用处，就算这题懂了，如果下次换一道题，大部分学生还是不会做. 既然这样，还不如将讲课的重点放到前面的中等题或中难题上. 学生只要把前面的部分都做对了，也一样可以拿到高分，毕竟不是所有学生都有做压轴题的天赋. 这种教学习惯很容易导致一部分学生认为最后一题可以放弃. 这种思维方式，我们将其叫作固定性思维. 拥有该种思维方式的学生认为人的智力、能力等素质是固定不变的. 显然，如果在数学中用这样的思维学习，将不利于学生数学素养的成长与发展. 所以，教师应当在课堂上帮助学生发展成长型思维，让学生相信能力是可以通过学习得到成长的.

理论基础

2022年国际学生评估项目（PISA）测试的分析结果表明，成长型思维模式可以帮助学生克服与成绩相关的焦虑. 事实上，学生在数学这门学科上的成绩焦虑，可以说是所有学科里面最为靠前的，数学成绩的每次上下波动，都会强烈牵扯到学生和家长的情绪.

成长型思维最早由斯坦福大学的Carol Dweck及其团队提出，即具有成长型思维的学生认为自身的智力和能力是可以通过学习或努力而改变的. 研究表明，学习可以刺激大脑增长，并强化突触之间的连接. 强大的神经网络能让学习能力提升，即智力与能力确实可以通过学生自身的学习与努力得到发展.

笔者对某次周练试卷的最后一题进行解题思路分析，希望帮助学生认识到最后一题并不是洪水猛兽，而是可以被攻克的，学生的数学能力也不是固定不变的，可以通过学习得到提升.

试题再现

已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别为射线AC，线段AB上的点，且AD=BE. 连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°后得到FE，连接DF与BC交于点M.

（1）如图1，当tan∠ADE=，AE=时，求BE的长;

（2）如图2，连接AF，N为线段AF的中点，连接MN，求证：BE=MN.

解题分析

1.第（1）问的思路分析

此问的条件较为具体，教师可引导学生从“tan∠ADE=”这一条件出发，进行思考. 在此条件下，我们通常会想到两种方法：①构造直角三角形;②等量代换，将其转换到另一个直角三角形中. 特别地，看到“tan∠ADE=”这一条件时，我们还可以联想到“12345”模型，尝试构造45°角. 但是在尝试的过程中会发现该模型并不适用于本题，故而可选择直接构造直角三角形这一方式来求解. 如图3，过点E作EK⊥AD于点K，则△AEK为等腰直角三角形. 由此可求出EK的长，再根据tan∠ADE=，可求得KD的长为3，AD的长为4. 接着由条件AD=BE，可求得BE=2.

2. 第（2）问的思路分析

该问根据题目条件和图形特征，考虑多种解题思路：①从定义出发，思考“手拉手”模型;②从垂直出发，构造“一线三垂直”模型;③从定线共角出发，思考四点共圆;④从边与边的关系出发，思考数量代换法. 具体思路如下.

思路1 从定义出发，思考“手拉手”模型.

从条件“AD=BE”出发，尝试推出AD = 2MN . 即需要在图中构造出含有BE，且与BE有关系的等腰直角三角形. 故过点E作PE⊥BE交BC的延长线于点P，如图4，此时PE=BE，可得到BE = BP = AD. 这一步将证明AD = 2MN转换成了证明BP = 2MN. 题目已知N为线段AF的中点，此时只需证明M为线段DF的中点.

证明M为线段DF的中点最为直接的方法，是证明DM=MF，其可以通过构造全等三角形得到. 如图4，过点D作DO∥BF交BC于点O. 如果能证明△OMD≌△BMF，结论成立. 根据题目条件，有EP=EB，ED=EF，∠PED =∠BEF，所以△EPD≌△EBF. 所以PD=BF. 由于BP=AD，CA=CB，所以BP-CB=AD-CA，即CP =CD. 所以∠CPD=∠CDP=45°. 又可推出∠EBF=90°，∠POD=45°，∠MOD =∠MBF=135°，OD=BF=PD，由此可证得△MOD≌△MBF，所以M为线段DF的中点，证毕.

在同样的思路方法指引下，我们还可以过点F作PD的平行线与MB的延长线交于点T.

一般来说，这种方法讲到这里就可以结束了，但是为了让学生的成长型思维得到发展，教师可以追问学生：仍然是“手拉手”模型，如果过点E作EK⊥EB，且使EK=EB，连接BK，FK呢？由“手拉手”模型得到的全等三角形，可以铺垫出两个及两个以上的结论，有了等边、等角之后，再通过垂直构造等腰直角三角形和“8”字全等三角形（如图5）.

思路2 从垂直出发，构造“一线三垂直”模型.

从等腰直角三角形出发，可以通过构造“一线三垂直”模型（如图6），得到全等三角形，即△EPD≌△FQE，从而得到EP=QF，PD=QE. 要证AD=2MN，可延长CB与QF的延长线交于点T，过点E作ES⊥BC于点S，容易证得四边形PCTQ为矩形. 根据以上条件可以证得“8”字全等三角形，即△MCD≌△MTF，从而得到M为线段DF的中点.

思路3 从定线共角出发，思考四点共圆.

从Rt△DEF出发，先证明M为线段DF的中点，即证明EM为△EDF的中线. 根据等腰三角形的“三线合一”性质，只需证明EM为△EDF的高线. 因此过点D作DH⊥AB于点H，连接FB，EM（如图7）. 由AD=DH=BE，得DH=BE. 可证△EDH≌△FEB（SAS），得∠EBF=∠EHD=90°. 根据E，M，B，F四点共圆，有∠EMF=∠EBF=90°，即可证得. 四点共圆的方法可以帮助学生找相等的角，虽然这种方法不能正式用到考试的作答当中，但是该方法很多时候可以帮助学生快速找到等角，为解题打开思路，这对于培养学生的成长型思维也具有意义与价值.

思路4 从边与边的关系出发，思考数量代换法.

从要证明的边与边的关系入手，先过点D作DH⊥AB于点H，交CM于点Q（如图8），连接FB. 由AD=DH=BE可得DH=BE. 可证△EDH≌△FEB（SAS），得到∠EBF=∠EHD=90°，EH=BF. 设DC=QC=x，AC=y，则可以得到BQ=（y-x），AD=（x+y），BF=EH=DQ=2x. 于是可证△DQM≌△FBM（AAS），所以M为线段DF的中点，证毕.

教学思考

通过本题的讲解，笔者发现在压轴题的讲解上，如果教师只是将解题方法灌输给学生，学生是不会在这种习题课上得到成长的. 长此以往，学生仍然会觉得以自己的能力不可能解决得了最后一题. 所以笔者认为教师可以在讲授思路的过程中，为学生制造一些有益的困境，以帮助学生思考，并适当地制造挑战性追问，为学生的学习构建支架，让学生在教师的引导下一步步发现解决问题的方法和思路. 教师还要让学生在不同的方法中进行不同的解法思考，争取做到同题不同法，同法不同方. 下面给出几点压轴题教学的讲授建议：

（1）鼓励学生直面压轴题;

（2）鼓励学生用能想到的各种方法尝试解决问题;

（3）鼓励学生坦然面对错误的方法尝试;

（4）鼓励学生坚持到底.

学生在面对数学难题时容易出现畏难情绪，踌躇不前. 我们要培养出具有创造性能力的人才，就应当从平时做起，从最能激发学生想象力和创造力的思维难题做起. 在解决难题的过程中，学生很容易进入不平衡的状态，虽然这种状态会使学生感到不舒服，但是皮亚杰认为不平衡状态能给学生带来智慧和发展，也就是会发展学生的成长型思维. 因此教师需要在难题中帮助学生发展成长型思维，在课堂中不断地为学生创造有益的困境、有挑战性的问题与任务，让学生认为自己面临的困境和自己在困境中产生的种种错误是可以帮助自己发展能力的. 总而言之，教师在教学过程中需要帮助学生内化成长型思维，这样不仅可以提高学生的解题能力，还能培养出新时代所真正需要的创新型人才.