初中数学实验设计的范式研究

[摘 要] 数学实验具有工具性、操作性、情境性与探究性等特征，将数学实验有机地渗透在初中数学教学中，可让学生经历知识的抽象与建模等过程. 数学实验包括验证型、探索型、理解型. 文章针对这三种类型的数学实验设计的范式展开分析.

[关键词] 数学实验;验证型;探索型;理解型;研究

随着数学教育教学的改革与发展，如今的数学教学模式发生了翻天覆地的变化，数学教学不再是单纯地为了升学考试，更重要的是借助教学渗透数学文化，发展学生的数学思维，提升学生的数学核心素养. 数学实验作为转变学习方式的重要教学模式，对培养学生的学习兴趣，提升学生的探索欲，发展学生的综合素养具有其他教学方法无可替代的作用.

数学实验的特征

1. 工具性特征

数学实验的工具性特征主要体现在实验过程中需应用剪刀、纸张、测量工具、模型、计算机等. 而思维实验却不需要应用任何实质性的辅助工具，仅需人脑对数学事物进行信息加工，如假设、辨析、推断、概括等. 鉴于操作具体的工具需要应用到思维，因此数学实验过程包含了大量的数学思维. 数学思维是在学生的手脑并用中形成的.

2. 操作性特征

学生是实验的主体，他们通过自主操作去探索问题与领悟本质，因此数学实验过程属于“做中学”的范畴. “做”是一种发自学生主体的行为，具有操作性特征，其成效通过学生的具体操作来体现.

3. 情境性特征

课堂中的数学实验一般置于某种情境中，人的思维、认知与学习都离不开情境的支撑，学习基于情境来实现. 从某种意义上来讲，课堂中不存在非情境化的学习. 因此，数学实验是情境认知理论的实践，具有典型的情境性特征.

4. 探究性特征

数学教学是学生探索知识的过程，数学实验就是学生通过自主实验去观察、思考、分析与类比推理，在“做中学”中揭示知识本质，提炼数学思想方法. 这种教学模式一改传统的“先学后做”“尝试教学”等常规模式，从本质上来说，数学实验属于“再创造”与发现式的教学[1].

数学实验设计的范式

数学实验是以数学问题为出发点，利用多种手段与工具，借助数学思维去探究的一种实践活动. 根据数学实验的知识类别与应用工具等，可将初中数学实验分为验证型、探索型、理解型三种类型，而每一类型都有特定的结构.

1. 验证型数学实验

验证型数学实验是指学生通过自主操作、模型的观察与分析等手段，检验自己的猜想是否正确. 如图1，这种类型的数学实验，学习者一般从猜想或结论出发，借助数学技术工具或实物模型等，去验证猜想正确与否. 因此，这是一种归纳与演绎有机融合的认知方式，具有思维起点低、操作简便、过程明了等特点.

从认知心理学出发，这一类型的数学实验主要由学生自主操作实验工具，通过观察实验现象对结论形成感性认识，并在此基础上进行理性分析，对结论形成准确的判定. 实验过程中若出现错误，可通过实验反思或再次实验的方式，更正、完善猜想与结论.

案例1 “完全平方公式”的验证实验

当学生获得完全平方公式后，教师可通过拼图活动的安排，帮助学生从图形面积关系的角度来验证该公式，为形成几何直观奠定基础. 而后，通过代数的运算、数学推理与变式训练等方式来证明公式，让学生对公式形成客观、理性的认识.

实验目的 让学生亲历拼图活动过程，在操作中观察、交流，验证完全平方公式，渗透数形结合思想，发展几何直观.

实验准备 边长为a，b的正方形纸各1张，2张长、宽分别为a，b的长方形纸.

实验过程

（1）将准备好的四张纸拼在一起，形成大正方形;

（2）从不同的角度来表达所拼成大正方形的面积，形成一个等式.

论证结论 用代数运算的方法来论证以上实验所获得的等式.

应用分析 用所获得结论来计算（2a+b）2，并用拼图法验证该式子的计算结论是否正确.

纵观整个实验过程，教师安排学生用拼图法来验证完全平方公式，而后在代数推理论证中明确所获得公式的正确性. 应用分析环节，让学生充分感知到应用完全平方公式计算的方便，并通过实验的直观性阐释代数结论的正确性. 学生在此过程中，既理解了完全平方公式的多元联系，又深化了对公式的认识，激发了学习兴趣.

2. 探索型数学实验

探索型数学实验是指教师通过创设问题情境，引导学生借助动手操作、观察、类比、分析、归纳等方式发现新结论，该过程具有开放性、探索性等特征，课堂生成度较高[2]. 如图2，探索型实验结构一般遵循如下规律.

探索型实验首先要问题具备探索价值，常见的如某种问题所蕴含的数学原理、思想方法及可推广的结论等. 设计实验时，教师可从问题情境出发，将学生置于问题情境中借助实验工具动手实操，并在观察与思考中进行感知与分析，初步获得结论. 探索型数学实验的目的在于发现新的结论，这是建构新知的基础.

从认知发展规律出发，学生在教师的引导下利用实验工具进行图形变化、数值运算与动态演示等，通过观察实验现象去分析、类比、总结、提炼出相应的结论，由此也能追溯到一些数学知识所蕴含的数学思想方法的源头，这一切可为学生后续利用相应的结论进行论证推理、理解与掌握知识提供帮助.

案例2 “一次函数”的图象探究

想要认识一个函数，首先就要研究它的图象与性质，让学生从“数”与“形”的联系中发现函数的本质，这也是函数教学的主线. 函数图象作为研究的基础内容，可暴露函数的性质.

整个函数大家族中，一次函数是最基础的内容，对学生的掌握程度要求较高. 然而，学生在学习一次函数时，总是难以真正理解一次函数为一条直线. 为此，笔者借助几何画板的绘图功能开展数学实验，引导学生探寻一次函数图象.

实验目的 借助几何画板的演示功能，揭示一次函数对应坐标点的分布规律，为获得“一次函数图象为直线”的结论奠定基础.

实验准备 几何画板.

实验过程

（1）教师呈现一次函数y=2x+1，任意取几个x，y对应值的点，将这些点绘制在几何画板上，要求学生自主观察，说说自己的发现，并分析函数y=2x+1的图象可能是一个怎样的图形.

（2）借助几何画板绘制线段AB，让其与x轴平行，将点A固定在y轴上，让点B作为动点，选中点B的横坐标作为参数（x），绘制出点P（x，2x+1），拖动点B，追踪点P，对点P的运动路径谈一些看法.

（3）要求学生任选一个一次函数，并借助几何画板来呈现该函数的图象，与同学交流自己的发现与看法.

（4）仿照以上实验过程（2），借助几何画板构造参数x与x，并绘制函数y=kx+b的图象. 通过对k的拖动，来观察函数图象的变化规律.

以上为教师针对学情与教情设计的一个由具体到抽象的问题情境，学生借助几何画板的绘图功能，描出一次函数y=2x+1任意几个对应值的点，并从这些点的分布情况分析出该函数图象为一条直线. 同时借助几何画板的追踪功能，发现点P（x，2x+1）的路径（直线）. 至此，学生对一次函数的图象为一条直线已经有了初步认识.

基于以上探索活动，教师要求学生自主给定一个一次函数，并探索它的图象，操作发现所获得的图象依然是一条直线. 此时，学生对自己的猜想有了更大的信心. 结合从特殊到一般的数学思想，教师要求学生继续引用几何画板研究y=kx+b的一般形式，进一步确认“一次函数的图象为一条直线”的结论.

在以上探索型数学实验中，学生亲历了从特殊到一般的研究过程. 图象的特征由学生亲自发现，这不仅有效培养了学生动手、动脑的能力，还增强了学生的创造力. 因此，探索型数学实验是培养学生数学能力的重要方法之一，对发展与培养学生的数学核心素养具有重要意义.

3. 理解型数学实验

理解型数学实验是指借助模型、实物或技术工具等干预实验对象，以利于学生更好地展开观察与测量，为正确猜想奠定基础. 学生观察这一类数学实验，从中发现一些规律性的内容，感知数学知识的可靠性，在充分认识数学方法的前提下理解数学思想的现实背景与抽象过程.

这一类数学实验的最大特点在于操作简便、贴近生活、生动且高效，如图3所示，理解型数学实验的教学结构一般遵循此类规律.

理解型数学实验一般针对一些学生不容易理解的概念、定理或难以把握的动态变化现象而设置，它能较完整地反映出这些难点内容的具体性质，引发学生的主动观察与思考[3]. 此类实验也可借助一定的技术手段来设计动态的情境，学生亲历操作与实验过程，深化对知识的理解. 具体过程为教师应用通俗易懂的语言讲解与示范，揭露数学特征，学生模仿操作并观察，将整个注意力都集中到具体实例的共同点上，并在综合分析、归纳提炼中形成理性思维.

案例3 “无理数”的概念教学

无理数对初中学生而言，属于抽象难懂的内容之一. 为了让学生真正理解什么是无理数，并在心理上接受无理数为一种实实在在的数，笔者针对本班学生的特点，设计了理解型数学实验.

实验目的 借助实验活动，让学生在观察与计算过程中感知无限不循环小数的存在性，对无理数的特点形成一定了解，发展数感.

实验准备 计算器、直尺、圆规、骰子.

实验过程

（1）分别将，，，转化为小数的形式，观察小数点右侧的数字，找出其中的规律，形成猜想.

（2）同桌之间进行掷骰子、写数字的活动，即一位学生掷骰子，同桌在小数0.3的后面添上骰子的点数. 随着掷骰子的次数增加，0.3后面的数字越来越多，呈现出不断延伸的趋势. 思考：①若这样永无止境地记录下去，将会得到一个什么样的数呢？（无限小数）②各组所获得的数一样吗？③这些小数有什么规律或特点吗？

（3）观察无限小数0.606006000600006…，说说它具备怎样的规律. 你能否构造一个与之类似的无限不循环小数？

（4）用计算器计算，说说它的近似值，尽可能接近精确值.

（5）借助作图工具，尝试在数轴上探寻出π所对应的点.

将分数转化为小数的实验中，学生发现这些分数可转化成有限小数或无限循环小数;掷骰子、写数字的实验，让学生发现无限不循环小数的存在;求的近似值让学生亲历了用有理数逼近无理数的过程;在数轴上探寻π点，让学生进一步感知有理数与无理数的关系，并从数形结合的角度体验了什么是无理数. 因此，这个实验有效强化了学生对无理数的理解与接受程度.

类似于这一类抽象程度高的数学概念还有很多，理解型数学实验的介入，可让学生在具体的背景中抽象数学概念，并通过对背景素材的描述、预测与判断获得知识本质. 这种方式能帮助学生化解抽象所带来的困惑，发展思维，获得触类旁通的能力.

想要让学生更好地理解新知，教师在设计实验时应先充分了解学生的实际认知水平与经验，为学生创设新旧知识关联的机会，让新知在旧知的基础上构建、生长，完善认知结构.

总之，新课标背景下的数学教学不仅仅是为了升学考试，更重要的是将数学文化、思维品质、思想方法等渗透到教学中. 数学实验是实现这一切的重要手段之一. 根据不同的教学内容设置不同的实验，不仅能深化学生对知识的理解，还能让学生在实操中锻炼自身的各种数学能力，激活思维，挖掘潜能，提升学习动力，发展数学核心素养.

参考文献：

[1]谈建青. 核心素养视角下初中数学实验教学分析与思考[J]. 中学教学参考，2019（11）：28-29.

[2]董林伟. 初中数学实验的理论与实践研究[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

[3]喻平，董林伟. 初中数学实验的本质解析[J]. 课程·教材·教法，2016，36（08）：89-95.