应用多样证明方法 实现思维自然生成

[摘 要] 几何课教学中，教师要认真筹备，预设各种各样的证明思路，引导学生应用不同的方法证明，以此帮助学生积累丰富的证明经验，提高学生的分析和推理能力. 另外，教师要创造机会让学生经历证明思路形成的过程，逐步得出某些数学结论或关系，以此实现学生思维的自然生成，提高学生数学学习能力.

[关键词] 过程;自然生成;数学水平

几何推理与证明既是初中数学教学的重点，又是困扰师生的难题. 此类问题之所以难，一是几何图形复杂多变;二是证明思路复杂多样. 证明时，学生观察的角度不同，添加辅助线的方式不同，其证明方法也会有所不同，这也给作业批改带来了挑战和压力. 在实际教学中，教师应引导学生从多样性的证法中寻找解决问题的一般思路与方法，以此让学生掌握一定的解题方法与思维方式，提高学生解题效率和解题信心. 笔者在教学“矩形对角线相等”这一性质时，引导学生应用多样的方法证明结论，以此助力学生生成数学思维.

教学案例

“矩形的性质与判定”是平面几何的重点内容，它既是平行四边形的延续，又为后面正方形的学习提供了知识和方法保障. 而“矩形的对角线相等”这一性质是本课的核心内容，为了体现核心内容的价值，教师不能简单地将结论呈现给学生，而是应该引导学生经历性质定理的推导过程，这样不仅可以帮助学生深刻地理解知识，而且可以帮助学生掌握一定的解题方法，提高几何思维水平.

1. 课前分析

在本课前，学生已经学习了平行四边形的性质及判定，具有一定的分析和推理能力，这为多元探究的开展打下了基础.

2. 课前预设

教学中，学生通过折叠、测量等活动猜想“矩形对角线相等”，但是猜想不能作为结论，为此本节课的重点为“矩形对角线相等”这一猜想的证明. 结合已有认知，学生可以应用以下三种方法证明两条线段相等：

（1）利用全等三角形证明两条线段相等. 通过简单的处理，使得所证的两条线段所在的三角形全等.

（2）利用等腰三角形的判定定理证明两条线段相等. 若两条线段恰好在同一三角形中，则可以直接证明;否则需要根据图形的结构特点变换构造，从而得到符合条件的等腰三角形.

（3）利用等量代换证明两条线段相等. 该方法需要寻找中间量来传递，难度略大. 对于寻找相等的中间量，一般会涉及线段垂直平分线的性质、平行四边形和直角三角形的性质等内容.

结合以上分析不难发现，证明“矩形对角线相等”可以应用多种方法. 教师要鼓励学生尝试从不同角度证明，以此发散学生的数学思维，帮助学生积累活动经验.

3. 教学片段

问题呈现：如图1，已知矩形ABCD，连接AC，BD，求证：AC=BD.

问题给出后，教师让学生以小组为单位，尽量多地寻找证明方法. 学生积极思考、交流，课堂气氛活跃.

生1：我们小组通过证明△ABC≌△DCB，得到AC=BD.

师：你们是怎么想到的呢？

生1：因为线段AC，BD分别在△ABC，△DCB中，所以若能证明△ABC和△DCB全等，问题即可迎刃而解. 根据矩形的定义，易证两个三角形全等.

师：很好，利用全等三角形的性质证明线段相等是一个非常重要的方法. 还有其他证明方法吗？

生2：我们小组从矩形的自身特点出发，利用勾股定理证明了两条线段相等. 如图1，线段AC，BD分别是Rt△ABC和Rt△DCB的斜边，而两三角形的直角边AB与CD、BC与CB分别相等，根据勾股定理易证AC=BD.

师：也不错，利用特殊图形的性质来解决问题是非常重要的手段. 还有其他方法吗？（学生不语）

师：是否存在这样一个中间量，可以沟通线段AC和BD呢？（学生积极思考，尝试通过平移变换构造中间量）

生3：如图2，将AC平移，这样可以确定中间量DE. 利用垂直平分线的性质易证BD=DE，又AC=DE，从而得到AC=BD.

师：很好，请详细说一说你的证明过程.

生4：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. 又AD∥BE，所以四边形ACED是平行四边形，所以AD=CE，AC=DE. 又BC=AD，AD=CE，所以BC=CE，又∠DCB=90°，所以DC垂直平分BE，于是有BD=DE. 所以AC=BD.

在生4给出构造法后，学生探究的积极性高涨，在此基础上又得到了其他构造方案.

生5：生4是通过AC确定中间量，也可以通过BD确定中间量. 过点B作AC∥BF，交DC延长线于点F，如图3. 其证明方法与上面相同.

师：生4和生5利用平移和垂直平分线的性质证明了以上结论，还有其他方法吗？

生6：还可以利用轴对称变换来构造. 如图3，延长DC至点F，使CF=DC，连接BF. 根据以上经验易证四边形ABFC是平行四边形，所以AC=BF，所以AC=BD.

生7：如图4，取BC中点G，连接OG. 根据已知易证OG是△ABC的中位线，所以OG∥AB，故∠OGC=∠ABC=90°，即OG垂直平分BC，所以OB=OC. 在矩形ABCD中，AC=2OC，BD=2OB，所以AC=BD.

师：非常好，生7利用构造中位线同样证明了结论. 对于同一问题，思考的方向不同，其证明的方法也会不同，在平时的练习中，我们要多看、多想、多做，这样往往会收获更多.

教后反思

数学教学的目的不单是要学生掌握知识，更重要的是培养学生自主学习能力，要让学生学会学习. 教师作为课堂教学的组织者、启发者，要提供机会让学生去思考、去发现、去尝试，以此生成多种思想方法，提高思维品质.

1. 深度挖掘教材，理解知识本质

在日常教学中，部分教师认为教学的重心应放在概念、公式、定理等基础知识的应用上，所以在该性质定理的教学过程中，他们利用全等简单证明矩形对角线相等这一性质后，就给出大量的练习让学生强化巩固. 而定理的证明蕴含着多样的思想方法，若教学中忽视有效拓展，则错失了一次提升学生几何思维能力，发展学生实践能力的机会. 同时，若教学仅仅是“讲授+练习”，将影响学生参与课堂的积极性，影响课堂教学效果. 因此，在课堂教学中，教师要深度挖掘教材，引导学生从不同角度思考和解决问题，让学生体验解决问题的多样性，培养创新意识，提高解决问题的能力. 另外，教学中追求多种证明方法，不仅可以提高学生参与课堂的积极性，激活学生的思维，而且可以实现知识的横纵联系，培养学生良好的思考习惯. 例如，生7之所以联想利用中位线来证明这一性质，其实是对前面几种证明方法的延伸. 既然两条线段相等，那么两线段的一半自然也相等，由此联想到中位线，而中位线恰好是不久前学习的知识，这样通过有效的拓展与延伸，实现了知识的完美衔接.

2. 鼓励多角度探究，提升思维品质

不同的学生，其学习能力、思维方式不同，为此在证明中会出现不同的结果. 在日常教学中，若教师仅仅将多样的证明结果呈现给学生，不仅不利于学生提升分析和解决问题能力，而且会增加学习负担. 在实际教学中，教师要提供机会让学生自己去思考，并在适合的时机进行启发和引导，继而让学习自然而然地发生. 例如，在本课教学中，教师将证明的主动权交给学生. 学生利用全等三角形和勾股定理证明结论后，教师没有结束该问题的探究，而是继续启发学生思考，引导学生构造中间量，学生又发现了多种证明方法，有效激发了学生的潜能，促进了学生思维的生成.

总之，教学中，教师要认真理解教材、理解学生，以学生原有认知为出发点，充分预设，充分发挥个体差异优势，引导学生多角度探究，以此提高学生数学思维能力.