几何画板巧助

[摘 要] 依托几何画板软件，借鉴理化学科实验，进行数学创新实验，学生自主操作探究，思索现象背后原因，深刻认识问题本质，提升数学核心素养.

[关键词] 几何画板;创新实验;自主操作;核心素养

《加快推进教育现代化实施方案（2018—2022年）》指出：“促进信息技术与教育教学深度融合，支持学校充分利用信息技术开展人才培养模式和教学方法改革，逐步实现信息化教与学应用师生全覆盖. ”教育信息化是当前教育发展的必然趋势. 以信息技术软件为载体，进行数学创新实验，营造数学实验教学新常态，应成为教育信息化的关键举措. 下面笔者以“圆周角定理的探究与证明”为例，展示几何画板支持下的数学创新实验如何开展，并结合本实验刍谈对创新实验教学的思考.

实验目的

（1）借助几何画板画同弧所对的圆周角，发现圆周角的度数与它所对弧上的圆心角度数的关系、同弧或等弧所对的圆周角的关系，猜想出圆周角定理.

（2）通过从特殊到一般、再从一般到特殊的方法，证明圆周角定理，体会圆周角定理证明方法的独特性，感受分类讨论、转化等数学思想.

（3）激发问题探究意识，发展数学推理能力，学会用数学的眼光观察、用数学的思维思考以及用数学的语言表达，发展数学核心素养.

实验准备

（1）实验器材. 本实验所用器材是台式电脑（可在电脑教室，要求每生一台）和几何画板软件.

（2）实验素材. 为确保实验探究的高效性，保障实验素材的一致性，教师提前利用几何画板软件制作了3种不同情况下的图形（如图1，B，C是☉O上的两点，连OB，OC）：①∠BOC=90°;②∠BOC=60°;③任意∠BOC. 3种图形中点B和点C在保证数学关系不变的前提下可在☉O上自由运动，既能够确保弧所在位置的任意性，又便于验证等弧所对圆周角的性质.

（3）实验报告单. 类比物理、化学实验报告单，教师设计了本实验对应的报告单，具体如表1（记所对的一个圆周角为∠BAC，另一个圆周角为∠BA′C）.

实验教学

1. 提出问题

教师介绍圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 待学生理解圆周角的概念并能准确识别圆周角后，教师提出问题：圆周角的度数与它所对弧上的圆心角度数有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？

2. 实验探究

教师打开几何画板软件，就本实验中几何画板的操作步骤进行演示，使学生掌握几何画板的基本操作，学会几何画板的角度度量功能. 学生一边观察教师演示，一边进行画板操作，迅速掌握操作步骤. 接着，教师把提前制作好的3种图形分享给学生，同时巡视指导学生开展实验. 学生自主进行实验，必要时进行小组合作，顺利完成实验操作，填写实验报告单（表1）.

学生借助几何画板中的角度度量功能分别度量出∠BOC，∠BAC和∠BA′C的度数. 教师随机呈现3位学生实验过程中的操作界面，由于样本呈现的随机性，所以选取的样本具有代表性，能够反映全体学生的实验情况. 通过操作界面的对比，发现3个图形都既有特殊形态又有一般形态，呈现出来的都既有静态数据又有动态数据，具体如图2、图3和图4.

学生结合自己的实验操作，完成实验报告单的填写，得出如下两个结论：（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;（2）同弧或等弧所对的圆周角相等.

3. 分析证明

教师启发学生：如何证明“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”呢？

学生1：我用几何画板画出了特殊的圆周角. 如图5，当圆心O在∠BAC的边上时，由OA=OC，∠BOC=∠BAC+∠OCA，可得∠BAC=∠BOC.

学生2：在刚才的实验中，我画出了一般化的圆周角. 如图6，当圆心O在∠BAC的内部时，就出现了“飞镖”模型，我想到了连AO并延长交☉O于点D. 易证∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，由∠BAC=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，得出∠BAC=∠BOC.

学生3：在图6（辅助线已作）的基础上，我拖动点A使圆心O在∠BAC的外部. 如图7，易证∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，因为∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BOC=∠BOD-∠COD，所以∠BAC=∠BOC.

学生4：我拖动点A使圆心O在∠BAC的外部. 如图8，易证∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，由∠BAC=∠CAO-∠BAO，∠BOC=∠COD-∠BOD，得出∠BAC=∠BOC.

教师追问：如何证明“同弧或等弧所对的圆周角相等”呢？

学生能够根据“同弧或等弧所对的圆心角相等”，得出“同弧或等弧所对的圆周角相等”.

教师告知学生先前探究和证明的两个结论就是圆周角定理的内容，并把圆周角定理板书在黑板上，然后画出相应图形，结合学生的回答形成该定理符号语言表述的板书.

4. 检验收获

教师设置开放性问题如下：如图9，A，B，C，D，E，F是☉O上的点，=，∠BAC=35°，你能求出哪些角的度数？请说明理由.

学生积极分享想法，求出∠BOC，∠BFC和∠CED的度数，并利用圆周角定理说明理由.

最后，教师指导学生就本实验进行反思与交流，引导学生描述感受、表达收获、总结发现.

实验反思

1. 运用信息技术手段，开发创新实验素材

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构. ”借助几何画板等软件，开发创新实验素材，是开展创新实验的重要手段. 本实验中，教师利用几何画板软件制作了3种图形，为学生直接开展实验搭建了平台，学生不参与复杂素材的开发过程，只参与利用素材探究问题的实验过程，这就使得数学实验得以高效开展.

2. 借鉴理化实验过程，丰富实验探究内涵

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求. ”理化学科实验内容较多，而且相对比较成熟，而数学实验还处在探索阶段，有必要借鉴学科关联度较高的理化实验. 本实验中，教师为每位学生配备了实验器材、实验素材和实验报告单，使数学实验具备了较成熟的硬性条件，这样的实验探究是有丰富内涵的真探究，达到了预期的实验目的.

3. 强调学生切身体验，发展数学核心素养

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，数学活动经验需要在“做”的过程和思考的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的. 眼睛能观察到的数学、动手能操作到的数学和用心能感受到的数学，是学生能切身体验到的数学，这样的数学学习是最具成效的. 本实验中，学生亲身参与“做”数学实验，发现了圆周角定理，在思考中证明了圆周角定理，认识到实验现象背后的问题本质，积累了数学活动经验，发展了数学核心素养.