深度理解方能自如应用

[摘 要] 弱基础认知、无关联认知、单形式认知是当下数学新知教学中学生对数学知识浅层认知的常见现象. 为了帮助学生深度理解数学新知，教师可以引导学生从四个方面做出努力：全程历练，厘清来龙去脉;充分辨析，把握新知本质;正向关联，减少无关干扰;全面认知，重视形态转换.

[关键词] 深度理解;新知教学;案例分析

对数学知识的深度理解，是学生能够自如应用数学知识的基础. 与小学相比，在初中阶段，学生将会学习很多数学的概念、性质、判定、公式，对这些数学知识的认知也将从文字、图形、符号等多个角度展开. 这无形中给学生深度理解这些数学知识带来了困难，也就自然而然地影响到他们自如应用这些知识. 那么，在数学教学中，教师该从哪些方面下手突破这一困境，促进学生对知识的深度理解呢？本文拟结合学生的两个“意外”错误谈谈笔者的教学建议，供大家参考.

学生对数学知识浅层认知的

几种常见现象

学生不能深度理解数学知识，常会导致其在应用知识时考虑不全面，形成知识应用的盲区，导致问题解决出现偏差，形成“意外”错误. 这种缺乏深度的浅层认知对学生的数学学习有百害而无一利. 在日常教学中，学生对数学知识的浅层认知主要有以下几种.

1. 弱基础认知

我们知道，任何一个数学新知都是建立在已有数学知识体系之上的. 因而，数学新知的探索应重视其生长背景的梳理，要让学生明晰其生长基础，并在基础上找到新知的生长点. 如，二次根式的定义“形如（a≥0）的式子”的探索基础是算术平方根，因而，在探索二次根式定义前，教师自然就应带领学生充分梳理算术平方根的相关知识. 然而，当下有些数学课上，教师仅重视知识本身的教学，而淡化了新知的认知基础的梳理，让新知成为无源之水，“基础不牢，地动山摇”，学生在应用新知解决问题时会出现“意外”错误就在所难免了.

2. 无关联认知

知识总是在关联中融入学生的认知结构的. 在数学教学中，教师既要重视数学知识本身，又要注重数学知识间的关联，让学生在结构中学习知识，应用知识. 比如，学习圆中的“垂径定理”，教师不仅要让学生知道“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，还要引导学生发现基于这一结论所形成的直角三角形，并进一步将其与勾股定理、方程等关联起来. 但实际教学中部分教师对此的关注却十分不够，没有在一开始就让学生努力去建构“垂径定理—直角三角形—勾股定理—方程”的知识关联，而是在应用中遇到困境后，才想到让他们去建构. 显然，这种无关联认知对学生体会数学的整体性、系统性是不利的.

3. 单形式认知

初中阶段的数学知识，常有不同的表示形式. 数学教学中，教师不仅要引导学生理解数学知识的不同形式，还要让他们知道同一知识的不同形式之间的对应关系. 比如，探索单项式乘以多项式的运算法则时，教师要引导学生同时理解法则的文本表述、符号表述m（a+b+c）=ma+mb+mc和图形表述（如图1）及其相互之间的关系. 而实际上，对该知识的教学，部分教师将着力点放在了符号表述m（a+b+c）=ma+mb+mc上，这样的教学显然无助于学生形成几何直观、抽象能力等素养.

两则教学片段及其简析

1. “不等式的性质”例题教学

教学片段：教师投影例1，用不等式的性质解不等式，-2x>-6.

在学生解答后，教师投影其中一名学生的步骤：-2x÷（-2）>-6÷（-2），x<3，并请该生说说自己是怎么想的. 在该生给出“不等式两边先同时除以-2，但不改变不等号的方向，计算最终结果时再改变不等号的方向，有x<3”的思路后，教师追问：“这位同学的解法有错吗？错在哪里？”学生1指出“根据不等式的性质3，在不等式两边同时除以负数，不等号的方向应与运算同步改变”. 随后教师引导学生小结“运用不等式的性质3时，不等号方向的改变应与除以一个负数的运算同步进行，不能到给出最终结果时才进行”.

片段简析：不等式的性质3是不等式性质教学中的难点，也是学生解决问题时的易错点，但如案例中这种错误还不是十分常见的. 因为，在后续的解题中，类似于“-2x÷（-2）> -6÷（-2）”这样的过程应该是不会再出现的，学生也不会再有犯类似错误的机会了. 但从教学片段中看，或许犯这种错误的学生还不少. 究其原因，很有可能是教师教学时没有关注到性质的文本表述与符号表述的关联，对由“a<b，c<0”到“ac>bc”的变化未结合文本表述作对照分析，导致学生对性质3的理解停留在无关联的表层认知，形成了应用的盲区.

2. “多边形”例题教学

教学片段：教师投影例2，已知一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数.

在学生解答后，教师投影学生的步骤：设多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180=1080，所以n=6. 因为，n-2=6-2=4，所以，这个多边形是四边形.

教师引导学生分析上述解题过程，明确其结果出错，并就“为何要再减去2来求边数”进行了追问. 出错学生告诉大家，他求多边形的边数时，受到了多边形内角和公式推导过程的影响，误以为（n-2）是多边形的边数. 教师进一步追问：那（n-2）是什么？该生在稍作停顿后，告诉大家，是将n边形转化成三角形时，三角形的个数. 最后，该生反思：我设的是多边形的边数，求得的n就是最后的结果，这与所学公式是一致的，不应该再减去2了.

片段简析：笔者以为学生出现这种“意外”错误，很大程度上与探索过程中对认知基础的梳理不到位有关. 在学生学习多边形前，对三角形的边和角已经有了充分的认知. 在探索多边形的内角和公式时，如果教师能够引导学生充分感知通过构造对角线将多边形转化为熟悉的三角形来解决问题，并厘清n，（n-2）和（n-2）×180°的关系，这样学生就不至于在应用公式解决问题时出现上述低级错误了.

促进学生深度理解新知的几点

建议

在两则教学片段中，学生对所学的不等式的性质、多边形内角和公式还是有初步认识的，只不过，因其理解的深度不够，导致其应用时在一些细节上出现了“意想不到”的偏差，这也给教学提出了更高的要求. 我们要从促进学生发展的角度，建构促进学生深度理解的新知教学.

1. 全程历练，厘清来龙去脉

经历完整的探索过程是学生获取数学“四基”的根本路径. 在数学新知教学中，教师不能贪快求简，在知识的探索速度和探索时间上动脑筋，应从有利于学生深度理解的角度创设适合学生的问题情境，引导他们从丰富的真实情境中抽象数学问题、在细致的数理剖析中发现共性特征、在严谨的推导验证中归纳数学知识、在即时的巩固训练中应用新知. 通过个体对新知猜想、发现与应用的完整历练，使学生厘清知识的“来龙”与“去脉”[1]，全方位认识所学的数学新知.

2. 充分辨析，把握新知本质

在数学学习中，相近的知识无处不在. 在新知教学中，要注意对这些相近知识进行充分辨析，避免由于知识外形上的相似导致学生理解或应用出现偏差，形成意外失误. 比如教学平方根和算术平方根，教师就应通过概念的深度解读、反复应用来引导学生充分辨析“非负数a的算术平方根（a≥0）”和“非负数a的平方根±（a≥0）”间的差异，对算术平方根和平方根的辨析，既要关注到和±在外形上的差异，又要将这种差异在定义的归纳与应用中充分体现出来. 唯有如此，才能让学生深度理解这两个概念，从而在应用时“不乱套”.

3. 正向关联，减少无关干扰

数学知识的获得与应用有着十分肥沃的数学“土壤”. 其生长过程关联着大量的数学“四基”[2]. 因此，教师要对数学知识生长与应用过程中的关联知识加以甄别，要让与新知关联度较大的知识与技能高频次出现，而那些关联度不大的知识与技能或者学生后续学习中基本不会用到的知识与技能则应尽可能少出现，甚至不出现. 所以，在创设课时教学情境时，教师要充分评估所设计的问题是否会有非“主流”，如果有，应对问题的情境或设问方式做出必要调整，避免学生在获取新知中走弯路、走远路，让学生能准确把握新知的本质.

4. 全面认知，重视形态转换

前文中已经反复强调初中阶段数学学习常会从图形、文字、符号等三个维度来表示同一个数学知识，因此，教师在教学过程中应充分考虑学生的认知习惯，着力引导学生从不同的维度认识同一个知识，真正把握住新知表达方式的多样化，从而让学生在获得概念和应用概念的过程中，反复体会到不同形式下的概念的差异性和一致性. 要特别注意将抽象的符号表示、文本陈述与形象具体的图形表示关联起来，让新知的不同形态同步出现在学生的认知过程中，为他们更好地应用这些新知解决问题清除障碍.

深度理解，不仅体现在对数学知识的整体结构的准确把控上，还体现在对知识的生长路径、发展方向和应用路径的清晰认知上. 数学教学，学生只有深度理解了所学的数学知识，才能在面对复杂问题情境时，合理选择、准确应用. 本文结合学生的两个“意外”错误的教学处置，分析了达成学生对数学新知深度理解的几个策略，为学生对新知的自如应用找到了一些可用的路径，但由于本人对数学新知教学的理解还不够深入，行文中难免有疏漏之处，还请各位同行专家批评指正，并期待您能分享数学新知教学中促进学生深度理解的一些好的做法.

参考文献：

[1]印冬建. 初中数学“链+”课堂的建构与思考——以“15.1从分数到分式”为例[J]. 中学数学，2021（16）：17-20.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2022.