“分式”章起始课的教学设计与思考

[摘 要] 分式是初中阶段重要内容之一. 研究者以“分式”的章起始课为例，具体从“问题定位起点，凸显概念;类比唤醒经验，构建方法;实验揭示原理，思维生长;生活实际应用，拓展思维”等方面展开教学，并谈几点思考.

[关键词] 章起始;教学;分式

观察各个版本的数学教材，会发现每章的开头都安排了章前图、章引言或章节学习目标等，这些内容都是可以用来作为拓展章起始课的学习材料，对激趣启思具有重要意义. 然而，当前仍有部分教师没有对章起始课引起重视. 殊不知，章起始课是实施结构化教学的基础，其内容丰富，蕴含着整个章节的核心知识与关键思想，具有统领章节的作用，对促进学生个体发展具有重要价值[1]. 本文以“分式”的章起始课为例谈章起始课的教学设计，并展开教学反思.

教学简录

1. 问题定位起点，凸显概念

问题1 若已知一个长方形的面积为10 m2，长为4 m，根据这个条件能获得什么结论？

学生表示可获得长方形的宽为m，教师趁机追问：如图1，已知长方形的长为a m，面积为10 m2，那么该长方形的宽是多少米？

毫无悬念，学生快速分析出长方形的宽为 m.

追问：若已知某个长方形的面积为b m2，长为a m，该长方形的宽是多少米？

设计意图 长方形是初中学生非常熟悉的一类平面几何图形，对根据长宽求面积每个学生都驾轻就熟. 用字母来表示长方形的长宽，属于一种顺应学生原有认知经验的浅层抽象，这种抽象能将分式的基本形态展现出来，让学生更加自然地接受分式的形成与存在意义.

问题2 若准备将一些橘子分给若干名学生，每个学生能分到几个橘子？

这个问题条件比较模糊，大部分学生都认为条件中没有“数”，不好决定怎么分配. 为了突破没有数的问题，有学生提出通过“设未知数”来解决问题，即用字母来表示数. 具体为：设有x个橘子，y名学生，那么每个学生可获得个.

追问1：若砂糖橘有a个，黄岩橘有b个，有4名男生，m名女生，平均每人能分得几个橘子？

“分东西”是生活中常见的一种现象，教师所提出的问题没有涉及数的目的在于唤醒学生的符号意识，让学生自主想到设未知数来表达相应的问题，以体会分式的生活意义. 此处，学生列式为. 为了进一步启发学生的思维，教师要求学生思考如下几个问题：①以上几个问题的结论，都是通过什么运算获得的？（除法）②各个式子具有哪些相同点？（均为整式）③之前我们探讨过整式的加法、减法、乘法，大家觉得接下来该研究什么了？（整式除法）.

在学生顺利完成以上几个问题后，教师带领学生一起进行如下操作活动，要求各组学生互相配合，将手中的信封按照如下活动规则进行操作：各组安排4名学生共同参与，甲生从信封里抽出一张卡片，乙生抽出第二张，丙生将两张卡片上的式子进行除法摆放，组成新的式子，丁生代表小组成员发言.

通过活动结论的展示，师生、生生共同讨论哪些式子属于分数，哪些式子属于整式，剩下的式子因为分母中含有字母，因此既不属于整式，也不属于分数. 此时，教师揭晓答案——分式，并强调这就是本章节将要探讨的内容.

设计意图 “分橘子”活动，意在引导学生用数学的眼光和数学的思维来观察与思考现实世界，随着问题符号化的应用，学生逐渐抽象出分式的基本形态，并自主发现整式的除法运算. “拼式子”活动的开展，将两个整式相除所存在的三类情况都展示出来，分别为分数、整式与分式. 学生通过对式子的观察、分析与类比，去除可确定的分数与整式，剩下的就是分式了，通过对剩下式子的观察，即可明确分式的定义.

2. 类比唤醒经验，构建方法

师：大家听到“分式”这个词语，首先会联想到什么词语？

生1：分数.

在此基础上，教师要求学生说说在小学阶段研究过分数的哪些内容，学生如数家珍，有分数的运算，如加法、减法、通分、约分，还有用分数解决实际问题等.

师：类比分数，大家觉得本章节我们研究分式，可能会探索哪些内容呢？

生2：可能会研究分式的概念、性质、运算、应用等知识.

设计意图 分数是学生熟悉的内容，将学习分数的内容与方法提取出来与分式进行类比，一方面可唤醒学生研究分数时的经验，让学生通过对知识的整理从整体上回顾分数相关内容;另一方面为分式章节的学习搭建研究框架，让学生学会站到宏观的角度来审视章节教学内容，发展数学观，真正促进思维的发展.

3. 实验揭示原理，思维生长

师：确实，分式与分数存在不少类似的地方，分式究竟是否存在与分数类似的性质呢？请大家回忆下分数的性质，思考：若=，那么=吗？

学生认为相等，但这仅仅是个猜想，想要证明猜想是否准确，还需进一步验证. 但学生一下子想不到用什么办法来验证这个猜想，教师做如下引导：

师：现在我们回过头来观察图1，图中的10代表什么意思？

生：表示长方形的面积是10 m2.

师：那么10×2表示什么意思呢？

生3：表示两个相等大小长方形的面积.

师：若我再给你们提供一个完全一样的长方形，此时可以确定a×2代表了什么意思？

生4：代表了两条长度均为a的线段或长为2a的线段.

师：能否用长方形纸片来探索这个问题？

如图2，学生自主准备两张长方形纸片，叠放到一起组成一个大的长方形，该长方形的一条边长为2a，面积为20 m2，那么该长方形的另一条边长为=，由此可确定该猜想成立. 再分析N个大小一样的长方形进行类似拼接，有=.

为了进一步深化学生对分式运算的认识，教师带领学生运用逆向思维进行分析：将图1的长方形进行分割，若分割成两个大小完全一样的长方形，那么每个长方形的面积就是10÷2，长为a÷2，宽并没有发生变化. 若按照这种分割方法继续分割，将图1分割成N个大小一致的长方形，有==.

通过以上探究活动的开展，学生充分认识到分式与分数同样拥有类似的性质，接下来依然借助长方形纸片来研究分式的运算. 要求学生将两张完全一样大小的长方形换一种方式拼成一个大长方形.

如图3，拼接而成的大长方形的长为+. 就这个式子的计算问题，师生进行了交流与探索，首先从分数的计算出发，回顾同分母的分数相加时，分子相加即可. 按照这个规则，学生提出这个式子相加的结论应为. 为了验证这个结论是否正确，继续回到图形中来分析，拼接而成的长方形面积是20，宽为a，那么长就是，验证成功.

也有学生提出，这个式子比较特殊，如果遇到+该怎么计算呢？学生一致猜想结论为. 借助数形结合思想分析，与可分别视为面积是p与q，宽均是a的长方形的长. 由于这两个长方形的宽是相等的，如图4，将它们拼成一个大长方形，以形助数可知拼接而来的长方形长为，由此进一步证实了猜想的正确性.

如图5，借助类似的方法验证-=，即将两个等宽的长方形叠放在一起，未覆盖到的阴影部分的宽就是差.

师：以上我们探究的是同分母情况下的分式加减，现在我们来探索异分母情况下的分式加减问题，同样类比异分母的分数运算，大家说说如何计算+.

生5：先通分，将两个分数转化成分母一样的分数，而后计算.

师：由此类推，异分母的分式该怎么处理？如遇到+的情况，怎么办？

生6：同样考虑将两个分式转化成同分母的分式，即+=+=.

师：非常好！现在我们掌握了同分母与异分母的分式加减运算，那么分式的乘除运算该怎么处理呢？

生：应该也是类比分数乘除运算进行处理.

设计意图 知识的内部发展与逻辑推理有着密不可分的联系，分式与分数在结构上有着高度相似性，其运算法则是否有联系呢？图形的拼接诠释了这个问题. 此环节，着重在学生猜想的基础上进行验证，将抽象的数学原理变成直观可视化的图形，数形结合思想的应用，不仅帮助学生建立了良好的数学思维模式，还进一步提升了学生的推理能力.

4. 生活实际应用，拓展思维

问题3 某人准备从苏州去往北京，已知这两座城市间的距离为1237千米，可选择的交通工具有高铁与动车，若高铁的车速为a km/h，那么乘坐高铁需要耗费多少时间？如果动车车速为高铁速度的0.7倍，乘坐动车需要多少时间抵达北京？若高铁比动车少2小时抵达，尝试用方程描述数量关系.

设计意图 这是一个学生熟悉的生活性问题，此问的设计意在充分调动学生的探索欲，引出“分式方程”，让学生对解分式方程产生内驱力.

教学思考

1. 确立教学主线，确保知识的完整性

英国威廉·布莱克认为：自然界是一个连贯统一的整体，数学学习同样如此. 数学学科本就是一个体系化的整体，知识与知识之间存在一定的联系，如知识各部分之间或同一内容的前后逻辑关系都体现出整体性[2]. 结合章起始课的教学特征，就是要想方设法让学生通过学习建构系统化的研究思路与知识框架，明晰知识与知识间的联系.

就本节课而言，教材明确写出来的内容属于教学“明线”，如分式的概念、基本性质、运算、解分式方程等都属于知识脉络，教学是围绕这些知识点而展开的. 若仅关注知识的掌握与理解程度还不够，真正意义上的章起始课教学还要注重以知识为载体发展学生的思维，将隐性的数学思想方法、活动经验等揭露出来.

2. 在“做中学”，保持逻辑的连贯性

让学生掌握研究方法是数学教学的根本目的，因此教师应注重引导学生通过“做中学”来训练思维，发展“三会”能力. 在章起始课教学中，教师可带领学生通过实践操作的方式感知知识研究的基本套路，基于结构、逻辑等项目帮助学生厘清思想方法的一致性与逻辑思维的连贯性.

本节课，将“想数学”与“做数学”两种学习方法有机地结合在一起，以确保学生逻辑思维保持连贯性. “想”指学生通过与分数运算的类比，形成猜想;“做”是指通过操作验证猜想的科学合理性. 随着长方形面积、宽度与长度的变化，学生的思维也随之变得深刻. 由此可见，以“做中学”为支架的数学教学是解决数学内部矛盾，发展学生推理能力的重要举措.

3. 立足高立意目标，促进思维的系统性

从哲学的角度来看，章起始课的教学设计需要从宏观的角度来实施，应将塑造完整的“人”作为教学的方向，让学生具备“学一课，知整章，链全册”的视野，将系统与要素、要素与要素间的联系作为研究对象[3].

本节课中，教师对分式的概念、性质、运算以及应用等的教学采取了一般化策略，没有将每一部分的内容展开进行详细的研究，而是遵循知识生长路线借助数形结合思想与类比思想来实施，让学生充分感知分数与分式间的联系，并借鉴分数的研究方法来分析分式的相关内容. 从某种意义上来说，这是促进学生思维系统化的途径.

总之，章起始课教学是发展学生数学核心素养的重要途径. 教师应从思想上与行动上充分重视章起始课教学，让学生通过一节课的学习获得一章节的核心知识，搭建知识框架，提炼数学思想方法，以进一步完善认知结构，为后续学习奠定基础.

参考文献：

[1]余建国. 让章起始课的教学设计更大气——以“向量的概念及表示”为例[J]. 数学教学研究，2014，33（09）：19-23，28.

[2]章建跃. 注重数学的整体性，提高系统思维水平（续）——人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册介绍[J]. 中学数学教学参考，2015（08）：4-6.

[3]黄玉华. “高立意”下的章节统领课教学实践与思考——以“分式”教学为例[J]. 中学数学，2017（24）：23-25.