“一图一题一课”视角下的初三数学复习课设计

[摘 要] 文章立足“一图一题一课”的教学模式，以人教版教材例题为起点，一题多变，层层递进链接长沙市中考真题，呈现“圆与相似三角形的综合应用”复习课的教学设计，旨在提高初三复习课的效率，发展学生的高阶思维能力.

[关键词] 一图一题一课;复习课;圆与相似三角形

复习的目的是“温故而知新”. 在数学学习中，“温故”指构建更完整的知识体系，“知新”指促进高阶数学思维能力的形成. 当前初三复习课中仍然存在针对性不强、缺乏有效整合的知识的复习，试图通过大量的练习使学生掌握解题技巧. 这与新课标所要求的“在发现知识和收获技能的同时，积淀一些超越具体知识、技能的基本思想和基本活动经验[1]”仍有不小差距. 而“一图一题一课”的教学模式围绕一个基本图形深入探究题目，通过一题多解、一题多变，借题发挥，探索规律和方法，让学生实现“做一题，通一类，会一片”[2];通过充分挖掘教材习题潜在的教学价值，发展学生的数学思维，落实核心素养. 基于此，笔者设计了“圆与相似三角形的综合应用”复习课，通过问题驱动，引领学生将孤立的知识进行串联;通过一题多变，帮助学生提炼通性通法.

基本情况

1. 教学内容

“圆”与“相似三角形”分别位于人教版九年级上册第二十四章和九年级下册第二十七章，是教材的重要章节. 圆与相似三角形的综合应用涵盖众多知识点，是测评学生运算能力、推理能力、应用意识等核心素养的好素材，也是中考的热门考点. 学生已掌握圆和相似三角形的基础知识，具备一定的圆和相似三角形的证明与计算技能，但是分析和解决它们的综合问题的能力较为薄弱. 因此，本课聚焦核心素养，结合相似三角形的知识，将教材中“圆周角”的例题进行改编，一图贯穿一课;引导学生从不同角度分析基本图形，激活旧知;设置合作探究的环节，鼓励学生用不同的方法求解同一题;着眼由特殊到一般将例题进行系列改编，层层递进，帮助学生在归纳总结中提升数学思维.

2. 教学目标

（1）通过分析教材例题的改编题，回顾圆的相关定理和相似三角形的常见模型，深化圆和相似三角形的性质是判断线段或角关系的重要工具;

（2）能够结合条件联想相关知识，适当添加辅助线，解决所求的线段数量关系;

（3）经历由简单到复杂的解题过程，体会由特殊到一般的数学思想，提升“四能”，促进运算能力、推理能力、应用意识的发展.

教学过程

1. 识图审图，激活旧知

例题 如图1，BC是圆O的直径，△ABC的角平分线AE所在的直线交圆O于点D，连接CD，BD. 请回答以下问题：

（1）你能得出哪些线段或角的数量关系？

（2）延长AC，你能得到什么结论？

（3）图中有哪些相似三角形？

设计意图 引导学生用圆和相似三角形的相关知识分析问题，借题回顾旧知. 学生能快速发现关键信息AB⊥AC，BD⊥CD和BD=CD;分类归纳图中包含的相似三角形，分别是蝴蝶型△ABE∽△CDE和△ACE∽△BDE、旋转型△ABD∽△AEC和△ABE∽△ADC、母子型△ADC∽△CDE和△ADB∽△BDE.

2. 问题驱动，合作探究

变式1 如图1，BC是圆O的直径，△ABC的角平分线AE所在的直线交圆O于点D，连接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求CD的长;（2）求AD的长.

思路分析：（1）由例题的结论，借助勾股定理即可求CD的长;（2）从整体和局部观察线段AD所在的三角形，均不便于求AD的长. 注意到图中的∠BAD和∠CAD都是45°角，可借此构造等腰直角三角形达到求AD的长的目的.

解：（1）因为BC是圆O的直径，所以∠BAC=∠BDC=90°. 在Rt△ABC中，BC=10，AB=8，所以AC=6. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAD=45°. 由同弧所对的圆周角相等得∠BCD=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，因此CD=5.

（2）方法1：如图2，作CF⊥AD交于点F，易知△ACF是等腰直角三角形，又AC=6，所以AF=CF=3.

在Rt△CDF中，CD=5，CF=3，所以DF=4. 因此，AD=AF+DF=7.

方法2：如图3，作DG⊥AC，交AC的延长线于点G，易知△ADG是等腰直角三角形，所以AG=DG. 设CG=x，则DG=6+x. 在Rt△CDG中，DG2+CG2=CD2，即（6+x）2+x2=（5）2，解得x=1（x=-7舍去），所以DG=7. 因此，AD=DG=7.

方法3：如图4，作DH⊥AD，交AC的延长线于点H，易知△ADH为等腰直角三角形，∠ADH=∠BDC，所以∠ADH-∠ADC=∠BDC-∠ADC，即∠CDH=∠BDA. 又CD=BD，DH=AD，所以△CDH≌△BDA（SAS）. 所以AH=AC+CH=14，在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

方法4：如图4，将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△HCD，使得BD与CD重合，显然△ABD≌△HCD，所以AB=HC=8，∠ABD=∠HCD. 因为四边形ABDC内接于圆O，所以∠ABD+∠ACD=180°，因此∠ACD+∠HCD=180°，即A，C，H三点共线，所以AH=14. 在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

设计意图 此题主要考查利用45°角构造等腰直角三角形求AD的长，进一步探究基本图形中圆内接四边形的对角线AD的长与已知线段长的关系. 学生可以想到作方法1中的辅助线，当然过点B作AD的垂线具有等同效果，而在原图的外部添辅助线是学生的短板. 因此，教师组织学生合作构造以∠CAD为底角的等腰直角三角形，分类讨论以点C和点D为底角顶点或直角顶点，自主作图，分析所作三角形是否利于求AD的长. 经历一题多解，对比归纳不同解法之间的联系与区别，使学生提升解题技能，体会分类讨论和转化等数学思想.

变式2 如图1，BC是圆O的直径，△ABC的角平分线AE所在的直线交圆O于点D，连接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求DE的长;（2）求AE·DE的值.

思路分析1：由△ADC∽△CDE得对应边成比例，可求DE的长;用AD-DE表示AE，即可计算出AE·DE的值.

方法1：（1）由例题知△ADC∽△CDE，所以= . 由变式1知AD=7，CD=5，所以DE=.

（2）因为AE=AD-DE=7-=，所以AE·DE=.

思路分析2：根据变式1可确定△ABE和△CDE的相似比，求DE的长可转化为求其对应边BE的长，进而联想到用角平分线分线段成比例计算BE的长;求AE·DE的值也可以通过△ABE∽△CDE转化为求BE·CE的值.

方法2：（1）根据角平分线分线段成比例，==，又BE+CE=10，所以BE=，CE=. 由例题知△ABE∽△CDE，所以=，即=，解得DE=.

（2）因为△ABE∽△CDE，所以=，即AE·DE=BE·CE=×=.

设计意图 此题在变式1的基础上，借助母子型和蝴蝶型相似三角形，深入研究基本图形中的圆内接四边形的对角线的数量关系. 这是学生的学习难点，所以教师应当给予学生充足的试错时间，鼓励学生从不同角度思考，经历不同的解题路径，丰富解决这类问题的经验.

3. 关联方法，探寻本质

变式3 如图1，BC是圆O的直径，△ABC的角平分线AE所在的直线交圆O于点D，连接CD，BD. 若tan∠ABC=，求的值.

思路分析1：在Rt△ABC中，由tan∠ABC=可设AC=3x，则AB=4x. 用变式1四种方法中的任一种，将线段AE，DE用含x的式子表示即可.

方法1：如图4，作DH⊥AD，交AC的延长线于点H. 在Rt△ABC中，设AC=3x，则AB=4x，所以BC=5x，CD=x. 由变式1知，HC=AB=4x，所以AH=7x，在等腰直角三角形ADH中，AD==x. 由变式2知，=，解得DE=x，于是AE=AD-DE=x-x=x，所以=.

思路分析2：利用相似三角形的对应边成比例将的值转化为更容易求的线段比值，所以添辅助线构造“8”字相似三角形.

方法2：如图5，连接OD，作AI⊥BC交于点I. 在等腰直角三角形BCD中，点O是BC的中点，所以DO⊥BC. 于是AI∥DO，则有△AEI∽△DEO，所以=. 与方法1相同，设AC=3x，则AB=4x，BC=5x. 因为S△ABC=BC·AI=AB·AC，所以AI=x. 又DO=x，所以==.

设计意图 将变式2的条件“BC=10，AB=8”改成“tan∠ABC=”，提示学生设未知数表示AB，AC两线段的长. 已知线段的长由数变成字母，体现由特殊到一般的思维过程，考查学生的正向迁移能力. 引导学生在这个基本图形中归纳出已知两线段长，可求其他任意线段长.

变式4&nbs2w/SDJQnFGKIuVUtJ2rkKjaZLPGG8ULL6OgTwOdYD1Y=p; 如图1，BC是圆O的直径，△ABC的角平分线AE所在的直线交圆O于点D，连接CD，BD. 若AB=m，AC=n，CD=p，用含m，n，p的式子表示AE·DE和.

思路分析1：联系变式3，AC与AB的比值由变成，运用类比思想，分别用含m，n，p的式子表示AE和DE.

方法1：如图4，作DH⊥AD，交AC的延长线于点H. 由变式1知，HC=AB=m. 所以AH=m+n，在等腰直角三角形ADH中，AD==. 由变式2知，=，所以DE=. 又m2+n2=2p 2，所以AE=AD-DE=-=，所以AE·DE=·==，=.

思路分析2：考虑与AE和DE有关的相似三角形，用整体法求两线段乘积和商的值.

方法2：由变式2知△ADC∽△CDE，所以DC2=DE·DA，即p 2=DE·AD ①. 易证△ACE∽△ADB，所以=，所以mn=AE·AD ②. 又AE+DE=AD，由①②两式相加得，p 2+mn=AD2;由①②两式相乘得，p2·mn=AE·DE·AD2，所以AE·DE== . 由②①两式相除得=.

设计意图 在变式3的基础上，保留图中圆内接四边形的边长的一些特征，即AB⊥AC且BD=CD，进一步将条件一般化，使学生在分析的过程中发现问题本质，抽象出不变的图形元素，归纳出一般的解题方法，形成几何模型.

4. 重构知识，链接中考

讨论：请从知识、方法、思想三个方面总结本课所学.

课后延伸：当图中圆内接四边形的一组邻边相等、另一组邻边不互相垂直时，哪些数量关系发生变化，哪些数量关系不变，又该如何解决问题？请完成变式5.

变式5 （2022年长沙中考第24题节选） 如图6，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点E，当=，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE·CE.

设计意图 回顾本课，从教材例题出发链接到中考真题，变式链的设计遵循由简单到复杂、由特殊到一般的原则，打破学生的知识壁垒，使学生重新认识圆与相似三角形的综合问题的分析思路，体会变式中不变的数学方法和思想.

教学思考

1. 眼里有学生

“一图一题一课”的教学模式与其他教学模式一样，应遵循学生的身心发展规律，转变知识本位的观念，做到眼里有学生，重视个体多样化的学习和发展需求，在以人为本的学生观的指导下选题编题和设计教学环节. 本课起始于教材例题，让学生从低起点进入课堂，经历一题多变，一直变到中考压轴题，层层推进学生思维的发展，满足不同层次学生的学习需求.

2. 变中有不变

一题一课的变式教学不是随意变，而是有目标和严密的逻辑性，与其中蕴含的思想方法有密切的联系[3]. 变式链的生成自然、脉络清晰;虽然条件在变，但是有一组邻边相等的圆内接四边形及相似三角形的基本图形不变，圆内接四边形的线段数量关系在被推广. 引导学生发现变式链中图形的本质，归纳解决问题的通法，形成基本几何模型，提炼类比、转化等数学思想. 兼顾技能和思想，落实素养导向的教学目标，这是“一图一题一课”的魅力所在.

3. 思路有引领

罗增儒教授指出，缺乏解题方向的思路分析和解题思想的本质提炼，叫作讲“推理”而不讲“道理”. 本课的教学环节由一题多变、一题多解支撑，教师通过设计层层递进的题目为学生搭建台阶是一种隐形的解题思路引导，使学生垂直思考问题. 而具体问题中的思路分析依托于有效提问，例如，变式1中，通过提问根据目前已知的线段长能否求AD的长、由45°角能联想到哪些知识、怎样以及有几种方法构造等腰直角三角形，引领学生自主分类作图，并用不同的方法推出所求，顺势概括出不同解法的共同点是利用解直角三角形求线段长.

参考文献：

[1]孙晓天，沈杰. 义务教育课程标准（2022年版）课例式解读 初中数学[M]. 北京：教育科学出版社，2022.

[2]惠红民，张征，刘喜荣. 一题一课 高中数学（函数与导数）[M]. 杭州：浙江大学出版社，2016.

[3]胡胜兵，李洪兵. 基于“一题一课”的初三数学主题复习设计与思考——以“等腰直角三角形手拉手模型”复习为例[J]. 数学通讯，2023（05）：12-14+55.