指向自主建构的单元教学设计

[摘 要] 研究者在单元整体教学思想的指导下，将“整式乘法”这节课的部分内容重组，形成关于整式乘法的结构化知识，让学生经历自主建构，从概括整式乘法法则到发现乘法公式，体会从数到式、具体到抽象、特殊到一般的思维过程和程序化思想，习得结构化知识和研究方法，逐步实现从“学会”到“会学”的学习能力的跃迁.

[关键词] 自主建构;单元教学;结构化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系[1]. 传统的课时教学，往往就课论课，关注某一课时的知识点教学或技能训练，很少瞻前顾后、前后呼应. 这种数学知识“线性呈现”的方式，无法走向“结构化”生长，常常让学生“只见树木，不见森林”，缺乏对数学知识结构体系的整体把握. 自主建构是指在教学活动中学生主动参与学习活动，积极有效地建构知识. 自主建构离不开问题驱动，以问题引领思维，用探究发展思维. 指向自主建构的单元教学主要通过单元整体教学的实施，与学生自主建构学习之间建立关联，促使学生自主建构真正发生，实现学生自主建构与单元教学双发展. 本文以苏科版“整式乘法”为例，整合学材，在单元教学的基础上，让自主建构真正发生.

内容和内容解析

1. 内容

单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式.

2. 内容解析

本节课的内容是苏科版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称“教材”）第九章第1—4节“单项式乘单项式”“单项式乘多项式”“多项式乘多项式”“乘法公式”四节内容的单元整合. 整式乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，而乘法公式是多项式乘多项式的特殊化，这些都是基本而重要的代数运算，是以后进一步学习分式和二次根式运算、函数等知识的基础.

本节课的核心思想是类比、转化、数形结合. 在整式乘法中，由于单项式乘多项式、多项式乘多项式都可转化为单项式乘单项式，因此单项式乘单项式是整式乘法的关键. 单项式乘单项式是在学生学习了有理数乘法和幂的运算的基础上，学习“式”的一种运算，是对数的运算的一种延伸;同时它又是学习单项式乘多项式、多项式乘多项式的基础，也为学习单项式除法积累学习方法经验，起着承上启下的作用. 在研究整式乘法运算法则时，一方面可以通过乘法交换律、结合律及分配律获得，也可以通过图形面积对运算法则进行解释，这体现了数形结合思想. 乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，是多项式相乘的一种特殊形式，具有广泛的应用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：整式乘法法则的概括过程和运用.

目标和目标解析

1. 目标

（1）会用整式乘法法则进行运算，理解整式乘法法则的由来.

（2）能够推导乘法公式，理解乘法公式的结构特点.

（3）经历整式乘法法则与乘法公式的形成过程，体会类比、转化、数形结合思想，发展运算能力、符号意识、几何直观等.

2. 目标解析

（1）学生能从数与形两个角度解释整式相乘的过程，并用数学语言概括整式乘法法则，能够正确运用法则进行运算.

（2）学生能从数的角度推导出乘法公式，并能从形的角度验证;把握公式的特征，理解公式的结构.

（3）学生能够理解整式乘法之间的关联;体会从特殊到一般、一般到特殊的思维过程和程序化思想.

教学问题诊断分析

本节课知识的学习是根据已有的活动经验生长出新的活动经验，而已有的经验中，如有理数的乘法、幂的运算等，学生可能存在不同程度的遗忘现象. 同时，若干知识之间的内在关系，对学生提出了更高的要求，因此相关运算的正确性可能得不到有效的保障，教学时教师可以提前布置学生适当地复习所涉及的知识点. 学生刚接触整式乘法公式，对多项式乘法法则运用不是很熟练、理解不是很透彻，此时来学习乘法公式，对公式结构与特征的理解和掌握会有一定的难度.

基于问题分析，确定本节课的教学难点是：乘法公式的结构、特征及公式的图形验证方法的掌握.

教学过程

1. 初步探究

问题1 下图由一个边长为a的小正方形通过平移而成，求这个图形的面积.

追问1 你有哪些方法？

追问2 通过上述不同的角度解决问题，你有什么发现？

追问3 从运算的角度看为什么3a·2a可以写成6a2？

【师生活动】 从整体看：S=3a·2a，从局部看：S=6·a2. 很容易发现3a·2a=6a2，一个图形面积通过“算2次”的方法可以得到一个等式. 从运算的角度看，运用乘法的交换律与结合律发现3a·2a=3×2·a·a=（3×2）·（a·a）=6a2.

设计意图 通过简单而熟悉的情境，激发学生的学习兴趣;为学生提供探究的时间和空间，并及时给予指导和肯定，让学生感受成功的喜悦. 先从形的角度，感悟“算2次”的思想，再从数的角度体会运算的依据，让学生感受到研究整式乘法的严谨性.

2. 深入感知

问题2 计算下列各式：

（1）2a3b·3ab2;

（2）6x3·（-2x2y）.

追问1 上述运算是什么运算？

追问2 单项式乘单项式是如何运算的？依据是什么？

【师生活动】 学生独立思考后，很容易知道这是单项式乘单项式;通过第（1）小题猜想单项式与单项式如何相乘：系数相乘，字母相乘;通过第（2）小题学生相互补充完善并归纳出单项式乘单项式法则. 借助问题1的活动经验发现其依据是乘法的交换律与结合律.

设计意图 通过两道具体的单项式乘单项式运算，让学生体会“数式通性”的特点. 激发学生思考运算的法则及其依据，经历猜想、运算、验证、归纳等过程. 在概括单项式乘法法则过程中，体会从特殊到一般的思维过程. 学生先通过自由发言，阐述自己的观点，再通过相互补充加以反思，最后完成对法则的抽象，在概括法则的过程中培养学生的语言表达能力.

3. 总结归纳

问题3 计算下列各式：

（1）a（b+c+d）;

（2）（a+b）（c+d）.

追问1 第（1）题与第（2）题分别是什么运算？如何运算？依据是什么？

【师生活动】 学生先独立思考，再小组交流. 第（1）题是单项式乘多项式，感悟其运算的依据（乘法分配律）;第（2）题是多项式乘多项式，借助第（1）题经验，从运算过程来看，把其中一个多项式看成一个整体，运用乘法分配律进行转化;同时从运算结果来看，多项式乘多项式也可以直接转化为单项式乘单项式，为概括多项式乘法法则奠定基础.

追问2 你能从形的角度验证第（1）题与第（2）题吗？拼图分析.

【师生活动】 给予学生充分的时间拼图验证，借助单项式乘单项式图形的经验，类比拼出描述单项式乘多项式、多项式乘多项式的图形，体会类比、转化、数形结合思想.

追问3 你能归纳单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则吗？

【师生活动】 回顾两道题的解决的依据，归zT4qAdxJJlggbPTBTEZpEQ==纳单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则. 单项式乘多项式：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加;多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 感悟运算的依据（乘法分配律），进一步体会整体、转化的思想.

设计意图 在掌握单项式乘单项式的基础上，激发学生用转化的思想解决问题，同样从数与形两个角度来思考问题. 用语言概括发现的结论，抽象出单项式乘多项式、多项式乘多项式法则. 在教师的引导下进一步感知，通过合作交流，得出整式乘法之间的关联，获取新知，体会类比、转化、数形结合的思想.

4. 拓展延伸

问题4 计算下列各式：

（1）（a+b）（a-b）;

（2）（a+b）2;

（3）（a-b）2.

【师生活动】 学生通过运算巩固整式乘法，从数的角度思考，将其转化为多项式乘多项式来解决.

追问1 第（3）题你还有哪些方法？

【师生活动】 学生自主探究，合作共赢. 常见两种解决思路，一是类比第（2）题的方法，（a-b）2=（a-b）·（a-b），转化为多项式乘多项式来解决，体会方法一致性;二是利用第（2）题结论，（a-b）2=[a+（-b）]2，体会结论一致性.

追问2 你能从形的角度验证这三题吗？拼图分析.

【师生活动】 学生经历独立构图—小组交流—完善图形的过程. 在解决过程中，学生会感到有困难，教师给予充足的时间，并适时介入，引导学生观察等式的结构特征，再构造图形表示相关的面积，类比学习.

追问3 观察这三个式子的结构，说说其特点.

【师生活动】 学生从多个角度观察三个式子的特殊性（相对于多项式乘多项式），然后尝试用文字语言概括，最后归纳三个式子的结构特征.

设计意图 以三道练习来巩固整式乘法法则，在解决问题的过程中进行一般化，进而发现乘法公式，在式结构中理解乘法公式，在形结构中深化乘法公式的认识. 通过不同角度验证乘法公式的正确性，让学生学会辩证地看待问题，从而加深对公式的理解和公式结构的掌握. 以形助文，以文构形，形文结合，让学生加深对公式结构特征的理解和掌握.

5. 回顾反思

（1）本节课研究了什么？

（2）如何研究的？涉及了哪些思想方法？

（3）接下来你想研究什么？

【师生活动】 师生共同反思回顾，形成整式乘法的结构化知识，习得研究知识的思路.

设计意图 问题由易到难，逐层递进，首先是对本节课知识的回顾，突出规范的语言表述;其次是研究思路的再现，突出研究方法的重要性;最后是研究内容的延续，将研究对象延伸到接下来的因式分解，让学生产生一种学习的期待，延伸到整式的除法，以开启对未知领域的探索. 这样的回顾反思，发生于课内，延伸至课外，一脉相承，使得知识更加系统化、结构化，有利于学生初步形成知识网络. 对学生数学素养的形成有着很好的巩固、促进的作用.

教学思考

如开篇所述，传统的课时教学，不利于学生发展核心素养.

1. 把握单元教学内容，唤醒自主建构意识

新课标认为单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学学习内容的整体理解与把握[1]. 数学知识不是简单的知识点排列和堆砌，所有知识之间都存在着不可割裂的内在联系，是一个有结构的有机整体. 唤醒自主意识是自主建构的重点，通过对单元内容的深度理解，提炼结构化知识体系;结合学生的学情需要，提升“线性知识”之间的关联性，形成系统化的认知结构;创设适切的情境，激发学生的好奇心，不断形成自主学习的意识，提升自主建构的有效性. 本节课以“整式乘法”为主题，先从数与形两个角度探究单项式与单项式相乘，再通过类比、转化自主建构单项式与多项式、多项式与多项式相乘，最后经历一般到特殊的思维过程，建构出乘法公式，让学生经历用整体、联系、发展的数学眼光看待问题，形成科学的思维习惯，让自主建构在高位发生，发展学生核心素养.

2. 优化单元教学设计，提升自主建构能力

单元教学的价值在于用整体统领的观点来搭建知识结构，用类比联想的策略来满足自然生长，用自主建构的方法来积累活动经验. 自主建构需要重视学生已有的原始概念，对学生来说，已有的知识和经验对自主建构知识、促进思维发展具有重要作用;对教师来说，教学是学生自主建构知识的过程，教师需要优化教学设计，唤起学生已有的感性认识，联系学生已学知识进行教学. 自主建构需要学生之间的合作交流，通过合作交流相互质疑彼此观点的对立、指出对方的逻辑矛盾，可以更好地引发学生的认知冲突和自我反思，有助于学生促进彼此建构出新的假设和产生更深层的理解. 本节课搭建了以“整式乘法”为主题的单元知识结构，通过优化设计，引领学生在已有知识经验的基础上进行自主建构，从整体上把握知识的脉络，形成对未来学习有支撑意义的数学知识体系. 学生通过自主建构，习得结构化知识体系与研究思路，逐步实现从“学会”到“会学”的学习能力的跃迁.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2022.