球极投影下的Hopf纤维化

摘要：Hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如：11共振（TheOnetooneResonance）、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面（BlochSphere）表示、广义相对论里TaubNUT空间的全局结构以及庞加莱群（覆盖群的）的零质量螺旋度表示等.为了理解此构造，本文通过球极投影给出了Hopf纤维化的几何直观.并且在此基础上利用计算机软件画出了部分的Hopf纤维化.此外，由于在文献［1］中Thurston给出了Hopf纤维化的诸多结论，但缺少证明.本文给出了相关结论的详细证明.

关键词：Hopf纤维化；球极投影；纤维丛

1概述

记Sn为欧氏空间的单位球面.1931年，Hopf构造了S3到S2的映射，即Hopf映射，引发了对纤维与同伦群的研究.其构造了一个特殊的纤维化，且任意两个纤维之间的环绕数1，证明了Hopf映射不同伦于常值映射.随后他证明了同伦群π3（S2）是由Hopf映射生成的无限循环群，表明三维球面到二维球面映射的同伦类有可数无穷多［2］.1933年，Hopf利用同调对于n维多面体到Sn进行完全分类（Hopf分类）［3］.

从同伦的观点看，Hopf证明了同维数球面Sn到自身的连续映射由其映射度唯一决定，这标志着同伦论的诞生，Hopf是同伦论奠基者之一，第一个从拓扑角度来研究同伦论［4］.1935年，Hurewicz在定义同伦群的概念时受到Hopf的影响.后来，Freudental在Hopf与Hurewicz的研究基础上证明了Hopf分类的完备性.且他发现了悬垂映射，从此同伦论成为拓扑学中一个热门.

Maurício等人［5］研究了Hopf纤维化的推广，即Hopf流形，他们证明Hopf流形上余1维的非奇异分布是可积的.杨永举等人［6］对Hopf流形进行了推广，利用流形上流和万有覆叠理论，构造了Hopf流形上的一个叶状结构.并且证明了某类Hopf流形上不存在闭的（1，1）阶微分形式.

2预备知识

在这一节中，我们回顾了纤维丛，纤维化与复射影空间P1中元素的表示.纤维化是覆叠空间的推广［7］，是拓扑学中重要的概念之一.纤维丛的理论，是1946年由美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出的.

定义1：如果满的映射P：E→B，满足同伦提升性质，则称P为纤维化.其中B被称为底空间，E被称为全空间，Y为任意拓扑空间.同伦提升性质为任给一个拓扑空间Y，以及交换图，存在一个h使得下面的图表中可交换［8］.

任取B中一点b，b在P下的原像被称为b点的纤维.如果底空间B是道路连通的，可证明B中两个不同点b1和b2的纤维是同伦等价的.

纤维丛是比纤维化更强的一种结构，Hopf纤维化不仅是一个纤维化，而且是一个纤维丛.为了进一步理解Hopf纤维化，在此处引入纤维丛的定义.

定义2：一个纤维丛是由四元组（E，B，π，F）构成，其中E，F是拓扑空间，B是连通的，B被称为丛的底空间，F被称为纤维，π为投影映射。π：E→B为一个连续满射，满足局部平凡化的条件.其中局部平凡化的条件是：对于x∈B，存在一个在B中包含x的开邻域U，并有一个同胚映射φ：π-1（U）→U×F，φ并且要满足φ：π（y）=p1°φ（y），y∈π-1（U）.其中p1：U×F→U是自然投影［910］.

定义3：复投影空间

2中每一个经过原点z=0的复直线（是一个实平面）视为一点所得商空间，即

-0，z12+z22≠0

所有符合条件的（λz1，λz2）均可以作为等价类的代表元.即［z1，z2］=［λz1，λz2］.

3Hopf纤维化

此节我们将证明Hopf纤维化是纤维丛，其中S3是全空间，S2是底空间（事实上S2与

P1同胚，具体证明细节参考文献［11］），S1是纤维.S3是欧氏空间的单位球面：

S3=（x1，x2，x3，x4）|x12+x22+x32+x42=1，S3∈

2.此同构将可以使R4中的点（x1，x2，x3，x4）与.令z2=a，0<a<1，每当取定一个0到1的实数a，就会得到一个过点（z1，z2）的纤维F（z1，z2）.当实数a取遍0到1时，我们取这些纤维的并集

∪z2=aF（z1，z2）

其中∪z2=aF（z1，z2）={λ（z1，z2）λ=1，z2=a，z1=1-a2}.根据已知条件可设λ=eiθ，θ∈［0，2π］，设z1=beiψ，z2=aeiφ，其中ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］.令b=1-a2，将欧拉公式：

eiθ=cosθ+isinθ

与

∪z2=aF（z1，z2）=eiθ（beiψ，aeiφ）|θ∈［0，2π］，ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］

代入上述球极投影s有：

sbcosψ+θ，bsinψ+θ，acosφ+θ，asinφ+θ=bcosψ+θ1-asinφ+θ，bsinψ+θ1-asinφ+θ，acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）.

为了方便表示将bcos（ψ+θ）1-asin（φ+θ），bsin（ψ+θ）1-asin（φ+θ），acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）记为x，y，z，

下面对z=acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）进行化简：

由已知x2=b2cos2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，y2=b2sin2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，z2=a2cos2（φ+θ）（1-asin（φ+θ））2

得到

x2+y2=b2（1-asin（φ+θ））2

据a2+b2=1有：

z2=-b2（1-asin（φ+θ））2+21-asin（φ+θ）-1

再令t=11-asin（φ+θ），有x2+y2=b2t2且得到：

b2t-2t+1+z2=0

解得：

t=1±1-b2（z2+1）b2

将t=1±1-b2（z2+1）b2代入x2+y2=b2t2中有：

x2+y2=b·（1±1-b2（z2+1）b2）2

容易看出：

b2（x2+y2）=（1±1-b2（z2+1））2

再次化简得到：

x2+y2-1b2+z2=a2b2

在此种情况下z2=a，z12+z22=1，纤维F（z1，z2）在球极投影下的像在环面上.

令R=1b，r=ab代入，得到：

x2+y2-R2+z2=r2

Hopf纤维化的一部分图

其中上图中的左图的参数为：

ψ=φ=0，a∈k（0.1）|k∈Z，0k（0.1）0.7

上图中的右图的参数为：

a=22，φ，ψ∈k（0.4）|k∈Z，0k（0.4）2π

结语

通过对s3上的点的讨论，得出了纤维丛（S3，S2，η，S1）中的纤维s1在球极投影下的像有以下三种情况：纤维s1在球极投影下的像是平面上的标准圆周，纤维s1在球极投影下的像是空间直角坐标系的Z轴并无穷远点，纤维s1在球极投影下的像在环面上。

参考文献：

［1］ThurstonWP.ThreeDimensionalGeometryandTopologyVolume1［M］.PrincetonUniversityPress，1997.

［2］HopfH.berdieAbbildungenderdreidimensionalenSphreaufdieKugelflflche［J］.Mathematische&nbsp;Annalen.1931，104：637665.

［3］HopfH.DieKlassenderAbbildungenderndimensionalenPolyederaufdiendimensionaleSphre［J］.CommentariiMathematiciHelvetici.1933，5：3954.

［4］ChernavskiiAV.EncyclopaediaofMathematics（set），1sted.［M］.Springer，1994.

［5］MaurícioC，AntonioMF，MishaV.ClassifificationofholomorphicPfaffsystemsonHopfmanifolds［J］.EuropeanJournalofMathematics.2021，7：729740.

［6］杨永举，田颢.某些三维Hopf流形的性质［J］.南阳师范学院学报，2009，8（03）：1415.

［7］MayJP.AConciseCourseinAlgebraicTopology［M］.UniversityOfChicagoPress，1999.

［8］SwitzerRM.Algebraictopology：homotopyandhomology［M］.Springer，1975.

［9］AllenH.AlgebraicTopology.［M］.CambridgeUniversityPress，2001.

［10］NormanS.TheTopologyofFibreBundles1sted［M］.PrincetonUniversityPress，1999.

［11］马天.流形拓扑学：理论与概念的实质［M］.北京：科学出版社，2010.

［12］AdamsJF.OnthenonexistenceofelementsofHopfinvariantone［J］.BulletinoftheAmericanMathematicalSociety，1958，05（64）：279283.

作者简介：赵坤（1998—），男，汉族，江西九江人，硕士研究生，研究方向：代数拓扑。