沟通联系明算理 迁移类推寻算法

徐娟

算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面，算理解决“为什么这样算”的问题，算法是算理的具体化，解决“怎样算”的问题。素养导向下的计算教学要让学生感悟运算的一致性，理解运算的本质是计数单位个数的累加与递减。如何更好地引导学生明晰算理、掌握算法呢？

一、结合已有经验，实现从未知到已知的转化

数与代数领域包括“数与运算”和“数量关系”两个主题，学段之间的内容相互关联、由浅入深、层层递进、螺旋式上升排布，构成相对系统的知识结构。运算新知的学习要建立在学生已有旧知和原有经验的基础上，教师要引导学生关联已有的知识经验，将未知转化为已知，进而解决问题，掌握新知。

以北师大版数学三年级上册《小树有多少棵》的教学为例。笔者先提出“3捆一共多少棵？”的核心问题，学生列式“20×3”。接着，笔者让学生独立思考怎样计算，并把想法写下来或画出来。交流中，学生分享了多种不同的计算方法：有的学生将原式转化为“20+20+20”，画数线图得出连加结果；有的学生先用表内乘法计算2×3=6，再联想到20×3=60，通过迁移计算2×3的旧知，顺利解决了计算20×3的新问题。笔者分两个层次帮助学生实现知识转化，突破教学重点。第一层次，用课件展示3捆小树，每捆20根，每捆的20根可分成2个10根，3捆就是6个10根，也就是60根，这是实物层面的算理理解。第二层次，联系在计数器个位上拨出的3个2即6个一的旧知，类比得出在计数器十位上拨出的3个2就是6个十。同样在讲3个2的计算，只是它们所在的数位不同。在十位上讲3个2的计算，就是学生所说的先不看末尾的0，计算2×3后再在积的末尾添上1个0。学生在找相同点和不同点中发现了各种方法之间的关联，架起了从旧知到新知的桥梁。

在学习两位数乘一位数后，学生对“拆、算、合”的转化形式有了一定的认识，在此基础上，教师一方面可以引导学生独立探索两位数乘两位数的算法，让学生进一步感悟从未知到已知的转化，由此将转化思想迁移运用到三位数乘两位数的运算中；另一方面可以引导学生感悟乘法计算的一致性，即最终都可以转化为一位数乘一位数（表内乘法）进行计算。

二、在表征与联系中体会运算一致性

2022年版数学课程标准提出，“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性”，“感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维”。小学阶段，教师不仅要利用直观模型帮助学生理解四则运算的算理，还要引导学生把直观操作的过程用算式表达出来，提高学生理解算理的抽象化水平。

北师大版数学一年级下册《小兔请客》主要教学“20＋30”。为什么是十位上的2和十位上的3相加呢？因为20＋30=2×10＋3×10=（2＋3）×10=5×10=50。学生理解“20＋30”就是把2捆小棒和3捆小棒合起来，笔者要求学生在操作的基础上先用语言表达2捆小棒表示2个十、3捆小棒表示3个十，然后用算式表示2个十是2×10、5个十是5×10，而2捆小棒和3捆小棒合起来，用语言表达即“20＋30是2个十和3个十合起来”，用算式表示是“20＋30=2×10＋3×10”，也就是说，2个十和3个十合起来是5个十，即50。学生在直观操作、语言表达、算式表示的勾连中清晰地发现整十数的加法计算就是计数单位的个数相加。

整数加减法强调相同数位对齐，小数加减法强调小数点对齐，分数加减法强调分母相同才能直接相加减。其中，算法的一致性是明显的，也就是相同计数单位的数才能相加减，原因在于整数、小数、分数的四则运算本质上都是对计数单位的个数进行运算。如分数乘法就是计数单位上的数与计数单位上的数相乘（一个因数的分子与另一个因数的分子相乘的积作积的分子），计数单位与计数单位相乘（一个因数的分母与另一个因数的分母相乘的积作积的分母，同时形成新的计数单位）。在北师大版数学五年级下册《分数乘法（三）》的教学中，学生理解了[34]×[14]的意义是求[34]的[14]之后，笔者先引导学生画图表示[34]，学生画出一个正方形，把正方形平均分成4份后，涂出其中的3份。接着，笔者要求学生用语言表达[34]就是3个[14]，用算式表示就是[14]×3。然后，笔者引导学生在图中表征[34]×[14]，即把正方形的[34]平均分成4份，用另一种画法涂出其中的1份。由此，学生理解了把正方形的[34]平均分成4份，涂其中1份，实际上就是先把计数单位[14]平均分成4份，取其中的1份，得出一个新的计数单位[116]，再涂出3个[116]，用算式表示这个操作过程就是“[34]×[14]=[14]×3×（[14]×1）=（[14]×[14]）×（3×1）=[116]×3=[316]”。学生在操作、语言表达的基础上，联系算式体会到分数乘法实际上是计数单位（分数单位）个数累加的计算。

在每一次的算理教学中，教师坚持用算式表达算理，有助于学生看到整数、小数、分数的四则运算都是对计数单位和计数单位个数的操作，感知运算的一致性。在小学六年级的数学总复习中，教师要有意识地引导学生发现不同运算之间的共性与差异，沟通四则运算之间的联系，理解减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便计算、除法是乘法的逆运算等，从而更好地感悟四则运算的一致性。

三、在迁移与类推中增强推理意识

数学运算是一种严格的推理，如果只把运算看作一种程序化的机械操作，就降低了其教学价值。2022年版数学课程标准强调运算的一致性，这在一定程度上就是强调运算的推理意义。计算教学中，教师应该引导学生不断积累经验，形成推理意识。    仍以《小树有多少棵》的教学为例，全课的学习充满着推理，学生的推理路径如下。首先，学生在计算整十数乘一位数时结合乘法的本质，通过类比，将“20×3”与“2×3”建立联系，进而推理出可以用在“2×3”的积“6”末尾加一个0的方法解决问题。接着，探究整百数乘一位数时，学生结合乘法的意义理解了整百数乘一位数就是要计算计数单位百有多少个，由此联想到先不看乘数末尾的两个0，用表内乘法计算出积后，再在积的末尾添两个0，得出最终结果。然后，在“算一算，你发现了什么？”练习中，学生通过横向、纵向观察算式（8×4=32，80×4=320，800×4=3200，6×7=42，6×70=420，6×700=4200），发现乘数末尾0的个数与积末尾0的个数有关系，进而归纳、概括出“一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的10倍，积也扩大到原来的10倍”“两个数相乘，可以先去掉乘数中末尾的0，求出积后，再在积的末尾添上被去掉的0”等结论。最后，学生自主仿写一组算式，类比、迁移所学知识，加深对整十数、整百数、整千数乘一位数的计算方法的理解和感悟。

计算教学中，教师应适时组织学生交流不同运算之间的联系，以及同一种运算的不同计算方法之间的联系。比如，学习分数加减运算后，引导学生思考分数加减运算方法与整数、小数加减运算方法的共性，促进运算知识的结构化。

（作者单位：潜江市中小学教师继续教育中心）

责任编辑  刘佳