大单元视角下“一次函数”课程 目标设计与内容整合

彭敏 余冬晴

彭敏，湖北省特级教师，襄阳市隆中名师工作室主持人，出版专著《基于整体观的初中数学教学实践》。彭敏带领工作室成员聚焦单元整体教学研究，探索出“三阶”课例研究模式，即通过研究精品课例明晰一节课的特点，通过研究专题课形成一类课的教学模式，通过课例研究课题化探索一种教学主张。工作室成员在全国初中数学青年教师优秀课展示活动中三次执教展示课，执教的20余节课获省级及以上优质课（精品课）奖项。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》 指出，课程内容组织的重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。大单元教学设计应致力整体规划和设计具有相同本质或内在关联的课程内容，以凸显知识体系的逻辑性和整体性，确保教学的连贯性和流畅性，促进学生数学核心素养发展。本文基于人教版数学八年级下册《19.2一次函数》课程内容，探索大单元视角下课程目标的设计与课程内容的整合。

一、研读课程标准，分析单元教学要素

在“数与代数”知识板块中，一次函数是连接前后知识的桥梁，是第四学段学生必须深入掌握的核心数学知识。一次函数相关知识不仅能为二次函数和反比例函数等复杂函数的学习奠定基础，还有助于学生理解物理学、化学等学科中的数量关系。

一次函数作为最基本的函数类型，是学生学习函数知识的入门课程。课程标准对第四学段学生提出“会用代数式、方程、不等式、函数等描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力”等目标要求。教师要引导学生利用一次函数描述实际情境中关联量的动态变化关系，建构模型观念和符号意识；研究具体数量与一次函数图象之间的内在联系，感悟数形结合思想，发展抽象能力；应用一次函数解决问题，逐步领悟函数原理，提高运算能力。

课程标准分别针对一次函数的意义、一次函数的图象、一次函数与二元一次方程的关系、一次函数的应用等提出如下四点针对性要求。①能结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。②能画一次函数的图象，根据图象和表达式[y=kx+b（k≠0）]，探索并理解[k>0]和[k<0]时图象的变化情况；理解正比例函数。③体会一次函数与二元一次方程的关系。④能用一次函数解决简单实际问题。由此可见，大单元视角下一次函数的教学可以分为函数建模、函数性质、函数应用三个维度。函数建模要从实际问题出发引出一次函数、正比例函数的概念，为下面探究函数的图象与性质奠定基础；函数性质的学习要循序渐进，借助直观图象探究一次函数的性质，体会一次函数与二元一次方程之间的关系；函数应用要求学生借助函数分析与解决实际问题。在此基础上，笔者从“四基”角度归纳出如下大单元视角下一次函数的教学目标。基本知识：理解一次函数的概念、解析式、图象和性质。基本技能：会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论函数的增减性；能利用一次函数分析和解决简单实际问题。基本思想：体会并应用数形结合思想、变化与对应思想和建模思想。基本活动经验：经历根据实际问题建立数学模型、求解模型并进行验证与反思的学习过程，体会一次函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，初步建立模型观念。

综上，大单元视角下一次函数的教学要从变化和对应的函数观点引入一次函数的概念，接着研究其图象、性质及应用，让知识和技能的学习蕴含在问题探究的过程中，引导学生在真实的问题情境中发掘和提炼一次函数相关知识，深化对线性运算的认识，发展数学思维，丰富学习体验，以整体落实上述“四基”目标，并使之与学生核心素养的发展融为一体。

二、分析学情，把握单元教学重难点

虽然一次函数对学生来说是一个全新的知识领域，初次接触理解起来可能有困难，但是，学生在小学阶段已经对正比例关系和反比例关系有了初步探索，具有一定的识图与读图能力。初中阶段，学生通过数轴、方程、平面直角坐标系等内容的学习，已经体会到数形结合思想的妙用，增强了抽象能力。从教材编排角度讲，在一次函数内容之前，教材编排了变量与函数、函数的图象两部分内容，通过学习这些内容，学生已经初步了解变量与函数的概念，初步掌握解析法、表格法和图象法等刻画函数的方法。这些知识与经验都是学生学习一次函数的有力支持。

在一次函数的学习中，学生需要重点掌握数形结合这种特殊的思维运算方式。这意味着他们需要将抽象的数学符号与直观的图形相结合，在符号语言和图形语言灵活切换的过程中深入理解一次函数的本质和特性。然而，在学生的认知结构中，数与形往往单独存在，它们之间缺乏必要的联系和互动。因此，教师在教学中要注重将抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而降低学习难度，帮助学生提高抽象能力，发展几何直观，建立模型观念。

三、整合课程内容，规划单元课时任务

“一次函数”概念的呈现应该是一个典型的数学建模过程，其学习过程一般要从具体的实例出发，从中提炼出抽象的规律，也就是要将文字描述转变为符号化表达。教材用多个例子说明一次函数的实际背景，大量的实际问题中变量之间具有形如[y=kx+b（k≠0）]的一次函数关系，学生需要仔细审视众多同类型数量关系的不同实例，从中发掘它们共有的本质和特性，还需要运用分类和对比等方法探究正比例函数和一次函数两个不同概念的内在关联。正比例函数和一次函数都是根据函数的解析式定义的，都属于初等函数中的一元多项式函数。当b=0时，一次函数就是正比例函数。正比例函数图象经过平移可以得到一次函数图象，一次函数的增减性与相对应的正比例函数相同。可见，正比例函数是一次函数的特例，但它们没有必然的逻辑顺序。教材出于从特殊向一般推广的考虑，首先编排了正比例函数的内容，讨论了这种函数的定义、图象与性质，然后以此为基础，继续呈现一次函数的定义、图象与性质、解析式求解（待定系数法），及其与方程、不等式的关系。

为让学生以归纳思维形成概念，整体构建数学认知结构，笔者将教材中“一次函数”课程内容进行整合，划分为6个课时：以学生的直接经验为基础，将正比例函数定义和一次函数定义的教学合并为第1课时，正比例函数和一次函数的图象与性质纳入第2课时，第3课时则是图象与性质的综合运用，第4课时教学用待定系数法求一次函数的解析式，第5课时从一次函数的角度重新分析方程、不等式、二元一次方程组，第6课时通过单元小结与复习构建相对完整的知识体系。由此，笔者概括出“下定义（课时1）—画图象（课时2）—归纳性质（课时3）—解决问题（课时4、5）—体系重构（课时6）”的一次函数研究路径，确定了数形结合的研究方法。这种研究函数的路径和方法具有一般性，可迁移运用于其他函数模型的研究，有利于学生举一反三、触类旁通，更加系统化、整体化地研究其他函数。

（作者单位：襄阳市实验中学教育集团）