巧借教材习题设计数学建模活动

桂小兵

［基金项目］本文系合肥市教育规划课题“‘四能视角下高中数学新教材习题的拓展研究”（HJG23122）、安徽省教育规划课题“‘三新背景下开展高中数学建模活动的实践研究”（JK23091）的阶段研究成果。

［摘 要］借助人教A版高中数学新教材中的两道习题设计数学建模活动，通过设置层层深入的问题，采用从特殊到一般的处理方式，帮助学生发现情境中的数学关系，建立数学模型，思考解决问题，从而培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养。

［关键词］教材习题；数学建模活动；高中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0001-04

数学·教学研究

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1]。习题是教材的重要组成部分，教材习题是培养学生核心素养的重要抓手。相较旧教材，人教A版高中数学新教材习题内容更加丰富，且主要分布在“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个栏目中，能够逐层递进地实现知识的巩固应用。特别是“拓广探索”栏目，习题情境多样，且贴近生活，是很好的数学建模载体。借助教材习题设计数学建模活动可取得很好的教学效果。下面笔者结合人教A版高中数学新教材中的两道习题进行说明。

一、建模活动设计案例

［案例1］（必修第一册P58第10题）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？

1.层层引导，抽象问题

这个购买物品问题与生活密切相关，学生有所体会且易于理解，教师需要引导学生用数学思维思考问题、用数学语言表达问题、用数学方法解决问题。

问题1：就本题而言，多次购买同一种物品时，不断变化的是什么？

生（全体）：物品价格。

追问1：怎么知道购物方式是否经济？

生1：两种方式购买的总量不同，那就要看平均价格。

追问2：你能用符号语言表述两种购买策略的平均价格吗？

学生相互交流、讨论，引入字母参数来表示价格、购买量、购买金额和购买次数，并用表格来直观呈现（见表1和表2）。

2.建立模型，逐步求解

问题2：你能表示这两种购买策略的平均价格吗？

结合表格数据进行运算易得策略一的平均价格为：

[P=p1a+p2a+p3a+…+pnana=p1+p2+p3+…+pnn]，

策略二的平均价格为：

[P′=nbbp1+bp2+bp3+…+bpn=n1p1+1p2+1p3+…+1pn]。

追问：那如何比较[P]和[P′]呢？

学生能想到用作差法比较大小，但由于算式复杂，计算能力不强，因此不能顺利推导出结果。笔者以此为契机，设计两个探究活动，引导学生一步步解决问题。

探究活动1：购买次数为2的情况。

策略一的平均价格：[P1=p1a+p2a2a=p1+p22]。

策略二的平均价格：[P2=2bbp1+bp2=21p1+1p2]。

生2： [P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=p1+p22-2p1p2p1+p2=（p1-p2）22（p1+p2）≥0]，当且仅当[p1=p2]时取等号，即购买策略二的平均价格不超过购买策略一的平均价格。

生3：[P1-P2=p1+p22-21p1+1p2=（p1+p2）1p1+1p2-421p1+1p2=1+p1p2+p2p1+1-421p1+1p2≥2p1p2·p2p1-221p1+1p2=0]，当且仅当[p1p2=p2p1]即[p1=p2]时取等号。

探究活动2：购买次数为3的情况。

策略一的平均价格：[P3=p1a+p2a+p3a3a=p1+p2+p33]。

策略二的平均价格：[P4=3bbp1+bp2+bp3=31p1+1p2+1p3]。

师：你有什么样的类比猜想？你能证明吗？

生4： [P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=p1+p2+p33-3p1p2p3p1p2+p1p3+p2p3]

[=（p1+p2+p3）（p1p2+p1p3+p2p3）-9p1p2p33（p1p2+p1p3+p2p3）=]？（运算受阻）

生5：[P3-P4=p1+p2+p33-31p1+1p2+1p3=（p1+p2+p3）1p1+1p2+1p3-931p1+1p2+1p3]

[=3+p2p1+p1p2+p3p2+p2p3+p3p1+p1p3-931p1+1p2+1p3≥2p2p1·p1p2+2p3p2·p2p3+2p3p1·p1p3-631p1+1p2+1p3=0]，当且仅当[p1=p2=p3]时取等号，结论与购买次数为2的情况一致。

师：你发现哪种运算方式具备一般性？你能借助它来探究购买次数为4的情况吗？试一试 。

学生合作探究、动手实践，完成购买次数为4时两种平均价格的比较，并猜想更一般的结论。

师：那现在我们来探究购买次数为[n]的情况。

[p1+p2+p3+…+pnn-n1p1+1p2+1p3+…+1pn][=（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn-n2n1p1+1p2+1p3+…+1pn]

对于[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn]，展开式有[n2]项，即[p1p1+p2p1+p3p1+…+pnp1+p1p2+p2p2+p3p2+…+pnp2+…+p1pn+p2pn+p3pn+…+pnpn]。通过重新组合，使得两两积为定值、和有最小值2，可得

[（p1+p2+p3+…+pn）1p1+1p2+1p3+…+1pn≥n22·2=n2]，当且仅当[p1=p2=p3=…=pn]时取等号。

模型结论：一般情况下，如果多次购买同一种商品，按第二种策略购物比较经济。通常，对于[n]个正数[p1，p2，p3，…，pn]，我们称[p1+p2+p3+…+pnn]为它们的算术平均数，称[n1p1+1p2+1p3+…+1pn]为它们的调和平均数。因此，[n]个正数的算术平均数不小于调和平均数。

讨论话题：药理学研究中，通常利用小白鼠进行实验。在一次实验中，给10只小白鼠使用一定剂量的某镇定药物，然后监测它们的睡眠持续时间（min），记录数据分别为20，24，29，31，33，37，49，58，28，200。你能表示这10只小白鼠的睡眠持续时间的平均水平吗？

学生合作交流，结合已学的算术平均数、几何平均数和调和平均数，思考用哪一种表示方法比较合适。

［案例2］（选择性必修第三册P91第11题）某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者。假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次。统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验。如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。

（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？

（2）如果携带病毒的人只占2%，按照[k]个人一组，[k]取多大时化验次数最少？

1.问题初探，计算辅助

设每个人需要的化验次数为[X]。将携带病毒的人占5%转化为每个人携带病毒的概率，且视每个人化验结果相互独立。 对于问题（1），学生能轻松解决。

[E（X）=15×0.955+65×（1-0.955）≈0.4262]，每5个人一组总平均次数约为[0.4262×10000=4262]，[4262<10000]，所以能减少化验次数。

师：如果按6人一组、7人一组、8人一组进行分组，化验次数是不是还可以减少？

生1：6人一组时，[E（X）=16×0.956+76×（1-0.956）≈0.4316]；7人一组时，[E（X）=17×0.957+87×（1-0.957）≈0.4445]；8人一组时，[E（X）=18×0.958+98×（1-0.958）≈0.4616]。

学生利用计算工具可以一直进行分组，并且容易发现5人一组时化验次数最少，最合理。

类比迁移，携带病毒的人只占2%、[k]个人一组时，[E（X）=1k×0.98k+k+1k×（1-0.98k）=1k+1-0.98k]。

学生利用计算工具对[k]取1，2，3，…逐一计算，容易发现当[k]取8时，化验次数最少。

师：我们不可能一直计算下去，有什么办法可以解决这个问题？

问题是携带病毒的人只占2%、[k]个人一组时求[k]取何值时[E（X）]最小，学生容易想到函数角度，即令[f（k）=1k+1-0.98k]， [f '（k）=-1k2-0.98kln0.98]，但是最值求解遇到困难，教师给予指导。

途径1：借助GeoGebra软件作出[f（k）]或[f '（k）]的图象，从图象上直接得出结果，直观但是不够严谨。

途径2：先求[k]的必要条件，需要满足

[1k+1-0.98k<1，-1k2-0.98kln0.98=0，]代换[0.98k=-1k2·1ln0.98]，可得[k<-1ln0.98≈49.5]，再对[k=2]，3，…，49进行计算验证。

显然途径2具备严谨性，由此建立更一般的数学模型。

2.建立模型，逐步完善

师：这种分组化验在生活中经常遇到。我们能否建立一个更一般的数学模型来刻画这一类问题？问题中有哪些相关的量？

生2：被检测群体的总数，每个人的化验不合格率以及每组的人数，可以依次设为[N，p，k]，其中[p∈（0，1）]，[k∈N*]，记每份样本的化验次数为X，易得到[E（X）=1k×（1-p）k+k+1k×1-（1-p）k=1k+1-（1-p）k]，故[N]份样本的平均化验次数为[1k+1-（1-p）k·N]。

联系生活可知，如果[p]值比较大，那么分组的意义不大，并不能减少化验次数，所以模型需要进一步优化。对此，教师抛出两个探究问题。

探究问题1：分组的目的是减少化验次数，对于[p]，是否有一个范围来指导分组，体现出分组的必要性？

探究问题2：在必须分组的情况下，对于每一个[p]值，是否都存在[k]值使得平均化验次数最少？如果存在，如何求这个[k]值？

为了便于学生进行探究，笔者提前利用GeoGebra软件绘制函数[f（k）=1k+1-（1-p）k]的图象，设置参数[k，p]的滑动条进行动态分析（如图1）。学生利用GeoGebra软件，围绕两个探究问题开展数学实验。

学生通过GeoGebra软件动态分析并计算发现，当[p>0.4]时，[E（X）>1]恒成立，这就失去了分组的必要性，同时得出[p]取1%～10%时，化验次数最少时对应的[k]和[E（X）]值（见表3）。

这说明给定[p]值，存在[k]值使得化验次数最少且分组有意义。

师：很好！以上为实验数据，那能否用代数方法来解释呢？

学生从一元函数角度出发，利用导数来分析函数的单调性，由于[f '（k）]较为复杂，因此在求解[f（k）]最值时受阻。教师引导学生结合[k∈N*]调整运算策略，先说明分组必要性的要求，即[1k+1-（1-p）k<1]，等价于[k（1-p）k>1]。

令[g（k）=k（1-p）k-1]，[g'（k）=（1-p）k1+kln（1-p）]，当[k∈0，-1ln（1-p）]时，[g（k）]单调递增；当[k∈-1ln（1-p），+∞]，[g（k）]单调递减。

故[g-1ln（1-p）=-1ln（1-p）·（1-p）-1ln（1-p）-1>0]，即[-（1-p）-1ln（1-p）

令[u=ln（1-p）]，[1-p=eu]，则不等式变形为[-（eu）-1u

再说明存在最合适的分组[k]值，即存在使得[f（k）=1k+1-（1-p）k]取得最小值的正整数[k]。[f '（k）=-1k2-（1-p）kln（1-p）]，极值与单调性分析比较困难。换一个思路，说明当[k>-1ln（1-p）]时，[f（k）>f-1ln（1-p）]恒成立，这样，由于[k∈N?]，在区间[0，-1ln（1-p）]内必然存在使得[f（k）]取得最小值的[k]。

即证：[1k+1-（1-p）k>-ln（1-p）+1-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即证：[1k1-k（1-p）k>-ln（1-p）-（1-p）-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

即证：[1kk（1-p）k-1<-ln（1-p）-1ln（1-p）（1-p）-1ln（1-p）-1]，[k>-1ln（1-p）]。

即证：[1k·g（k）<-ln（1-p）·g-1ln（1-p）]，[k>-1ln（1-p）]。

由于[k>-1ln（1-p）]，[g（k）

师：结合以上的模型分析，你能作一下总结吗？

生3：对于分组化验，当[p<1-e-1e≈0.3078]时才能减少工作量。采用分组化验方法后，计算[f（k）=1k+1-（1-p）k]，其中[k∈k∈N*k≤-1ln（1-p）]，当[f（k）]最小时对应的[k]值就是最合适的分组[k]值。

二、数学建模活动设计反思

案例1的教学对象是高一新生，他们刚刚学完不等式、基本不等式等内容，数学抽象能力和数学运算能力都还不够强，而这两种能力恰恰是数学建模的基础能力。教学中教师采用从特殊到一般、由易到难的方式，设置层层深入的问题，逐步引导学生解决问题，帮助学生实现能力的螺旋式上升。

案例2的教学对象是即将学完高中课程的高二学生，他们的数学抽象能力和数学运算能力都已经达到一定水平，建模过程中的字母运算、函数分析等工作他们都可以完成，教师只需在难点处进行点拨。同时，学生还可以借助信息技术进行复杂运算，开展数学实验，自主发现一些数字特征、变化规律，变被动学习为主动学习。

综上，数学建模是培养学生创新能力和实践能力的重要途径。在数学建模活动中，学生通过数学抽象、数学表达、模型建构、数学运算等分析和解决实际问题，数学建模能力、创新能力和实践能力都得到了很好的培养。教材是教学的重要资源，是专家集体智慧的结晶，是提升学生核心素养的有力抓手[2]。教师要充分利用教材中的习题资源设计数学建模活动，并结合不同层次学生的学情和运算能力，给予学生适当的指导，培养学生的数学应用意识和数学建模素养，真正发挥教材的育人功能。

［   参   考   文   献   ］

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]  王世朋，钱良辰，汪煦.课本习题实施探究活动教学的路径及建议：以人教2019A版数学第一册教学为例[J].数学通报，2022（8）：41-45.

（责任编辑    黄春香）