椭圆焦点三角形的周长结论专题探究

陈庆武

［摘 要］椭圆焦点三角形的周长结论广泛应用于解题，建议教学中采用专题探究的方式引导学生探索证明。文章对椭圆焦点三角形的周长结论进行专题探究，并提出相应的教学建议。

［关键词］椭圆；焦点三角形；周长结论；专题探究

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0005-03

椭圆焦点三角形的特征十分鲜明，即过椭圆一条焦点弦的两个端点与另一个焦点。对于椭圆焦点三角形生成的一些特殊结论，学生在探究学习中若能准确归纳、深刻理解，则解题将事半功倍。教学中教师可以采用专题探究的方式，引导学生解析模型，针对性地进行探索证明，并结合实例进行强化训练。下面笔者针对椭圆焦点三角形的周长结论进行专题探究。

一、专题探究

对于椭圆焦点三角形的周长结论，可以按照“结论探索→应用探究→深度拓展”的思路来进行探究。证明过程可结合具体模型，引导学生明晰证明逻辑；应用强化阶段可遵循由易到难的原则设计问题，引导学生掌握解题方法。

教学环节一：模型透视，结论探索

椭圆焦点三角形的周长实则为定值，模型中最为鲜明的特点是生成了焦点三角形，其过椭圆一条焦点弦的两个端点与另一焦点。下面进行具体探究。

［题1］如图1，椭圆[C：x24+y23=1]的左焦点为[F1]，过[F1]的直线交椭圆于[A]、[B]两点，求△[ABF2]的周长。

模型解读：焦点弦——直线过椭圆的左焦点[F1]，与椭圆有两个交点A和B，形成的线段[AB]。

焦点三角形——焦点弦AB与另一焦点[F2]构成的△[ABF2]。

结论探究：根据椭圆的第一定义可知[AF1+AF2=2a]，[BF1+BF2=2a]，将两式相加得[AB+AF2+BF2=4a]，可得△[ABF2]的周长为[4a]。

深度解析：对于椭圆焦点三角形的周长结论——周长为定值[4a]，教师需要让学生注意两点：一是图1中的直线AB经过的是椭圆左焦点，若直线AB经过椭圆的右焦点，结论不变，证明过程一致；二是关于该结论，可以解读为椭圆焦点三角形的周长为定值，为长轴长的2倍，并且与过焦点的直线的倾斜角无关。

教学环节二：初步应用，过程指导

［题2］设[F1]、[F2]是椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长[PF2]交椭圆C于点Q，且[PF1=PQ]，若[△OPF1]的面积为[36b2]，则[PQF1F2=]             。

教学预设：本题看似是椭圆综合题，实则为椭圆焦点三角形问题，问题条件较为隐晦。教学中，教师需要引导学生分步剖析突破，推导解析过程，可按照“条件解读→图象绘制→初步推理→解析求解”的逻辑来求解。

第一步，条件解读。

条件1：点P在椭圆C上，延长[PF2]交椭圆C于点Q。解读1：弦PQ经过椭圆的右焦点，为焦点弦，且[△PF1Q]为焦点三角形。

条件2：[PF1=PQ]。解读2：[△PF1Q]为等腰三角形。

第二步，图象绘制。

根据上述条件及其解读，引导学生绘制如图2所示的图象。

第三步，初步推理。

由题意可知，[△OPF1]的面积为[36b2]，椭圆的两个焦点关于点O对称，[OF1=OF2]，则可以推知[S△PF1F2=2S△OPF1=236b2]。

在[△PF1F2]中，设[∠F1PF2=θ]，[θ∈（0，π）]，由余弦定理可得[F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cosθ]，则[4c2=4a2+（-2-2cosθ）PF1PF2]，整理可得[（2+2cosθ）PF1PF2=4a2-4c2=4b2]，所以[△F1PF2]的面积为[S=12PF1PF2sinθ=sinθ1+cosθb2=33b2]，即[3sinθ-cosθ=1]，[sinθ-π6=12]。

因为[θ-π6∈-π6，5π6]，所以[θ=π3]，结合[PF1=PQ]可知[△PF1F2]是等边三角形，即[PF1=QF1=PQ]。

第四步，解析求解。

[△PF1Q]为椭圆的焦点三角形，根据椭圆焦点三角形的周长结论，可得[PF1+QF1+PQ=4a]，则有[PF1=43a]，则[PF2=23a]，所以[QF2=2a3]，可推知[PQ⊥F1F2]，故[PQF1F2=2PF2F1F2=2tan∠PF1F2=233]。

解后思考 本题的综合性极强，核心点有两个：一是探索[△PF1F2]的特性，需要灵活运用余弦定理来分析推理；二是合理利用椭圆焦点三角形的周长结论。教师在指导学生应用椭圆焦点三角形的周长结论时，需要明确两点：一是注意图形特征的挖掘；二是应用时要灵活变通，结合其他条件进行分析推理。

教学环节三：灵活变通，应用再探

［题3］已知[F1]、[F2]分别是椭圆[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点，过[F1]的直线与椭圆交于A、B两点，C、D分别为线段[AF2]、[BF2]的中点，[△CDF2]的周长为4，当A为椭圆E的上顶点时，[F1B=65]，则椭圆[E]的离心率为             。

教学预设：本题给定了三角形的周长，求解椭圆的离心率。教学中教师要引导学生关注其中的相似关系，利用相似三角形的周长特性反推出椭圆的特征参数，再结合条件求解椭圆的离心率。建议同样采用分步突破的策略。

第一步，条件解读。

条件1：过[F1]的直线与椭圆交于A、B两点。解读：[△ABF2]为椭圆的焦点三角形。

条件2：C、D分别为线段[AF2]、[BF2]的中点。解读：CD为[△ABF2]的中位线。

第二步，图象绘制。

根据上述条件及其解读，引导学生绘制如图3所示的图象，其中CD∥AB。

第三步，初步推理。

根据题意可知[△ABF2]为椭圆的焦点三角形，且与[△CDF2]相似，相似比为2∶1，由椭圆焦点三角形的周长结论可知[△ABF2]的周长为[4a]，则[△CDF2]的周长为[2a=4]，可得[a=2]。

当点A为椭圆E的上顶点时，[AF1=c2+b2=a=2]，过点B作[BM⊥x]轴，垂足为M（如图4），显然[Rt△AOF1]∽[Rt△BMF1]（O为坐标原点）。因为[F1B=65]，所以[BMAO=F1MF1O=BF1AF1]，即[BMb=F1Mc=652=35]，所以[BM=35b]，[F1M=35c]，[OM=F1M+OF1=85c]，可求出点[B]的坐标为[B-85c，-35b]。

第四步，解析求解。

将点[B]的坐标代入椭圆方程中有[-85c24+-35b2b2=1]，则[c=1]，所以椭圆[E]的离心率为[e=ca=12]。

解后思考 本题是围绕椭圆的焦点三角形进行构建的，其核心知识为三角形相似，在探究中教师应引导学生关注其中的相似模型，利用相似三角形性质来推理求解。对于其中的线段中点，注意推理衍生中位线、相似关系。

教学环节四：深度拓展，结论衍生

上述探究了椭圆焦点三角形的周长结论，显然同为核心圆锥曲线的双曲线，也应存在相似的结论。教学中教师需要引导学生参考椭圆焦点三角形的探究方法，立足具体图形，对双曲线焦点三角形问题进行推理证明。

［题4］已知[F1]、[F2]分别是双曲线[E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点，过[F1]的直线与双曲线的左支交于[A]、[B]两点，连接[AF2]、[BF2]，试求△[ABF2]的周长。

模型解读：过双曲线左焦点的直线与双曲线的左支交于[A]、[B]两点，显然△[ABF2]为双曲线的焦点三角形，可根据题意绘制如图5所示的图象。

结论探究：由双曲线的第一定义可知，[AF2-AF1=2a]，[BF2-BF1=2a]。设[AF1+BF1=m]，综合上述两个式子可得[AF2+BF2=4a+m]，则[ AB+AF2+BF2=4a+2m]，即△[ABF2]的周长为[4a+2m]。

深度解析：对于直线与双曲线的同一支有两个交点的情形，双曲线焦点三角形的周长为[4a+2m]，该值显然不为定值，[m]表示[AB]的长，该长度与直线的倾斜角相关。当直线与[x]轴垂直时，该长度最小，此情形也常作为最值问题来设问考查。

另外，直线与双曲线的两支分别有一个交点情形的结论，此处暂不进行探究证明，教师可引导学生自行分析论证。

二、专题教学建议

专题探究是数学教学的一种重要方式，旨在引导学生围绕核心知识考点进行系统探究，归纳总结相应结论。教学中教师需要循序渐进地引导学生，促进学生充分参与。下面笔者针对专题教学提出几点建议。

（一）立足模型，注重推理

关于数学结论的探索证明，建议立足模型，注重推理。例如对于双曲线的焦点三角形，可以一般的图形为例，绘制对应图象，在此基础上进行推理分析、生成结论，并加以解读。同时，引导学生思考可能涉及的全部情形，确保结论严谨可靠。

（二）注重应用，强化记忆

专题教学中教师应合理设置问题，引导学生思考解决，以此强化学生的知识运用。设置问题时要注意两点：一是问题要由易到难，逐步深入，让学生能够逐步理解探究的结论，并能够灵活运用；二是问题要全面覆盖，具有代表性，可以结合近几年的考题进行拓展。

（三）思维拓展，提升素养

专题教学中教师应注意拓展学生的思维，提升学生的素养。以上述椭圆焦点三角形和双曲线焦点三角形的周长结论的探究为例，应注意模型构建以及数形结合思想、化归与转化思想的渗透。借助问题结论探究渗透数学思想方法，让学生逐步感悟思想精髓，在潜移默化中提升学生的数学素养。

综上，椭圆焦点三角形的周长结论具有极高的应用价值，教师在引导学生开展探究时要注意结合模型，为学生展示过程证明，强化学生的应用实践。在教学环节中，教师应合理设置问题，引导学生思考，启发学生思维。在应用探索环节中，教师应深入反思总结，帮助学生积累解题经验。

［   参   考   文   献   ］

[1]  周跃佳.圆锥曲线焦点三角形角平分线性质的探究[J].数学教学通讯，2022（36）：84-86.

[2]  岳绪彬.双曲线焦点三角形内心的性质及其应用[J].中学数学，2022（3）：58-59.

[3]  王学会.创新背景，总结方法，类比拓展：对一道椭圆综合题的探讨[J].中学数学教学参考，2023（15）：71-72.

（责任编辑 黄春香）