回归教材悟本质 立足思维提素养

李振林

［摘 要］中考试题具有较高的研究价值。文章通过一道中考题回归教材，从教材中找到其母题并进行深度研究，以巩固学生的基础知识，让学生掌握解决问题的通法，深刻领悟数学思想方法，从而提高学生的解题能力和思维能力。

［关键词］回归教材；思维；素养；中考题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0014-04

“回归教材悟本质，立足思维提素养”是一个非常重要的教学理念。“回归教材悟本质”是教学的基本要求，“立足思维提素养”是教学的核心目标。教育的本质不仅仅是传授知识与方法，更重要的是培养思维和提升素养。在教学中，教师不仅要关注学生对知识的获得，更要关注学生的全面化、个性化发展，注重培养学生的核心素养。

从2023年起，广西实行全区中考统一命题，这在一定程度上引领着全区初中课堂教学的基本走向。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，以核心素养为导向，使学生获得“四基”。通过分析近几年广西中考数学试题发现，“切线的性质与判定”“利用直角三角形求线段的长度”的考查较为集中。因此，在中考复习中，笔者通过一道中考题回归到教材的基础知识点，再借助教材例题的示范，引导学生经历模仿、迁移、提高的过程，掌握相关知识点和解题方法。在通法的探究过程中，学生的“四能”得以提升，高阶思维得到培养。下面笔者针对一道中考题进行探讨。

一、例题讲解之通法

通法是指适用解决一类或几类问题的方法。通法教学注重培养学生的思维能力和解题能力。在教材例题的讲解过程中强调通法，有利于学生掌握知识本质。通过通法的学习，学生可以把握知识点间的关联，看透问题的本质，形成一般的解题策略，提升解决问题的能力。

［例1］（人教版九年级上册第二十四章第24.2节例1）如图1，△[ABC]为等腰三角形，[O]是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。

分析：要证明[AC]是⊙O的切线，根据切线的判定定理，由点O作AC的垂线段OE，只需要证明OE是[⊙O]的半径，而已知点D为切点，连接OD就是[⊙O]的半径，因此只需要证明[OE=OD]即可。

切线的性质与判定是初中几何的重要知识点，它涉及几何和代数的基础知识。在解决切线问题时，首先需要了解圆的基本性质，如圆周角定理、垂径定理等，这些知识是解决切线问题的基础；其次需要理解切线的定义、性质和判定定理；最后需要运用代数方法进行计算，这可能涉及解方程组、不等式的证明等。比如在求切线的长时需要利用勾股定理求第三边；在证明切线的性质时需要应用代数方法进行推导。

［通法归纳］圆的切线的两种证明思路：一是作垂直证半径；二是连半径证垂直。

［例2］（人教版九年级下册第二十七章第27.2节例2）如图2，Rt△[ABC]中，[∠C=90°]，[AB=10]，[AC=8]，E是AC上一点，[AE=5]，[ED⊥AB]，垂足为D。求AD的长。

分析：方法一，通过证明△AED与△ABC相似，求[AD=AC·AE]／[AB]；方法二，通过三角函数得[cos A=ADAE=ACAB]。

在中学阶段，求线段长度常用的方法主要有：（1）勾股定理。适用于直角三角形，通过已知的两边求出第三边的长度。（2）相似三角形的性质。如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是常数，可以通过已知的一边和比例来求其他边的长度。（3）三角函数。对于锐角或直角三角形，可以使用三角函数来求边的长度，以及使用正弦函数、余弦函数或正切函数来求某一边的长度。（4）等面积法。两个三角形等底等高则面积相等或者同底等高则面积相等。求线段长度的方法多种多样，通常需要结合具体的几何图形和已知条件来选择和运用。

［通法归纳］求线段长度常用的方法有：找直角三角形依据勾股定理列方程、找相似三角形对应线段成比例、利用等角或同角的三角函数值相等、应用等面积法等。

二、聚焦中考之真题

［真题］（2023年广西初中学业水平考试数学试题第23题）如图3，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作[OB⊥PD]，垂足为B。

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，[OC=5]，求PA的长。

分析：第（1）问：证切线。方法一，利用角平分线的性质证明线段相等，存在的问题是运用角平分线的性质进行证明时条件不全，缺少另一个垂直条件。方法二，利用三角形全等的性质证明线段相等，存在的问题是全等三角形的判定方法不对，或条件不全，或角表达不对。

平时的训练题型经常以“连半径证垂直”出现，而“作垂直证半径”较少。第（1）问打破了长期以来的固化问题模式。为了应对这样的改变，学生就要把握证明切线的两个条件“半径”和“垂直”，以及两个解题思路“连半径证垂直”和“作垂直证半径”。学生只有明确问题的本质，才能避免思维定式，从而准确地解决问题，激活创新思维。

［通法归纳］证明切线的两种思路；一是连半径证垂直，二是作垂直证半径。

第（2）问：求线段。方法一，利用勾股定理，存在的问题是默认[PA=PB]，或者把5当作AC的长度，从而导致算错或列出带根号的方程。方法二，利用相似三角形或锐角三角函数，存在的问题是找错三角形，找△OBC和△OBP。方法三，等面积法。找△OPC或△APC。存在的问题是找错△OPC的高。方法四，延长BO，交[⊙O]于点[E]，使[OE=OC]，证△OBC ≌△OAE，P、A、E三点共线，在Rt△PBE中用勾股定理。存在的问题是默认P、A、E三点共线。方法五，AC与⊙O相交于点F，连接BF，[∠OBF=∠BOP]，[BF∥PO]，利用平行线分线段成比例的性质定理。存在的问题是图中线段多，易混淆。

第（2）问是求线段的长度，解法、思路较多，可以多解类比化归。常见的解题思路有两种：一是用勾股定理找到其他两边，列出方程求解；二是通过四边的比例求第三边，通过角相等找相似三角形或者利用相等角的三角函数值相等。这两个思路是解决此类问题的通法。当然，还可以打开思路，拓展思维，通过三角形的等面积法、构造全等三角形、代换线段、平行线构造相似等实现方法的迁移。多种方法的出现，有利于学生分析方法的优缺点，对图形的特点、解题的方法进行对比，再通过方法反思让思维从发散到集中，最终形成解决问题的一般路径，完善通法。

［通法归纳］求线段长度最高效的方法有两种：一是找直角三角形依据勾股定理列方程；二是找相似三角形对应线段成比例。

三、同质问题之模仿

在几何证明中，经常会遇到一些相似的问题，这些问题具有相同的本质和解题思路，可以通过类比模仿，轻松掌握解题方法。同质问题的模仿，不仅可以帮助学生掌握解题方法，还可以帮助学生深入理解几何定理和性质。通过比较不同问题的解法，学生可以发现它们之间的联系和共性，从而更好地理解几何知识的本质，培养思维能力和创新能力。在解决相似问题时，需要从不同的角度来思考，探索更多的解题思路和方法，通过不断尝试和创新，可以逐渐培养思维的灵活性。

［问题］如图4，在△ABC中，D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，且[AB=BE]。

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若[BE=3]，[BC=7]，求⊙O的半径长。

分析：连接半径OE，依据切线的性质有90°，再连接BO，构造全等三角形，从而通过“连半径证垂直”解决切线问题。求圆的半径时，可通过证明半径所在的三角形为直角三角形，再用勾股定理求解；也可以通过半径所在的三角形相似，用相似三角形的比例线段求解。

［通法归纳］求切线最常见的方法——“连半径证垂直”。求线段长度可找直角三角形，用勾股定理求解或通过证三角形相似，用相似三角形的比例线段求解。

基于以上通法的学习，提供同质问题的模仿题目，从已知条件、图形的变化，让学生感受到用通法成功解题的喜悦，进一步引发学生深度思考，加深学生对通法的理解，使学生掌握基本的解题技能。

四、变式问题之迁移

初中几何证明题重在培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。在几何证明教学中，一些教师会给学生呈现一系列有梯度的例题和习题，让学生去模仿，以掌握基本的几何证明方法。这种教学会导致学生只会机械地套用公式和定理，而缺乏对几何证明本质的理解。因此，教师需要采用变式问题教学方法。

几何证明的变式问题是指对原有问题进行一些变式，如改变条件、结论或图形，从而形成新的问题。几何证明的变式问题可分为三类：一是条件的变式。改变几何图形的已知条件，比如将等腰三角形变为等腰直角三角形或等边三角形；二是结论的变式。改变几何图形的结论，比如将求证两角相等变为求证两线段相等或求证两角的关系；三是图形的变式。改变几何图形的形状或位置，比如将平行四边形变为矩形或正方形。

［问题］如图5，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是[BCD]上不与B、D重合的点，[∠A=30°]，点[F]在AB的延长线上，且[AF=2AB]。

（1）求证：DF与⊙O相切。

（2）若[OD=3] ，求DF的长。

分析：1.“连半径证垂直”的变式，同样是切线的证明，但涉及的知识点更多，知识点的联系更丰富，有切线的性质和判定、圆周角定理、等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的构造等。常规解法是构造三角形全等，证明90度角，进而得证垂直。通过线段的倍数关系，联系中线的性质，判定三角形为直角三角形，从而证明垂直。

2.“利用直角三角形求线段的长度”的变式，解题思路更广，可以用勾股定理、三角函数、相似三角形，方法灵活多样，知识点联系密切，让学生更熟悉解题思路，巩固解题通法，实现思维优化。

五、综合问题之解决

数学综合问题的解决往往需要综合运用数学概念、解题技巧和解题经验。因此，教师要确保学生对数学基础知识的扎实掌握，要加强学生的思维训练，使学生学会找出问题的关键信息，识别所关联的知识点，构建清晰的解题思路，找到解题的方法。

［例1］如图6，在⊙O外有一定点P，过点P作一条直线与⊙O相切，并证明所作直线是⊙O的切线。（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

分析：如图7，连接[OP]，作线段OP的中点A，以A为圆心，以AO为半径作⊙A，与⊙O交于Q和R两点，连接PQ、PR、OQ、OR，则∠OQP和∠ORP为直角。依据切线的判定定理，直线PQ、PR分别是⊙O的切线。直径对应的圆周角为直角，作以OP为直径的圆，那么两圆的交点就是过点P的直线与⊙O相切时的切点。

［通法归纳］“连半径证垂直”的变式迁移，题型变为作图证明题，构造直径所对的圆周角是直角，关键是找到圆心。

［例2］如图8，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F。

（1）求证：EF是⊙O的切线。

（2）若[BF=10]，[EF=20]，求AD的长。

分析：第（1）问是“连半径证垂直”通法的巩固提升，通过角的代换证明[∠OEF=90°]。第（2）问中存在的数量关系较多，应从复杂的图形中捕捉到基本图形，把握相关知识点：圆的基本性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定、等角的三角函数。通过证明△BEF与△EAF相似，先求出[AF=40]，[AB=30]；再通过在Rt△ABE中用勾股定理求线段BE、AE；接着用同角或等角的三角函数或相似关系，求出线段DE；最后求线段[AD=AE-DE]。

［通法归纳］线段AD所在的三角形不是直角三角形，不能直接求，可转换成直角三角形的边，间接求。

六、教学回顾之启示

（一）回归教材悟本质

2023年广西初中学业水平考试是《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布和“双减”实施后的第一次学业水平考试，有很多试题来源于教材中的例题和习题。在今后的教学中，教师要深度挖掘教材的例题、习题的知识网络关系，注重例题研究，引导学生对教材的习题进行由浅入深的剖析、变式。一个基础知识点的掌握，可以通过多层次的例题、真题以及同质问题、变式问题和综合问题来实现。教师可通过对问题涉及的知识点进行整理关联，构成知识体系，再将问题涉及的方法进行归纳总结，形成解题通法，最后将问题涉及的思想进行提炼推广，提升学生的数学思维品质，实现学生思维的高阶发展。

（二）立足思维提素养

让学生经历一题多解、多解归一的探索过程，形成解题的通法、模型，逐步把握问题的本质，通过思维训练，明确解题思路，掌握解题方法。解题教学不仅要讲解法、通法，还要让学生掌握解决同类问题的方法，达到“做一题、会一类、通一片”的学习效果。学生思维品质的提升不是一朝一夕就可以完成的，在以后的教学中教师应当加强通法教学，培养学生的思维能力和数学核心素养。

综上可知，在践行“回归教材悟本质，立足思维提素养”教育理念的过程中，教师要注重引导学生认真阅读教材，理解教材的本质内容，同时注重培养学生的思维能力，提高学生的综合素养，为学生未来的发展奠定坚实的基础。另外，教师要不断探索新的教学理念和方法，紧跟时代步伐，为学生提供更加优质、高效的教育服务。

［   参   考   文   献   ］

[1]  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]  朱杰，易良斌.依据课程标准命题 指向核心素养评价：2022年浙江省初中数学学业考试部分地区试题评析[J].中学数学教学，2023（3）：66-70.

[3]  张春莉，李思奇.试论基于学业质量标准的考试评价[J].湖北教育（教育教学），2023（5）：5-7.

[4]  陈殿光.基于信息化的初中数学“四基”教学实践研究[D].上海：上海师范大学，2017.

（责任编辑    黄春香）