如何运用“整体思想”巧解数学问题

沈强

在解题过程中，要培养学生运用“整体思想”解决问题的能力，可以采用以下教学策略。

一、从简单的情境入手，初步建立“整体思想”观念

1.教师出示题目：李爷爷围了一个菜园（如图1），其中一面靠墙，篱笆的总长为16米，求菜园的面积是多少？

让学生先读题，再尝试解答。预设学生发现篱笆由梯形的上底、下底和高组成，其中高为4米，所以上底与下底的和为12米。学生通常会采用假设法来解决问题，如假设上底为4米，下底为8米或上底为5米，下底为7米，并代入梯形的面积公式进行计算。

2.引导学生思考：为什么假设的上底与下底的长不一样，但面积都是24平方米？

预设学生通过观察会发现，两种假设中上底和下底的和都是12米，因此面积不变。

3.回顾与梳理。教师提问：“有没有一种更简洁的求解方法？”引导学生回顾梯形面积的计算公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。虽然上底和下底的具体长度未知，但它们的和为12米，因此可以直接将“上底与下底的和”整体代入公式，得到梯形的面积为12×4÷2=24平方米。

二、从无法拆分的数据进入，运用“整体思想”解题

1.教师出示题目：如图2所示，正方形面积是8平方厘米，求圆的面积。

让学生尝试解答。预设学生会遇到困难，虽然知道边长×边长=8平方厘米，但无法确定哪个数的平方等于8。

2.观察与分析。教师引导学生思考：正方形与圆之间，哪些数据是相等的？

在教师引导下，学生应能发现圆的半径与正方形边长相等，即r＝a。由于a2=8平方厘米，因此r2=8平方厘米。

3.运用整体代入。圆的面积公式为S=πr2，虽然r的具体值未知，但可以将r2=8平方厘米整体代入公式进行计算，得出圆面积为8π平方厘米。

三、从较复杂的情境进入，运用“整体思想”解题

1.教师出示题目：如图3所示，小明和小红相向而行，小明携带着一只狗。狗与小明同时出发，遇到小红后返回小明处，遇到小明后又朝小红跑去，如此往复，直至小明和小红相遇。请问：这只狗总共奔跑了多少米？

让学生读题，与同桌交流自己的初步想法，并尝试列式计算。教师提问：“你遇到了什么问题？”预设学生难以画出狗奔跑的路线，无从下手。

2.引导学生思考：要求狗奔跑的路程，先要知道哪些条件？

路程=速度×时间，狗的速度是210米/分，只要知道奔跑了多少时间即可。进一步引导学生思考：狗奔跑的时间与什么时间相同？通过逻辑推理，得出：狗奔跑的时间与小明和小红相遇的时间相同，即1800÷（95+85）=10（分）。因此，狗也奔跑了10分钟，其总路程是210×10=2100（米）。

在解题过程中，有时需要分解条件，化“整”为“零”，有时则需要综观全局，运用“整体思想”进行综合分析。

（浙江省嘉兴南湖实验学校）