数学化表征·一般化模型·迁移性应用

夏萍华

【摘   要】模型思想在联系现实世界和数学世界上起着至关重要的作用。“铺地砖问题”中存在典型的数学模型。教师以“铺地砖问题”为载体设计测评工具，分析学生的建模水平，由此提出了“放大数学化表征、构建一般化模型、尝试迁移性应用”等教学策略，从而帮助学生建立数学模型，提升数学建模力。

【关键词】数学建模力；铺地砖问题；数学化；一般化模型；迁移应用

模型思想在联系现实世界和数学世界上起着至关重要的作用。“铺地砖问题”中存在典型的数学模型，与现实世界中的“密铺”现象联系紧密。“密铺”的本质是将线、面、体等研究对象用相应的度量单位占满。为帮助学生感受“密铺”现象，建立“铺地砖问题”模型，人教版教材先后在三年级下册和五年级下册设计了相应的学习内容。在三年级下册，教材先通过“选用哪种图形作为面积单位”的问题，引导学生初步感受“密铺”现象，然后让学生通过解决“铺地砖问题”，经历按“边”或“面”铺设的过程，从而初步构建相应模型。到了五年级下册，教材又通过《长方体与正方体的表面积》一课的内容，引导学生经历从面到体的迁移应用过程。

那么，经过这些内容的学习，学生是否已经建立了“铺地砖问题”模型？他们的建模力又达到了何种水平？针对这两个问题，笔者以“铺地砖问题”为载体，设计测评工具，分析学生的建模水平，并提出相应的教学策略。

一、测评工具设计

为探究五年级学生对“密铺问题”的建模水平，以便为后续立体图形“密铺问题”的教学提供指导，笔者以“铺地砖问题”为载体，开展了建模力测评研究。

（一）测评工具

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能在现实生活中发现并构建普适的数学模型。生活中的“铺地砖问题”是构建“密铺”模型的典型素材，教师可根据学生的年龄特征，通过丰富现实背景和扩充问题结构，设计测评工具。

【问题情境】小晴家计划装修新居（平面图如图1所示），小晴妈妈准备在A、B两款地砖中（如图2）选择一款来铺设厨房地面（不计损耗，可分割使用），请你帮助她设计一个地砖购买方案。

单位：米

【任务设计】（1）你获取了哪些数学信息？需要解决什么数学问题？（2）你准备如何设计购买方案？请用画一画、算一算、写一写的方式表示你的思考过程。（3）从以下现象（如图3）中选择1个或多个，尝试运用前面的经验进行解释，你有什么发现？

（二）关键要素和模型分析

设计一个合理的厨房地砖购买方案需要关注以下关键要素。

①厨房面积。通过割补法求出厨房的面积。

②地砖块数。边对边分别密铺，分割多余部分统一处理（进一法取整），用 “每行块数×行数”求地砖块数。

③砖块选择。比较总价；比较单价，用“每块地砖价格÷地砖面积=每平方米地砖价格”进行判断，得出A砖的性价比高。

学生在解决问题的过程中，需关联这三个关键要素，构建数学模型，具体有如下四种方法。

方法1：用“厨房面积÷地砖面积×对应单价（A或B）”进行计算，不经过比较，直接提出购买方案。

方法2：分别求使用A、B两种地砖的总价，并进行比较，再提出省钱方案——购买A砖。

方法3：先求A、B两种地砖每平方米的单价，并进行比较，提出省钱方案——购买A砖，再求出所需A砖的总价。

方法4：分别用A、B两种地砖沿边铺，用“每行块数×行数”求出总块数，再分别求总价，比较后提出省钱方案。

从面到边，从随意选到比总价、比单价，学生所构建数学模型的变化，代表学生的数学建模力的不同水平。

二、框架与数据

（一）测评框架，明晰总体水平

结合测评工具、要素分析与相关模型，笔者从“识别理解、表征联结、解答反思、解释应用”四个维度设计测评框架，对所任教的五年级81名学生进行测试。学生测试结果如表1所示，其中“分值0～2”分别对应“不合理、部分合理、合理”三个层次。

由表1的数据可知，识别理解和表征联结两个层次的均值相对较高，解答反思和解释应用两个层次的均值则较低。这说明学生在面对较复杂的“铺地砖问题”时，识别信息和表征联结的能力较强，但建构模型并将其迁移应用到新情境的能力较弱，“铺地砖问题”的一般化模型构建不够完善。

（二）分项剖析，聚焦建模困惑点

接下来，结合测评数据分析学生在“铺地砖问题”上的数学建模力，以发现其能力水平的优势与不足。

1.识别关键信息与提出问题的能力较强

从丰富的现实情境中准确识别关键信息，将现实问题简化为数学问题，是学生建模的基础。由表2的数据可知，54.32%的学生能够精准识别现实情境，并将“设计购买方案”简化为数学问题“选择哪种地砖密铺更合理”。可见，学生识别稍复杂现实情境中关键信息的能力较强。

表2 “铺地砖问题”识别力测评统计

[具体表现      人数/人   占比       赋分0：无法识别信息，无法提出数学问题     14    17.28%   赋分1：识别信息时存在多余信息，提出的数学问题是无效问题       23    28.40%   赋分2：能识别关键信息，提出方案中需要的3个主要数学问题 44       54.32%   ]

2.简化信息能力较强，模型建构能力较弱

能关联关键信息，从不同角度建立数量关系，是一般化模型建构的核心环节。由表3的数据可知，超过60.00%的学生能用直接分割、等分分割、分割化归等方法，正确地表征与关联关键要素。但在解决问题的过程中，混淆边和面的现象较为严重。仅有14.82%的学生能够从面或边的铺设角度解决地砖数量问题，并制订合理的购买方案。由此可见，面对较为复杂的情境，学生在建构“铺地砖问题”模型方面存在一定的困难。

3.自主迁移到新情境的应用能力较弱

能自觉地将已有模型与新情境建立联结，尝试解决新问题，体现了建模力的较高水平。该层次的测评主要看学生能否充分运用“铺地砖问题”模型结构，并将面的铺设知识迁移应用至体的铺设中，以解释“茶叶盒问题”，构建线、面、体为一体的数学模型（如表4）。表4的数据表明，约有25.00%的学生具备主动尝试解释新问题的意识，但在运用“铺地砖”经验解释“茶叶盒问题”时，仅有4.93%的学生能运用密铺思维，从节约空间、降低成本等角度对方案进行优化。这表明学生在构建“铺地砖问题”的一般化模型时，从面到体的迁移应用能力还有待提升。

综上所述，学生并未真正掌握“铺地砖问题”的一般化模型，特别是在面临“无法完全铺满”的情境时，学生的建模力显得尤为薄弱。因此，要将二维“面的铺设”知识迁移应用至三维“体的铺设”中，对学生来说挑战重重。

三、教学思考

数学建模力的形成是一个渐进、交替和螺旋上升的过程，有赖于进阶学习活动的逐步推进。然而，人教版教材编排“铺地砖问题”的方式，导致学生在从建模向应用进阶的过程中，出现了思维的断层。因此，教学时有必要让学生对数学模型进行反复的巩固与变式应用（如图4），从而帮助他们更好地理解和掌握这一概念。

具体而言，“铺地砖问题”模型的构建可以从放大数学化表征、构建一般化模型、尝试迁移性应用三个维度展开。

（一）情境变式，放大数学化表征

“铺地砖问题”是建立数学模型的基石。在学生探究新知后，通过变化情境，能够帮助学生巩固和深化对“铺地砖问题”模型结构的理解。

【例1】给一块长100分米、宽30分米的长方形地面铺上草皮，每块草皮长5分米、宽4分米，价格4元。铺完整块地，需要花费多少元钱？

要解决这个问题，教师需要引导学生从复杂的信息中识别出“草皮块数”和“每块价格”两个关键信息，让学生通过画一画、算一算、比一比，发现沿边铺设有两种方法（如图5），且这两种方法都可以用“长边块数×宽边块数”或“总面积÷每块草皮面积”来求草皮块数。这样的变式情境，不仅能提升学生的信息识别能力，还能放大对现实情境进行数学化表征的过程，从而提升学生建构沿边铺设模型的水平。

（二）弥补断层，构建一般化模型

由于教材对“铺地砖问题”的编排跨度过大，学生在将数学模型从面迁移应用到体的过程中，出现了理解上的断层。此外，现实情境中刚好“密铺”的情况也较为少见。因此，教师在教学五年级上册“多边形的面积”单元时，有必要增加一些学习任务。

【例2】幼儿园打算用长70厘米、宽40厘米的长方形布料剪出各种图形，具体包括：边长8厘米的正方形；长3.5厘米、宽2厘米的长方形；底和高都是5厘米的等腰直角三角形；如图所示的平行四边形或梯形。任务以小组为单位完成。

（1）你会怎么剪？能剪多少个？（画一画、算一算）（2）比一比，你有哪些发现？

学生在裁剪过程中会遇到两种情况：一种是正好剪完，这与他们已有的经验相符；另一种是至少有一边有剩余（如正方形），这会强化他们对“铺地砖问题”只能沿边裁剪的理解。此外，等腰直角三角形和梯形也需要转化为长方形或正方形来剪裁，这样能够丰富学生的知识结构。可见，这样的学习任务能够推动学生根据不同情况建立相应的一般化模型。

（三）拓展情境，尝试迁移性应用

迁移应用是数学学习的最高水平，它能帮助学生从一个问题拓展到一类问题，从而提升建模力水平。在教学五年级下册“长方体和正方体”单元时，教师可以通过具体的问题，引导学生将“铺地砖问题”的一般化模型迁移应用到其他情境中。

【例3】一个棱长为40厘米的正方体大盒中最多能放下多少个长、宽为20厘米，高为10厘米的小茶叶盒？正方体大盒的棱长为30厘米呢？

在教师的引导下，学生通过画图、计算等方式，发现数学模型也可以用于解决“茶叶盒问题”。当正方体棱长为40厘米时，它恰好可以实现全面密铺。而当正方体棱长为30厘米时，只能采取沿边拼摆的方式进行布局。此时，他们需要不断调整摆放位置，并思考剩余的7立方分米空间是否还能再放入一个正方体。不难发现，在解决上面两个问题的过程中，学生经历了数学模型由面到体的“先立再破又立”的过程，发展了“铺地砖问题”的建模力。

综上所述，通过放大数学化表征、构建一般化模型和尝试迁移性应用这三个步骤，可以有效帮助学生建立和理解“铺地砖问题”的数学模型。

参考文献：

［1］蔡金法，刘启蒙.读懂每一个学生：课堂评估的目的、设计、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022：126.

［2］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

（浙江省杭州市富阳区富春第七小学）