多元不等式最值（范围）问题九大处理策略

［摘 要］ 解决多元不等式最值（范围）问题是高中生甚至教师的一大薄弱环节，文章针对这一问题，从逻辑推理、数据分析、数形结合等角度出发探索处理策略，试图提升读者的思维能力和解题能力，为后续研究提供方向和思路.

［关键词］ 高中数学；逻辑推理；多元不等式；最值；策略

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大要素. 数学家伍鸿熙说：“推理是数学的‘命根子’.”笔者认为，逻辑推理是数学学科核心素养的核心. 在高中数学中有一类多元不等式最值（范围）问题对逻辑推理能力的要求较高，学生对这类问题往往难以入手. 笔者尝试对这类问题的处理策略加以探究，供大家参考.

策略一：利用不等式的可加（乘）性建立条件与目标的关系

题1 已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则8x·

的取值范围是（ ）

A. ［4，128］ B. ［8，256］

C. ［4，256］ D. ［32，1024］

分析 利用待定系数法先将目标用已知的线性关系表示出来，再利用不等式的可加性进行处理.

略解 8x·

=23x-2y. 设3x-2y=m（x+y）-n（x-y）=（m-n）x+（m+n）y，所以m-n=3，

m+n=-2，解得

m=，

n=-，则3x-2y=（x+y）+（x-y）. 因为-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，所以3x-2y=（x+y）+（x-y）∈［2，8］，所以23x-2y∈［4，256］.

点评 该解法把x+y，x-y看着两个整体进行处理，运用的是整体思想. 另外，对于这种条件与目标均含有二元一次型式子的题目，也可以用线性规划的方法进行处理.

题2 已知x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是______，此时x+y=______.

分析 利用待定系数法先将目标用已知的乘积关系表示出来，再利用不等式的可乘性进行处理.

略解 设x5y-5=（xy2）m·

=xm+2ny2m-n，所以m+2n=5，

2m-n=-5，解得m=-1，

n=3.

因为3≤≤4，所以27≤

≤64. 因为2≤xy2≤3，所以≤≤. 由不等式的可乘性得9≤

≤32，即9≤≤32，故的最大值为32，此时

=4，

xy2=2，解得x=2，

y=1，x+y=3.

点评 该解法同题1的解法一样，也运用了整体思想. 但要注意的是，运用不等式的可乘性时要有“同向且同正”的条件.

策略二：利用齐次化处理策略达到减元的目的

题3 已知正数a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是______.

分析 由ln及的分式结构容易想到，将已知的不等式条件同时除以c，作比值换元（将三元变成两元），再利用线性规划知识进行处理.

略解 题设条件可化为

+≥5，

+≤4，

≥e

，设x=，y=，则3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x，y>0，目标函数为z=，利用线性规划知识易得的取值范围为［e，7］.

点评 对于多元问题，常采取差值代换、比值代换等策略以达到减元的目的.

策略三：利用主元法，结合函数思想求最值

题4 设a>b>c>0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是（ ）

A. 2 B. 4

C. 2 D. 5

分析 题目中的a，b，c只有大小关系，没有等量关系，可看着a，b，c相互独立，结合a，b，c出现的分布特征，依次将c，b，a看作主元进行处理.

略解 以c为主元整理得2a2++-10ac+25c2=（5c-a）2+++a2≥++a2，再以b为主元整理得++a2=+a2≥+a2=+a2，最后以a为主元整理得a2+≥2·a·=4，当且仅当5c=a，b=a-b，a=即a=，b=，c=时取等号.

点评 将其中一个变量看作主元，其他变量看作常数的处理方法称为主元法. 主元法适用于变量相互独立的多元问题. 另外，本题要注意同时取等号的条件.

策略四：利用基本不等式求最值

题5 a，b，c>0，求的最小值.

分析 先利用基本不等式消除常数项5，将原式化为齐次式，再利用待定系数法拆项以达到分式系数成比例，整体比值为常数的目的.

略解 ≥，假设=≥. 由=得λ=，所以≥4. 当且仅当a2+b2+c2=，a=c，b=c，即a2=，b2=，c2=时取等号.

点评 分式齐次化是一种常用的方法.若多元最值问题中出现了“和”“积”“平方和”“倒数和”等条件或待求对象，可首选基本不等式处理策略.

策略五：利用数形结合思想，给目标函数赋予几何意义

题6 若实数x，y满足x2+y2≤1，则

2x+y-2

+

6-x-3y

的最小值是______.

分析 x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，可考虑结合目标的几何意义进行处理.

略解 易得

6-x-3y

=6-x-3y，当2x+y-2≥0时，

2x+y-2

+

6-x-3y

=x-2y+4；当2x+y-2<0时，

2x+y-2

+

6-x-3y

=8-3x-4y. 利用线性规划知识易得当x=，y=时，

2x+y-2

+

6-x-3y

的最小值为3.

点评 对于二元最值问题，常通过探究条件与目标的结构是否具有直线、圆（圆面）、圆锥曲线的几何特征，从而运用数形结合思想进行处理.

策略六：利用分类讨论思想达到减项的目的

题7 设a>0，b>0，求maxa，b

，

+的最小值.

分析 本题中a，b没有等量关系，可以通过讨论a，b的大小关系，从而达到减少maxa，b

，

+中项数的目的.

略解 若a≥b，则M=maxa，b

，

+=maxa

，

+，M≥a，M≥+≥+=，所以M2≥a·=4，M=2. 若a<b，则M=maxa，b

，

+=maxb

，

+，M≥b，M≥+>+=，故M2>b·=4，M>2. 所以maxa，b

，

+的最小值为2.

点评 这类求最大中的最小或最小中的最大问题实质是分段函数问题，因此分类讨论是常规策略. 本题先讨论a，b，+三项中的两项a，b的大小，然后利用不等式的可乘性达到消元化常数的目的.

策略七：利用三角不等式放缩确定变量的取值范围

题8 已知实数a，b，c，则（ ）

A. 若a2+b+c+a+b2+c≤1，则a2+b2+c2<100

B. 若a2+b+c+a2+b-c≤1，则a2+b2+c2<100

C. 若a+b+c2+a+b-c2≤1，则a2+b2+c2<100

D. 若a2+b+c+a+b2-c≤1，则a2+b2+c2<100

分析 利用三角不等式将绝对值的和转化为和或差的绝对值，进而确定a，b，c的大致范围.

略解 用排除法求解. A项：举反例，取a=b=-4，c=-12；B项：举反例，取a2=100，b=-100，c=0；C项：举反例，取a=10，b=-10，c=0. 因此选D.

关于D项的证明：

1≥a2+b+c+a+b2-c≥a2+a+b2+b，又a2+a≥-，b2+b≥-，所以-≤a2+a≤，-≤b2+b≤，即≤a≤，≤b≤. 不妨取a，b∈［-2，2］.

1≥a2+b+c+a+b2-c≥a2-a+b-b2+2c，因为a2-a∈

-，6

⊆［-6，6］，b2-b∈

-，6

⊆［-6，6］，所以2c∈［-13， 13］，c∈［-7，7］. 所以a2+b2+c2<22+22+72<100.

点评 这里实质上用的是放缩法，但要注意证明范围的问题可以用放缩法，求范围的问题不能用放缩法.对于含有多个绝对值的不等式问题利用三角不等式转化是常用的处理策略.利用三角不等式将绝对值的和（差）转化为和或差的绝对值，可以起到放缩、消元的作用.

策略八：端点效应，缩小范围

题9 已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）. 对任意x∈［1，5］时，不等式-2≤f（x）≤2恒成立，求a+b的取值范围.

分析 利用-2≤f（1）≤2，-2≤f（5）≤2的必要性，结合二次函数的性质对a+b的取值范围加以讨论.

略解 ①当-<1，即a>-2时，有f（1）≥-2，

f（5）≤2，所以1+a+b≥-2，

25+5a+b≤2⇒a≤-5，这与a>-2矛盾.

②当->5，即a<-10时，有f（1）≤2，

f（5）≥-2，故1+a+b≤2，

25+5a+b≥-2⇒a≥-7，这与a<-10矛盾.

③当1≤-≤5，即-10≤a≤-2时，有f（1）≤2，

f（5）≤2，

f

-

≥-2，1+a+b≤2，

25+5a+b≤2，

b-

≥-2⇒b≤1-a，

b≤-23-5a，

-2≤b⇒a2+4a-12≤0，

a2+20a+84≤0⇒-6≤a≤2，

-14≤a≤-6⇒a=-6.

当a=-6时，易得b=7. 所以a+b=1.

点评 利用端点效应可以起到缩小参数取值范围的作用，有时还会结合中点或顶点的取值综合处理，这都属于必要性探路的处理策略.

策略九：逆向思维推理，整体换元转化

题10 （2024年九省联考第14题）以maxM表示数集M中最大的数，设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则max｛b-a，c-b，1-c｝的最小值为_______.

分析 通过整体换元寻求目标式与已知条件之间的联系.

略解 设b-a=m，c-b=n，1-c=p（m，n，p>0），则b=1-n-p，a=1-m-n-p. 若a+b≤1，则m+2n+2p≥1. 令M=max｛b-a，c-b，1-c｝=max｛m，n，p｝，则M≥m，

2M≥2n，

2M≥2p，5M≥m+2n+2p≥1，M≥，当m=2n=2p时，等号成立. 若b≥2a，同理可得M≥. 所以max｛b-a，c-b，1-c｝的最小值为.

点评 该解法用到了整体换元、不等式的可加性以及必要性探路等处理策略.题7是无条件最值，只能在目标上做文章；本题则是有条件最值，求解关键是寻求条件与目标之间的联系.

结束语

上述策略都是以数学运算为基本功，逻辑推理为关键能力. 针对不同类型问题采取不同的处理策略，充分体现了数据分析与逻辑推理的重要作用. 除了上述策略外，还有类比推理、夹逼定理、放缩法等策略可以用于处理多元不等式最值（范围）问题，读者可进一步进行探究.