方法承载思维 提炼启迪智慧反思提高素养

［摘 要］ 纵观近年来的高考试题，压轴小题看似形式简单，知识面却很广，且具有立意深刻等特点，往往能较好地考查学生的数学能力与素养. 文章以一道压轴小题为例，具体从教学分析、状况展示、教学实录与教学思考等方面来展现压轴小题的教学价值.

［关键词］ 思维；智慧；方法；压轴小题

出现在考卷中的一道题往往蕴含着丰富的知识、思维与方法等. 在教学中，借助一道题的探索来夯实学生的知识基础，鼓励学生自主提炼数学思想、解题思路与方法等，是提高学生解题能力的前提，尤其是解题反思能有效拔高学生的思维，帮助学生形成触类旁通的解题能力，发展数学核心素养［1］. 本文借助一道学校周练中的压轴填空题，从以下几方面展开教学与思考.

呈现试题

已知平行四边形ABCD的四个顶点恰巧都处于函数f（x）=log的图象上，若点A（2，1），B

，2

，则平行四边形ABCD的面积是______.

教学分析

本题为一道综合性填空题，问题以函数为载体，立足平面几何图形，把四边形的四个顶点坐标转化成函数，实现了代数与几何的深度融合. 就本题而言，它将数形结合思想、转化思想等有机地融入其中，意在考查学生对基础知识与解题方法的掌握程度. 通过解题状况，可看出学生真实的思维水平与数学素养. 因此，这一道看似简单、平淡无奇的小题，蕴含着丰富的内容与思想，具有探讨与研究的价值和意义.

学生解题状况

本班47人，仅有3人在测试时做对了本题. 在与学生沟通交流后，总结出学生出错的根源有：①测试时，因为做本题之前的试题花费了不少时间，本题作为填空题的最后一题，认为肯定很难，所以想都没想就直接放弃了；②对于题干中出现的平行四边形这个条件，不知道该怎么使用；③少数学生计算错误.

教学过程

1. 展示问题，揭露解法

教师用PPT展示本题，邀请一名做对的学生具体讲解自己的解题思路，并强调本题待解决的是“特定条件下平行四边形的面积”，让学生明确本节课研究的主题与大方向.

生1：先设两个顶点（点C和点D）位于曲线上的坐标，再结合平行四边形所具备的条件来建立方程组，由此获得点C的坐标，最终求出平行四边形ABCD的面积.

教师肯定了这种解题思路，并借助投影仪将该生的解题步骤展示出来，供所有学生分析与思考.

投影：设点C（x，f（x）），D（x，f（x）），鉴于ABCD是一个平行四边形，那么==

，-1

. 根据已知条件构建方程组

x

-x

=，

f（

x）-f（

x）=-1，

·

=，解得C（-2，-1），则点C到直线AB：y=-x+的距离d等于. 由此获得结论：S=AB·d=.

师：观察生1的解题过程，可见他将几何问题转化为代数问题后，借助方程组实施解题，此为最常用的解题方法，值得赞扬. 但这种解题方法存在的弊端就是运算繁杂，耗费时间较长. 生1解本题花费了多少时间？

生1：大约6分钟.

设计意图 用多媒体展示问题，以及做对学生的解题过程，可节约板书时间. 投影正确的解题方法，意在让学生明白本题的难度系数并不是特别大（班上确实有同学能够做对），无形中为做错的学生建立解题信心，而时间花费问题的提出为优化解题方法奠定了基础.

2. 分析问题，探寻思路

师：大家一起观察这个解题过程，说说你们的新发现.

生2：从平行四边形的角度来看，其中蕴含的两个条件可协助我们用向量相等列出两个等式.

生3：本题还有“点A，C关于原点对称”这个隐性条件.

生4：根据条件可知，f（x）是奇函数.

设计意图 利用问题引导学生自主通过对基本解题方法的观察、分析与总结，获得“发现”的能力. 师生、生生之间积极的互动与交流，可提升学生思维的活跃度，为接下来的探究服务.

3. 积极引导，优化解法

师：大家都拥有一双善于发现的眼睛，若想利用好“f（x）是奇函数”这个条件实施解题，该怎么处理呢？

生5：因为f（x）是奇函数，所以其图象必然关于原点对称. 结合平行四边形的性质不难获得坐标原点即平行四边形ABCD的对角线的交点，以及点C（-2，-1），D

-，-2

，则平行四边形ABCD的面积就唾手可得了.

师：很好，请大家沿着这条解题思路，将解题过程写在本子上，并注意需要花费多少时间.

教师择取生5规范的解题过程投影展示：如图1所示，因为（-∞，-1）∪（1，+∞）为函数f（x）的定义域，f（-x）=log=log

=-f（x），所以f（x）是奇函数. 鉴于ABCD是一个平行四边形，根据其对角线的对称性，易求得点C（-2，-1），D

-，-2

，则点C到直线AB：y=-x+的距离d等于. 因此，S=AB·d=. （耗时3分钟）

教师赞扬了生5的解题过程，并要求大家比较生1和生5的解题方法，说说自己的看法. 当大部分学生都表示生5的解题方法条理清晰、运算量小且耗时少时，一位学生举手提出自己还有更简便的解题方法.

生6：既然确定平行四边形ABCD的对角线的交点为坐标原点，那么它的面积就是△AOB的面积的4倍，因此求出△AOB的面积即可获得结论.因为S=·AB·d′=××=，所以S=4S=.

竟然有如此简单的解法，这令所有学生耳目一新，大家都向生6投去了钦佩的目光. 教师也充分肯定了生6的解法，并着重强调计算原点O到直线AB的距离，比计算点C到直线AB的距离更简便.

设计意图 从构建主义理论出发，在已有知识或方法上构建新知识或新方法更容易一些. 此处，引导学生观察其他学生的解题方法，并从中找到灵感发现新的解题思路，不仅进一步夯实了知识基础，还优化了解题思维，提高了解题能力.

此时课堂进入了高潮阶段，学生的思维异常活跃，对于△OAB的面积，又提出了新的解法.

生7：对于△AOB的面积，还可以通过割补法来获得，即延长AB分别与x轴、y轴相交于点M，N，则S=S-S-S.

师：原来本题的难度并没有想象中那么大，咱们在解题时只要对函数f（x）的性质进行深入分析就能发现端倪. 由此可见，解题需要思考与表述同行.

4. 巩固练习，提升能力

如图2所示，已知点A，B分别是椭圆C：+y2=1的上顶点与右顶点，若过原点O的直线与椭圆C相交于点E，D，与线段AB相交于点M，且点E位于第一象限，则四边形DBEA面积的最大值是多少？

学生经思考与分析，提出如下两种解法.

解法1 设DE：y=kx（k>0），与椭圆C联立方程组，获得点E

，

，D

，

. 假设点E，D到直线AB：y=-x+1的距离分别是d，d，则S=AB（d+d）. 代入点E，D的坐标，经化简得S=··=2≤2，当且仅当k=时，等号成立.

解法2 假设点E（x，y），D（-x，-y），点E，D到直线AB的距离分别是d=，d=，则S=AB（d+d）=x+2y. 又+y=1，所以S=≤=2，当且仅当x=2y时，等号成立.

当大部分学生认同上述两种解法时，一名学生提出了新的看法.

生8：根据以上解法中的“等号成立”的条件，我认为点E，D是与AB平行的直线和椭圆相切的切点. 设点E，D位于与AB平行的直线上，且位于椭圆上，同时到AB的距离之和最大，也就是点E，D是与AB平行的直线和椭圆相切的切点. 从椭圆的对称性可知，点E，D所在的直线必然经过原点. 利用上述条件，可轻松解决问题.

学生一致认为生8提出的解法与前面两种解法相比，思路更加清晰，运算量更小. 这或许就是数学学科独特的魅力，大思维隐藏在问题背后，等着我们去发现.

设计意图 一题多解可进一步巩固学生的解题思维，让学生在常规解题方法中探寻更多信息，获取新思路，感知数学学科的解题乐趣，有效提高学习积极性.

教学思考

1. 立足基础

新课标强调发展学生的“四基”与“四能”，是数学教学的首要目标. 尤其在以能力立意与素养立意为考查目标的大背景下，“四基”作为最基本的内容，处于最关键的节点. 在实际教学中，教师应着重关注基础知识形成的过程，让学生从本质上掌握知识与技能，体会数学思想方法，从而积累丰富的活动经验，让数学学科核心素养在不知不觉中得以有效发展.

在本节课教学中，教师对原题和学生的正确解法的展示，不仅启发了所有学生的思维，让学生明确了最基本的解题方法，还成功帮助学生建立了解题信心. 因此，立足基础是解题教学的关键.

2. 优化思维

数学是思维的体操，数学教学以发展学生的数学思维为大方向. 尤其是解题教学，引导学生获得分析问题与解决问题的能力是“授人以渔”的体现. 值得注意的是，数学学习是不断进行知识构建的过程，教师可在学生原有的认知结构上，择取恰当的时机将问题展示给学生，激起学生认知冲突，引导学生自主产生知识迁移的想法，从而自主发现、构建新知.

学生所接触的模拟题或高考真题都具有较强的灵活性，存在多种解法，教师在进行解题指导时，可结合学生实际认知经验与习惯，引导学生不断优化思维，选择最便捷的方式实施解题，以节约考试时间，提高解题效率［2］. 事实证明，在方法得当、思维清晰的状态下，一些综合性很强的小题往往拥有思维容量大，但过程简明的解题方法. 因此，解题思维不仅反映学生的解题能力，也体现学生对知识本质的理解程度.

3. 反思提升

新课标认为：数学教学就是应用数学知识解决问题的一种综合性实践活动，开展数学教学的目的就在于培养学生自主探索、合作交流与反思提升的能力［3］. 想让学生从一个具体问题中掌握基本的解题方法，获得举一反三的能力，就需要带领学生从不同的维度去思考与分析问题，引导学生在变式训练中感知知识间的联系，完善认知结构.

在本节课教学中，教师通过一道经典练习题，引导学生不断优化解题思维，让学生通过一题多解认识知识本质；通过对解题思维的切入点、障碍点，以及解题方法的总结，从真正意义上帮助学生夯实知识基础，带来解题成就感，为发展学生的数学学科核心素养奠定基础.

总之，当学生进入考场，审完试题后能快速回忆与之相关的知识、解题方法或解题思路确实存在一定难度. 想要快速解题，关键在于日常教学中引导学生思考应用哪种解题策略能在最短时间内高效、精准地分析问题并解决问题，从而使学生从容面对考试.

参考文献：

［1］ G.波利亚. 怎样解题——数学思维的新方法［M］. 涂私，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］ 郑毓信，肖伯荣，熊萍. 数学思维与数学方法论［M］. 四川：四川教育出版社，2001.

［3］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.