深度学习视域下数学变式教学的高阶设计

［摘 要］ 深度学习视域下变式教学的高阶设计是发展学生高阶思维、培养学生学科核心素养的重要路径. 研究者从试题和提问两方面论述变式教学的高阶设计准则，认为教师在试题设计时应重视教材开发、注重循序渐进、聚焦核心概念、渗透思想方法，在提问设计时应做到讲究适度、精简集中、能动启发.

［关键词］ 深度学习；变式教学；高阶设计

引言

核心素养是指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力［1］，其不仅仅是个人素质最重要的组成部分，更是学习能力、实践能力和创新能力发展的基石［2］. 而学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培育上［3］，其关键是实现教学设计与教学过程的转型［4］.

与浅层学习相比，深度学习的特征具体体现在：认知深度，即高阶思维的运用；参与深度，即积极主动地参与；目标深度，即通过学习达到知识理解迁移及发展批判创造性思维［5］. 作为一种促进学生深入理解并将所学知识加以应用、实现创造的教育理念，深度学习已成为优化教学设计、提升教学质量，进而培养学生数学学科核心素养的重要方式与有效途径［6］［7］.

近年来，学者对深度学习的研究论述主要聚焦于学科单元教学设计［8］，而对深度学习落实于变式教学设计的研究较少. 此外，大部分一线教师对变式教学的理解和使用停留于一题多变、一题多解、一法多用、图形多变上，将变式教学降格为变式训练，不利于学生高阶思维尤其是创新思维的发展. 基于此，如何在深度学习视域下，合理高效地规划教学活动，对变式教学进行高阶设计，从而带领学生探究问题本质，掌握解决问题的通性通法，进而在深度学习中培养高阶思维和学科核心素养，是一线教师和数学教育研究者需要不断探索的方向. 下面笔者结合实践和反思，就深度学习视域下数学变式教学的高阶设计，提出几点思考，以期为教师提升变式教学能力，以及培养学生数学学科核心素养，提供参考与借鉴.

优质的试题是变式教学高阶设计的首要前提

优质问题及其变式题，不仅能加深学生对基础知识的理解和掌握，以及对思想方法的领悟与应用，还能提高学生的思维能力［9］，这是影响教学效果的关键因素，也是变式教学高阶设计的首要前提. 为此，笔者从以下四个方面分享变式教学中试题设计的要点.

1. 试题设计应当重视教材开发

教材是课程的载体，而高考命题最具体、最方便的依据就是教材［10］. 教师在设计试题时应当回归教材，注重新教材例题、课后习题的探究学习，以及数学知识间的联系性与整体性，通过变式、拓展、综合，穷尽解决同一类问题的不同知识和思路，帮助学生建立完整的知识体系.

例1 （2022年新高考Ⅰ卷第12题）（多选）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均为偶函数，则

（ ）

A. f（0）=0 B. g

-

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

回顾例1可以发现，该题主要考查的是偶函数的性质、抽象函数的对称性与周期性，以及原函数与导函数的对称性等内容，倘若学生对这些知识点不熟悉，那么无疑是解决该题的困难. 或许有部分学生甚至教师认为这些知识点并未在教材中出现过，但实际并非如此. 在人教A版高中数学必修第一册教材“3.2 函数的基本性质”中，习题“拓广探索”栏目就正式介绍了对称性的概念，并要求对其定义进行探讨（如图1所示）. 这再一次告诉所有教师和学生：高考试题的命制并非无本之木、空中楼阁，而是源于教材，根植于教材，升华于高考［11］.

为了帮助学生系统掌握抽象函数的对称性与周期性等内容，教师可将例1作为教学切入点，设计如下变式题，带领学生逐步“吃透”这类题型.

变式题1：（多选）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）. 若f

-2x

为奇函数，g（2+x）为偶函数，则（ ）

A. f（2）=0 B. g

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

变式题2：（多选）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均为奇函数，且f

=0，则（ ）

A. f（0）=0 B. g（2）=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

变式题3：（多选）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）. 若f（x）+f（x+1）=0，且g（x）为偶函数，则（ ）

A. f（0）=0 B. g（0）=0

C. f（-1）=f（1） D. g（-1）=g（2）

2. 试题设计应当注重循序渐进

变式就是变更对象的非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出事物的本质特征，突出那些隐蔽的本质特征［12］，而这个发现本质的过程需要学生自己去体验. 为此，教师在设计试题时要做到“低起点，高落点”，逐步激活学生的思维，发展学生思维的灵活性和创造性.

例2 如图2所示，圆C与y轴相切于点D（0，2），与x轴的正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=3，求圆C的标准方程.

变式题1：如图3所示，过点E（5，6）作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN所在的直线的方程.

变式题2：如图4所示，过点A，D的直线与圆O：x2+y2=4相交于点K，求的值.

变式题3：如图5所示，过点A作任一条直线交圆O：x2+y2=4于点P，Q，连接PB，QB，求证：=.

上述变式，带领学生经历阿波罗尼斯圆的发现过程，体会用代数方法处理几何问题的思想. 尽管本次变式的核心知识从变式题2才开始引入，但前两题做铺垫十分有意义. 分析例2可知，学生可以利用条件的几何特征来确定圆C的圆心和半径的大小，从而获得圆C的标准方程，也可以利用坐标法确定圆C的标准方程中的各个参数. 而变式题1的求解方法则更加多种，蕴含着点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识方法，不仅用于发散学生的思路，还扩展学生的思维方式，保证不同水平层次的学生都有所感悟.

3. 试题设计应当聚焦核心概念

开展变式教学，其主要目的是帮助学生理解概念本质，实现“做一题、会一类、通一片”. 教师在设计试题时应把着力点聚焦在概念的核心上，通过试题解决，达到学生理解概念本质的目的.

例3 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知acosB=bcosA，判断△ABC的形状.

变式题1：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知acosB=，bcosA=，求c的值.

变式题2：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知acosB=，bsinA=，若△ABC的面积S=，求其周长L.

变式题3：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知acosB=bsinA，且a2-b2=bc，判断△ABC的形状.

变式题4：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2-b2=bc，则A=2B成立吗？

上述变式旨在带领学生运用正弦、余弦定理解决一些简单的三角形中的度量问题，以及理解三角形中有关角边关系，如acosB=bsinA，a2-b2=bc的几何意义，理解其数学本质. 此次变式，从例题到变式题，都紧扣问题背景，聚焦核心概念. 通过不断解决变式题，对学生的知识容量与思维容量的要求在逐渐递增，有利于保证学生思维的连续性，增强学生思维的深刻性.

4. 试题设计应当渗透思想方法

所谓变式教学，“变”的是问题的条件、结论以及呈现方式等，而“不变”的是问题的本质和通性通法，以及数学思想方法. 教师在设计试题时应引导学生挖掘问题本质，领悟数学思想.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷第7题）若过点（a，b），可作曲线y=ex的两条切线，则（ ）

A. eb<a B. ea<b

C. 0<a<eb D.0<b<ea

变式题1：已知a>0，若过点P（a，b），可作曲线y=x3的三条切线，则（ ）

A. b<0 B. 0<b<a3

C. b>a3 D. b（b-a3）=0

变式题2：已知a>0，若过点P（a，b），可作曲线y=x3-3x的三条切线，则（ ）

A. b<-3a

B. -3a<b<a3-3a

C. b>a3-3a

D. b=3a或b=a3-3a

变式题3：（多选）若过点（1，a），可作曲线y=（x-1）ex的切线l，且l最多有n条，n∈N*，则（ ）

A. a≤0

B. 当n=2时，a值唯一

C. 当n=1时，a<-

D. na的值可以取到-4

先带领学生从代数和几何两个维度分析切线问题，而后鼓励学生借助图象直观求解切线问题，并通过探究问题本质，感悟这类切线问题的通性通法，体会数形结合、转化（化归）、函数与方程等数学思想方法. 在教学过程中，学生理解拐点的概念，掌握并学会运用拐点处切线的特征解决一类函数问题，正是通过数与形的巧妙结合，让解题思路变得直观.

巧妙的提问是变式教学高阶设计的点睛之笔

单有优质的试题还远远不够，如何带领学生在探究中将一道道试题串联在一起，以及通过巧妙的提问引导学生抓住解决问题的关键，同样是变式教学高阶设计的重要环节，更是点睛之笔. 为此，笔者从以下三方面分享如何设计提问方式.

1. 提问应当讲究适度

课堂提问要适合学生的认知水平，既不能让学生有望而生畏之感，又不能让学生有不动脑筋就能轻易答出的懈怠［13］. 为此，教师在提问设计时应考虑学生的最近发展区，使学生“跳一跳，就能够得到”.

回顾“试题设计应当聚焦核心概念”中的问题，大部分学生是这样回答变式题1的：由acosB=，bcosA=以及余弦定理得a·==①，b·==②. 由①+②得=c=.

在此基础上，笔者引导学生注意到“在△ABC中，c=acosB+bcosA”（这便是射影定理，也称第一余弦定理）. 接下来，笔者抛出问题：还有其他方法可以证明射影定理吗？

学生的回答令笔者惊喜，不仅有用正弦定理进行证明的，还有用几何直观进行证明的，如：

生1（正弦定理）：要证c=acosB+bcosA，只要证sinC=sinAcosB+sinB·cosA=sin（A+B）. 因为A+B+C=π，故上式成立，证毕！

生2（几何直观）：如图6所示，AD=bcosA，BD=acosB，故c=AD+BD=acosB+bcosA.

多角度的证明不仅丰富了变式题1的价值，拓宽了学生的解题思路，发散了学生的解题思维，还为变式题2的多维度求解做好了铺垫. 例如，某一位学生非常自信地借助几何直观分析问题，恰恰表明这位学生挖掘到了这类问题的背景，找到了这类问题的“源头”.

生3：如图6所示，BD=acosB，CD=bsinA，那么在Rt△BDC中，可求a=.又已知△ABC的高CD，面积S，则可求底c，从而求得周长L.

试想，倘若利用变式题1仅仅加深学生对余弦定理的理解，而未借助适度提问引导学生发现其几何背景，感受几何直观、正弦定理与余弦定理的内在联系，那么变式题1未免黯然失色.

2. 提问应当精简集中

众所周知，学生是课堂教学的主体，教师是课堂教学的主导者. 在变式教学中，教师应当循循善诱，根据学生的反馈情况，引导学生往预设的方向进行思考，从而把握问题关键.

回顾“试题设计应当渗透思想方法”中的例4和变式题1，不仅引导学生体会借助图象直观解决切线问题的巧妙之处，同时令学生注意到x轴的“分界”效果. 例如，在变式题1中，当点P在曲线y=x3的“下方”，并且在x轴的“上方”时，可作曲线y=x3的三条切线，得0<b<a3（如图7所示）；当点P在曲线y=x3上或者在x轴上时，可作曲线y=x3的两条切线（如图8所示）；当点P在曲线y=x3的“上方”或者在x轴的“下方”时，只能作曲线y=x3的一条切线（如图9所示）.

这时，笔者根据学生的发现提出以下问题，进而帮助学生得到特殊点的相关特征.

问题1：点P与曲线y=x3有何位置关系？

问题2：切点（0，0）在曲线y=x3上具有怎样的特殊性？

追问1：点（0，0）两侧函数y=x3的单调性一致吗？

追问2：点（0，0）两侧函数y=x3的单调递增速度是如何变化的？

接下来借助变式题2，进一步带领学生认识特殊点就是拐点，以及掌握拐点位置的确定方法，以此揭示借助图象直观求解切线问题的本质. 这也进一步表明，提炼概念并非一蹴而就的事情，变式教学也不是一题接着一题的教学模式，中间倘若没有教师的巧妙引导，再好的试题在学生眼里也只不过是一道普普通通的练习题.

3. 提问应当能动启发

学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱和精心启发［14］. 随着变式题的难度不断增加，学生会从一开始的从容到后来的无所适从，这时课堂提问就一定要注意引发学生思考，启发学生的积极主动性，促使学生能够在解决变式题的过程中，得到有效的启发，从而逐步发现问题，提出问题，分析问题，解决问题［15］.

例5 （2016年高考全国Ⅱ卷第19题第1问）如图10所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=. 证明：D′H⊥平面ABCD.

变式题：如图10所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. 问：在翻折过程中，直线BD′与平面ABCD夹角的正弦值的最大值为多少？

例5考查的是立体几何中的翻折问题，这类问题往往可以细分为两个本质问题，即变与不变的问题和轨迹的问题. 学生需要清楚图形在翻折前后有哪些量发生了改变，又有哪些关系是不变的，唯有如此，才能更好地应对这类问题.

为了更好地启发学生求解该变式题，笔者提出了下列问题.

问题1：在翻折过程中，点D′的轨迹是什么？

问题2：在翻折过程中，点D′在底面ABCD上的投影点D″的轨迹是什么？

通过上述问题的启发，学生注意到点D′的轨迹是一个圆，而当直线BD′是圆的切线时，与平面ABCD夹角的正弦值最大（如图11所示）. 显然，这样的启发无疑为学生打开了“一扇窗”，有利于加深学生对翻折问题的理解.

结束语

深度学习视域下的变式教学高阶设计要求教师精心设计试题和提问方式，其中试题设计应当重视教材开发、注重循序渐进、聚焦核心概念、渗透思想方法，提问设计应当讲究适度、精简集中、能动启发，这不仅是变式教学高阶设计的顶层追求，也是促使学生深度学习以培养高阶思维和核心素养的催化剂. 变式教学的高阶设计还让笔者认识到，教什么比怎么教更重要，教师只有自己对数学的思想、方法和精神有较高水平的理解，才能在教学中自觉地把数学精神传达给学生［16］，才能更好地带领学生把握知识本质和核心思想，才能帮助学生达到“做会一道题，会做一类题”，使学生从“学会数学”向“会学数学”转变.

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