HPM微课在高中数学教学中的应用研究

［摘 要］ 教育信息化是时代发展的必然趋势，将数学史渗透在教学中的各个环节是满足学生认知发展的重要举措. HPM微课是将数学史融入微课中的一种教学方法，它能从真正意义上激发学生的求真精神，发展学生的数学学科核心素养. 文章以“两角和的正弦公式”教学为例，分别从概念界定、研究框架与教学实施三个方面展开分析.

［关键词］ HPM；微课；应用；两角和的正弦公式

随着时代的发展，借助信息技术提高教学实效成了广大教育工作者的教学手段之一. HPM微课是将数学史、数学教育、信息技术有机融合在一起的一种教学方式，它能让学生更便捷地了解数学知识的本源与发展历程，体会知识架构，彰显出信息技术辅助教学的强大功能. 本文以“两角和的正弦公式”教学为例，具体谈谈如何在课堂中应用好HPM微课，以提高教学实效，发展学生的数学学科核心素养.

概念界定

1. HPM

HPM即History and Pedagogy of Mathematics，是数学史与数学教育的研究统称. 很早之前，数学是一门脱离社会文化的孤立学科，随着人们认知水平的发展，数学文化逐渐进入了数学体系，并发挥着重要作用. 20世纪，国际数学史与数学关系小组的成立，使HPM登上了历史舞台. 自2005年起，我国对HPM的研究越发重视，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称新课标）着重强调要将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养［1］.

2. 微课

1960年，美国艾奥瓦大学附属学校首先提出微型课程，鉴于这类课程具有可操作性强、时间短等优点，受到各国教育界的关注；1993年，McGrew等人提出“60秒课程”，便于在一些非正式场合普及相关知识；2008年，David Pemose首创“一分钟微视频”，也就是今日的“微视频”，即将教学目标与教学内容紧密联系起来，让学习者通过观看短视频获得聚焦性学习体验.

如今的数学微课是指一种以学生自主学习为中心的短视频，时长基本控制在6～10分钟. 微课与微视频最大的区别在于微视频着重用来展示教学内容，而微课则是结合教学需求开发的系列教育资源，如微教案、微视频与微反思等［2］.

3. HPM微课

HPM微课是指将一些重要的解题思想、数学史或数学家小故事等制作成微视频，作为辅助教学的手段之一. HPM本身就承载着传播数学史、渗透数学文化、培养学科精神等作用，微课作为传播HPM的一种方式，可更高效地利用课堂时间拓展数学文化. 实践证明，如今的高中数学HPM微课主要以6～10分钟的短视频为主，着重围绕某个知识重点或难点展开数学史或数学教育资源的播放.

研究框架

结合新课标要求与近期微课活动评价标准，笔者根据本节课的教学内容与学生的认知特点构建了一个研究框架（如图1所示），主要包括分析、设计、制作、应用与评价等环节，每一个环节相对独立又环环相扣、互相融合，形成了一个整体.

HPM微课分析是课堂教学的首要环节，需要理清微课教学的各项要素，如课标、学情、教材、史料等. HPM微课设计属于重要环节，具有承上启下的作用，教师要以分析出来的结果为设计依据，根据实际情况将与教学内容相关的数学史融入微课中，形成HPM微课教案、脚本、学习单等. HPM微课制作是基于以上两个环节的课程拍摄、录制、剪辑、完善等，属于技术层面，一般借助软件Camtasia Studio录屏，后期通过剪辑加工，完善成微课. HPM微课应用有线上与线下两类，教师可将制作好的微课发布到教育平台供学生提取学习. HPM微课评价主要关注学生“四基”与“四能”的掌握情况，“三会”能力的发展趋势，以及数学学科核心素养六大要素的提升情况等［3］.

教学目标与重难点分析

1. 教学目标

（1）引导学生在HPM微课中感知与教学内容相关的历史情境，经历两角和的正弦公式的探究过程，掌握两角和的正弦公式的推导方法，发展学生的逻辑推理素养.

（2）借助菱形、矩形等模型，通过面积计算推导两角和的正弦公式，提炼数学思想方法，发展学生的数学运算与直观想象等素养.

（3）借助微课激发学生的学习兴趣，培养学生务实求真的理性精神.

2. 教学重点与难点

理解并掌握两角和的正弦公式及证明方法.

3. 教学材料

HPM微课；微学习单；两对斜边为1的直角三角形纸片（一对含锐角α，一对含锐角β，且α≥β）.

教学简录

1. 情境创设，引入主题

笔者用多媒体播放HPM微课，微课的主要内容是2002年在北京召开的国际数学家大会会标，要求学生观看后思考会标所蕴含的数学定理，并说一说其证明方法.

学生一致回答的是“勾股定理”，并自主回顾勾股定理的证明方法. 在此基础上，笔者播放赵爽证明勾股定理时应用的面积出入相补法，以及毕达哥拉斯证明勾股定理的方法，以激活学生对勾股定理的探究兴趣，为本节课的教学奠定基础.

2. 活动探究，深化理解

笔者继续播放HPM微课，内容为古希腊数学家应用几何法推导和角公式. 学生通过微课的观看，沿着数学家的脚步借助课前准备好的直角三角形纸片，继续探索两角和的正弦公式与证明过程.

师：请将课前准备好的两对直角三角形纸片（见图2）拼成菱形或矩形.

学生开始在微学习单上进行模拟拼接（用笔勾勒模型示意图，将已知的长度与角度标注出来），各小组通过分工合作，最终有几个小组拼出了菱形，也有几个小组拼出了矩形.

师：如图3①所示，你们拼出的这种矩形模型与赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载的大方图类似，这是由两对直角三角形拼接而成的矩形，其长为cosα+cosβ，宽为sinα+sinβ. 已知该矩形的中间是一个“边长为1，内角为α+β”的菱形，这个菱形的面积该怎样计算呢？面积出入相补法能带给我们一些解题启示或思路吗？

生1：借助菱形的面积公式，可获得其面积为sin（α+β）.

生2：借助面积出入相补法，移动其中两个直角三角形可拼成图3②，即将菱形拆分成了两个长方形，可得其面积为sinαcosβ+cosαsinβ.

师：非常好！出入相补前后，大长方形的面积发生了改变吗？由此可进一步推导出什么？

生3：大长方形的面积未发生改变，由此可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

师：不错，这就是我们本节课着重探索的知识——两角和的正弦公式.

随着问题的逐步引导，学生的思维拾级而上，尤其是微课的应用让学生自主发现面积出入相补法对推导两角和的正弦公式具有重要意义. 在微学习单的辅助下，学生不仅自主计算出了矩形模型中各个部分的面积，还进一步揭示了探究主题，从而充分认识到了微课对教学的辅助价值.

接下来，笔者依然借助多媒体播放HPM微课，与学生一起总结上述探索中矩形模型所蕴含的两角和的正弦公式.

师：我看到大家拼出的菱形模型与赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载的弦图也非常相似. 若由两对直角三角形拼成的菱形的边长是1，一个内角是α+β（见图4①），则菱形的面积该怎样计算呢？若利用面积出入相补法来探寻，能否获得什么启示？

通过微学习单中模型示意图的分析，以及菱形面积公式的应用，可知菱形的面积是S=sin（α+β）.

如图4②所示，学生展示小组讨论结果：结合面积出入相补法，我们可将菱形模型中的左上方的直角三角形转移到右下方的位置，右上方的直角三角形转移到左下方的位置. 转化而来的图形成了三个长方形，这三个长方形的面积分别是sinαcosα，sinβcosβ和（sinα-sinβ）（cosβ-cosα）.

笔者肯定了学生的转移与运算方式，并提出：“应用面积出入相补法还能进一步推导出一些什么结论？”学生指出两角和的正弦公式，即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ. 至此，笔者继续播放HPM微课，与学生共同小结菱形模型中所蕴含的两角和的正弦公式.

3. 积极互动，构建新知

师：借助微课与探究，我们对两角和的正弦公式有了初步认识，现在我们一起从HPM微课中了解这个公式的形成与发展史. （播放微课）

待学生看完微课后，要求学生从自己的角度说一说对两角和的正弦公式的理解，同时完成如下计算任务，以巩固新知：（1）sin105°；（2）sin25°·cos65°+cos25°sin65°.

练习训练的应用意在考查学生对公式的理解程度与应用能力，学生通过微学习单的辅助，应用新建构的知识实施解题，取得了良好的效果.

4. 课堂小结，完善认知

要求学生在此环节回顾本节课的整个教学流程，说一说在HPM微课的帮助下获得了哪些知识与数学思想方法等.

本节课教学的核心知识为两角和的正弦公式，通过课堂回顾与总结可帮助学生进一步梳理公式的形成过程，总结知识结构，为建构完整的认知体系与高阶思维奠定基础，也为后续灵活应用服务.

课堂反馈情况

本节课后，笔者利用问卷的方式对全班学生进行调查，46份有效问卷中，约有95%的学生对HPM微课表现出了较强的兴趣，认为这种教学方式能激发自己对数学史、数学文化与教学内容的探究兴趣，拓宽自己的视野，进一步帮助自己了解知识的来龙去脉，对提炼数学思想方法具有重要意义.

通过问卷调查，收集到学生的主要观点有如下几种：①HPM微课比较有趣，可将数学史更直观地展现出来；②这种教学方式能更好地帮助自己了解知识发展的来龙去脉；③用微课播放公式的推导过程，将数形结合思想方法淋漓尽致地展示了出来；④微课讲授更风趣，更容易接受微课讲授的数学知识.

从学生的反馈情况来看，他们对HPM微课的应用保持着积极、肯定的态度. HPM微课对帮助学生形成自主学习能力，发展运算能力、逻辑推理能力、直观想象力、抽象能力等都具有重要意义，因此这是促进学生数学学科核心素养发展的一种重要手段.

教学思考

1. HPM微课对学生的影响

HPM微课将数学史内容转变为动态的学生喜闻乐见的方式进行展示，更符合学生的认知发展需求. 本节课课堂伊始，笔者将2002年在北京召开的数学家大会会标作为微课内容，激发学生对勾股定理和面积出入相补法的探究兴趣，为两角和正弦公式的引出做铺垫. 由此也能看出，HPM微课对学生而言，具有激兴趣、启回忆、促思维、引新知的作用.

课堂上，笔者带领学生利用HPM微课探究矩形与菱形模型，亲历两角和的正弦公式的推理过程，不仅提升了学生的“四基”与“四能”，还引导学生学会了“三会”能力. 同时，HPM微课对发展学生的直观想象能力、逻辑推理能力、高阶思维能力等都具有重要意义，而这一切都是提升学生数学学科核心素养的关键.

2. HPM微课对教师的影响

这种教学方式可规避教师本身对数学史了解不够的现象，它能在有限的时间内，高效、准确地展示与教学内容相关的数学史，避免科学性错误的发生，同时也避免数学史阐述时间难以控制等问题的出现. 因此，HPM微课固定的时间为教师更好地掌控课堂奠定了基础.

本节课，笔者以HPM微课引导学生自主探究，并以启发式的教学引导学生自主发现面积出入相补法的应用来探索两角和的正弦公式. 微课的介入，从很大程度上解放了笔者的手脑，避免因为冗长的阐述而浪费课堂时间.

总之，HPM微课既有微课的精炼、灵活、适合自学等特征，还具备图文结合、声音与动画结合等特点，更便于数学史的植入，课堂也因HPM微课的介入而更具活力. 事实证明，这是一种优化数学教学、培养数学文化的重要举措，也是发展学生数学学科核心素养的重要途径.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 陈晏蓉，汪晓勤. 数学史料的选取原则与案例分析［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2017（12）：37-43.

［3］ 侯小敏，汪晓勤. HPM微课在初中数学教学中的运用［J］. 中学数学月刊，2015（06）：61-63.