通过创造性使用教材助力日常教学

［摘 要］ 基于课标要求，以教材为载体，创造性地使用数学教材可有效拓展教学空间，落实与发展学生的数学学科核心素养. 文章以“等差数列的前n项和公式”的导入教学为例，提出根据教材特点与缺陷重新整合教材内容实施教学，凸显创造性使用教材助力日常教学的优势.

［关键词］ 教材；创造性；等差数列；导入教学

随着新课改如火如荼地推进，课堂教学不再是教教材，而是创造性使用教材. 主要表现在教师根据学情特点科学地调整、增补、重组教材，让整合之后的教材与课标要求更契合，以助力学生完成学习任务，发展数学学科核心素养. 然而，当前仍有部分教师对创造性使用教材的理解还不够到位，甚至有些教师剑走偏锋，在开发教材时脱离了教学实际. 事实上，想要创造性使用教材，就要领悟教材的编写意图，学会用发展的眼光基于整体的视角开发与整合教材.

创造性使用教材的重要性

数学教学属于人类的一种活动，教师应在“再创造”的基础上实施教学，即引导学生积极参与教学活动，重塑知识形成与发展的过程，让学生从亲历中感知知识的来龙去脉，由此完善对教材内容的理解. 此处提到的“再创造”，需要教师基于学生实际认知水平精心设计，让学生对知识的内在关系与本质产生深刻理解，而非机械地直接呈现结论性内容. 因此，创造性使用教材显得尤为重要.

剖析教材

本文所提的“等差数列前n项和公式”选自人教A版（2019）选择性必修第二册教材，笔者在剖析学情、教情与考情的基础上对创造性使用教材提出一些新的思考.

1. 教材设计意图的分析

教材以“1+2+3+…+100”的高斯算法为教学起点，引导学生关注首尾相加法，通过类比来揭露首项和公差均为1的等差数列要分成n为奇数和偶数两种情况；而后利用高斯算法对这两种情况进行分析，经化简获得求前n个正整数的和的公式. 此为探索特殊情况的过程. 想要明确一般情况，需要学生在此基础上应用特殊到一般的数学思想方法，推导出等差数列的前n项和公式.

高斯在数学算法上作出过杰出贡献，同时高斯算法与本节课的教学内容又有着千丝万缕的联系，因此将高斯算法作为开篇内容，既可渗透数学文化，又能激发学生对等差数列前n项和的探索兴趣. 教材对公式的推导应用了特殊到一般的数学思想方法，此为常见且重要的思想方法之一，对开发学生的理性思维具有重要价值，也是学生获得一般化数学研究方法的重要阶梯. 基于以上分析来看，如此设计教材的目的在于渗透数学思想方法与数学文化，激发学生的探索欲，培养学生的数学理性精神，为学生获得一般化数学研究方法奠定基础.

2. 教材缺陷思考

从编者的角度来看，教材如此设计确实很恰当，不论思想方法、思维品质、兴趣激发，还是研究方法、数学精神、数学文化等，方方面面都考虑到了，堪称完美. 但考虑到学生的实际认知水平，笔者认为授课时，若凭借教材所提的高斯算法进行课堂导入，则存在如下几个问题：①首尾相加法是高斯想到的，而非学生想到的，存在将算法机械地传授给学生的嫌疑，缺乏知识“再创造”的过程；②以高斯算法为起点，深入“倒序相加”的过程比较生涩，若处理不好则学生只能被动接受，无法真正做到“知其然且知其所以然”；③对公式的认识比较表浅，无法实现深度学习［1］.

基于上述剖析来看，即使按照教材流程顺利完成教学任务，也难以真正锤炼学生的思维. 鉴于此，笔者针对本节课教学进行了研究与思考.

创造性使用教材的过程设计

新课标引领下的数学教学需要重视教学过程，教师可从问题的提出、分析与解决等方面逐步暴露学生的思维过程，促使学生深刻理解知识的来龙去脉. “等差数列的前n项和公式”的教学，可将数形结合作为教学主线，即先借助直观图形诱发学生直观想象，再以抽象的代数表达助推学生发展逻辑推理素养. 为了充分体现创造性使用教材对助推课堂教学的益处，本文详细探讨课堂的导入环节.

师：如图1所示（用多媒体展示），此为一堆圆木桩，最上面一层有1根木桩，逐层往下分别有2根、3根、4根……谁来说说当层数为100时，共有多少根木桩？

生1：可以考虑首尾配对，即第一层与最后一层配对，第二层与倒数第二层配对……一共可配50对，列式为（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

值得注意的是，若学生没有想到这种首尾相加法，教师需要进行适当引导. 若引入不当，则存在直接灌输的嫌疑，即若教师点拨不当，则与教材直接呈现高斯算法有相同的问题.

师：非常好！你们所提的这种算法与伟大的数学家高斯想到的算法一样，看来大家都具备数学家的基本素质. 这位同学以列式的方法来计算木桩的总数量，对运算技巧的要求较高，如果从图形的角度来分析，能否利用更便捷的方法来计算呢？

生2：从木桩堆的侧面来看，100层木桩堆放在一起形成了一个三角形. 从图形的角度来看，木桩的总数量与三角形的面积有关系，但是木桩堆构成的三角形的面积与木桩的总数量难以等同，思维至此卡壳了.

师：这一想法有点意思，三角形的面积公式大家都很熟悉，既然无法将三角形的面积与木桩数量画上等号，可否从其他图形来思考呢？

生3：或许可用平行四边形来分析.

师：哦？请描述得更具体一些.

生3：增加同样多的木桩进行拼搭，将原本100层的三角形木桩堆转化为每一层均有101根木桩的100层平行四边形木桩堆，由此可得平行四边形木桩堆的木桩总数量为（100+1）×100=10100，则三角形木桩堆的木桩总数量是10100÷2=5050.

师：非常好！将转化之前的三角形木桩堆用数列来表示，该如何描述呢？

生4：应该属于等差数列，其首项与公差均为1.

师：通过以上探索，明确了1+2+3+…+100=5050，即首项与公差均为1的等差数列前100项的和为5050. 将这一结论进行推广，用S来表示该等差数列的前n项和，可否得到Sn的表达式？

生5：可以，S=.

师：可否用直观图形来表示？

生6：如图2所示，将a，a，…，a从上到下摆放成三角形，其中第1行的圆点数量为1，第2行的圆点数量为2，第3行的圆点数量为3，以此类推，第n行的圆点数量为n，将所形成的三角形转化成平行四边形，则每一行的圆点数量均为n+1，共有n行. 因此，平行四边形中的圆点数量为n（n+1），则三角形中的圆点数量就是. （多媒体演示推导过程）

师：分析得不错，此为本节课的教学重点——倒序相加法. 用这个方法推导等差数列｛a｝的前n项和公式是什么呢？

生7：等差数列｛a｝的前n项和公式S=.

师：用这个公式进行计算，哪些量必须明确？

生8：想要计算，必须明确等差数列的首项a和末项a，同时要知道项数n的具体值.

师：非常好，基于等差数列的前n项和公式的形式进行分析，可联想到什么图形的面积公式？

生9：我记得探索梯形的面积时，就是将梯形拼接成平行四边形来完成的，其面积公式与等差数列的前n项和公式有高度相似性.

师：是的，可否提炼出它们的共同原理？

生9：两者的构造方法高度相似，都是将原图形拼接成平行四边形，即通过倒序相加获得的.

师：为什么要倒序相加呢？

生9：将不相等的部分补充为相等的部分，更便于理解与计算.

师：很好！倒序相加就是将一个等差数列构造成数值完全一样的常数列，等差数列的前n项和公式的推导与梯形的面积公式的推导有异曲同工之妙.

与文字语言相比，图形语言的应用让原本抽象的数学内容变得直观形象，这种转化更便于学生理解. 上述导入模式成功突破了教材用高斯算法导入的局限，高斯算法导入属于从代数维度去理解等差数列的前n项和，这对学生来说确实存在一定的困难. 而数形结合思想的应用，则将原本抽象、静止的代数模式转化为直观形象的图形模式，学生的思维从三角形的面积出发，过渡到平行四边形的面积中来，不仅揭露了倒序相加法的原理，还让学生从根本上掌握了等差数列的前n项和公式，对公式内涵与外延的理解也更加深入.

在此过程中，笔者若依靠教材提供的方法，带领学生纯粹从代数层面进行探索，则学生只会死记公式，难以理解公式的本质. 数形结合思想的应用，帮助学生建立了良好的思维基础，揭露了倒序相加法的形成原理与计算过程，使学生直观想象素养与数学抽象素养得到了发展.

思考与感悟

1. 创造性使用教材是必然趋势

教材是教学的依托，利用教材所呈现的例子实施教学理所当然，但生搬硬套教材内容则有悖于新课改的教学理念. 事实证明，依托教材实施教学，需要根据学生的实际认知水平与知识特点而定，引导学生亲历知识发生与发展的过程是践行深度学习理念的基础. 因此，创造性使用教材是新课改的必然趋势.

对等差数列的前n项和公式的研究，学生思维的障碍点在于倒序相加法的应用原理，若按部就班地应用教材内容进行课堂导入，则难以揭露原理本质；而创造性使用教材，带领学生从图形着手去探索，成功吸引学生注意力的同时，活化了学生的思维，致使学生主动想到用圆点来刻画问题，渗透着数形结合、特殊到一般等数学思想方法，推动学生逻辑推理、直观想象等素养有效发展.

2. 理解教材是创造性应用教材的基础

俗话说：知己知彼，百战不殆. 这句话同样适用于创造性使用教材助力教学，教师只有从根本上理解教材的编写意图，才能不偏离教学目标. 当前，高中数学教材版本众多，一线教师不能只将目光紧盯在自己使用的教材上，还要关注其他版本教材，从其他版本教材中获取一些有利于课堂教学的信息，为创造性使用教材提供灵感. 本节课对课堂导入环节的改造，就源于其他版本教材提供的信息. 事实证明，利用数形结合思想教学的效果优于单纯的代数教学的效果. 因此，此为一次成功的改造过程.

3.与时俱进是创造性使用教材的关键

随着时代的发展与科技的进步，当下的数学教学与传统的数学教学有了天壤之别，尤其是信息技术的崛起，教育信息化已经渗透到课堂的每一个角落. 教师应与时俱进，在读懂教材的基础上使用好先进的信息技术手段，让信息技术成为创造性使用教材的辅助工具. 除此之外，教师还要关注课改的进度，掌握好政策的风向标，在发展学力的基础上设计教学. 例如本节课，笔者借助多媒体展示图形变化情况，让学生能直观地观察到图形怎样由三角形转化为平行四边形，为理解倒序相加法奠定了基础.

总之，创造性使用教材的本意不是摒弃教材，而是以新课标为依据，对于教材内容进行合理调整、取舍与增补，使得整合后的教学内容、教学构思及教学过程能符合新课标所倡导的教育理念，更有利于学生的认知发展［2］.

参考文献：

［1］ 林泽华，李孝诚. 基于“创造性使用教材”的创新性教学设计——透过“等差数列的前n项和公式”的视点［J］. 中学数学，2024（03）：26-28.

［2］ 张炜. 例谈创造性使用教材的设计及反思——以“直角三角形全等的判定”为例［J］. 理科考试研究，2022，29（14）：13-16.