巧借问题情境 落实“三会”目标

［摘 要］ 数学教学不仅要让学生获得知识，更重要的是要让学生获得数学学习能力、掌握数学研究方法. 在数学教学中，为了促进“三会”目标的达成，教师应结合教学内容创设有效的问题情境，引导学生经历生活经验数学化和数学问题生活化的过程，以此激发学生的学习热情，提高学生的应用能力，落实数学学科核心素养.

［关键词］ 三会；问题情境；数学学科核心素养

新课标强调，数学教育引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，让学生在问题发现、探索、解决和表达过程中逐步提高发现、提出、分析和解决问题的能力，让学生学会学习. 在教学中，教师要结合教学实际创设有效的教学情境，使学生以“发现者”“探究者”“参与者”“创造者”的身份融于数学课堂，让学生通过独立思考和合作交流逐步把握数学内容的本质，提高课堂教学有效性.

借助生活经验，让学生用数学眼光看待问题

数学源于生活，又高于生活. 在数学教学中，教师要结合教学内容引入一些学生熟悉的、感兴趣的生活情境，以此有效沟通数学与生活的联系，让学生体会数学内容的本质，提高学生数学抽象、直观想象等素养.

例1 探寻“基本不等式”.

在本课教学中，教师不妨创设有效的问题情境引导学生亲历知识形成的过程，促进学生认知体系的建构和数学学科核心素养的落实.

教师可以引入这样一个情境问题：已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），如果往糖水中继续添加m克糖，糖水会发生怎样的变化？问题给出后，学生结合生活经验很容易得到“糖水变甜了”这一结论. 在此基础上，教师引导学生顺势思考：在这个现实生活情境中，你是否发现了数学的身影？你能用一个数学式子来表达蕴含其中的数量关系并证明它吗？在问题的引导下，学生容易提炼出不等式<（b>a>0，m>0）. 通过经历上述过程，既为抽象的数学式子赋予了鲜活的生命力，又让学生体会到了数学的抽象美、简约美.

其实，上述问题情境的价值远不止于此，在此基础上可以进一步拓展. 例如，教师可以引导学生思考下列问题.

①若将3杯甜度相同的糖水混合在一起，糖水会变甜吗？如何用数学式子来表达？

②若将2杯甜度不同的糖水混合在一起，糖水甜度会如何变化？用数学式子又该如何表达？

③将2杯甜度不同的糖水混合在一起，糖水的混合浓度与其平均浓度相比，是怎样的数量关系？

对于问题①和问题②，学生结合生活经验能直接给出答案“===（其中a<b，i=1，2，3）”和“<⇒<<（其中a<b，i=1，2）”. 而对于问题③，是挑战性结论——比较

+

与（其中a<b，i=1，2）的大小.

这样从学生熟悉的问题情境出发，通过对问题拓展延伸，不仅能拓宽学生的视野，还能帮助学生更好地理解数学知识，让数学课堂更具生机和活力.

关注数学理解，让学生用数学语言表达现实问题

数学是一种抽象的思维活动，为了让学生更好地理解数学知识，教师要引导学生用数学语言表达生活实际问题，以此通过加强数学语言与生活实际的联系，来提高学生的数学学科核心素养，发展学生的数学能力.

例2 认真分析以下三件事，说一说它们分别与图1中的哪个图象的吻合度最高？剩下的一个图象，你能否用一件事来表述？

（1）周一早晨，我刚离开家，发现胸卡落在了家里，于是我回家取好再上学.

（2）我离开家后一直匀速向学校行驶，不过中途遇到一个红灯耽搁了一些时间.

（3）今天阳光明媚，我骑着自己的爱车离开家，缓缓加速，向公园行驶.

问题给出后，学生结合现实情境很快给出了答案：第（1）件事与图D对应，第（2）件事与图A对应，第（3）件事与图B对应. 接下来，学生给出许多精彩的事件来表达图C. 例如，今天离开家的时间较早，路上的时间比较充裕，我缓缓减速行驶，欣赏路上的美景.

例3 构建一个问题情境，使其中变量关系能用二次函数解析式y=ax2（a>0）来描述.

在教师的启发和指导下，学生结合已有的学习经验“还原”解析式，有的学生联想到自由落体运动：物体自由落体的运动规律是h=gt2（下落高度h是下落时间t的函数）；有的学生联想到直角三角形的面积：对于给定锐角A的Rt△ABC，令Rt△ABC的面积为S，角A与直角的夹边长为x，则S=x2tanA. 通过经历问题情境的建构过程，不仅加深学生对函数概念的理解，还增强学生的建模意识.

这样引导学生用图形、数学表达式来刻画现实问题，通过经历数学语言的“抽象”与“还原”，引导学生学会用数学语言去表达现实问题，以此提高学生的数学语言表达能力，提升学生的数学学科核心素养.

重视数学探究，让学生用数学思维思考现实问题

“用数学”是数学教学的起点和落脚点，教学中要激发学生用数学思维思考现实问题，以通过“用数学”来感悟数学学习价值，调动学习动机.

例4 如图2所示，小岛与海岸线最近的点P的距离是2 km，点P的正东方向12 km处有一小城镇.

（1）某人从小岛出发，先是驾驶小船以3 km/h的速度到达岸边，然后以5 km/h的速度步行到达城镇. t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示小船停靠处与点P的距离. 请将t表示为x的函数，并写出其定义域.

（2）若小船停靠处到点P的距离是4 km，则他从小岛到城镇需要多少时间？（精确到小时）

解题时可以引导学生将图2抽象成图3，以便学生用数学思维思考现实问题. 设点A为城镇，点B为小岛，点C为小船停靠的位置. 将现实问题抽象成数学问题后，学生很容易写出函数t（x）=+（0≤x≤12）. 当x=4时，t≈3（h）. 其实，对于该问题的探究不能局限于此，在此基础上，教师还可提出以下几个问题.

问题1 当船停靠在何处时，最省时？

学生通过思考、探索、交流，求导得t′（x）=-=. 由此可知，t（x）在区间

0，

内单调递减，在区间

，12

内单调递增，所以当船停靠在距P点1.5 km处时，最省时.

问题2 如果步行速度和小船速度相同，均为3 km/h，此时函数t（x）=+（0≤x≤12）的最小值是什么？

若解题时从单纯的函数性质的角度去思考，对于大多数学生而言，存在一定难度. 但是将其融于实际背景，问题就简单了许多. 观察图象，通过思考可知，上述问题的几何意义为（BC+CA）≥BA，即当x=12时，函数t（x）=+取最小值. 当然，对于这一结论要用复合函数的单调性加以证明，这里不再赘述. 因此［t（x）］=t（12）=.

问题3 你能根据问题2的探究经验，求出t（x）=+的最小值吗？

如此设问，就是从问题的实际背景出发，利用几何关系求函数的最小值. 由于t（x）=

+=（BC+AC），若能将AC转化为一条线段的长，问题即可获解. 将AC转化为一条线段的长，不妨从满足CD=AC的点D的轨迹入手. 在AP上任选一点C，以点C为圆心，AC为半径作圆，则圆上所有的点均满足CD=AC. 通过取不同的点C，可以获得一组拥有共同切线AH的圆（如图4所示）. 由此，原题可以转化为求BC+CD的最小值. 解题时，教师可以引导学生画出图5所示的简图. 至此，原题就转化成了学生熟悉的问题，最终求得［t（x）］=t

=.

在上述探究活动中，教师引导学生先将现实问题抽象为数学问题，然后用数学思维去思考和解决现实问题，让学生充分体验直观想象和数学抽象的魅力，从而提高学生的数学应用能力. 在此过程中，教师利用环环相扣的问题，引导学生建立数与形的联系，通过问题解决感悟数形结合思想、转化思想的重要价值，教会学生用数学思维去思考，用数学语言去表达，增强学生的数学应用意识，提高学生的数学应用能力.

总之，在数学教学中，教师要提供机会和时间给学生从生活实际中去发现、去提炼、去应用数学知识，以此感悟“学以致用”的本质，从而提高学生运用数学知识解决问题的能力.