动态生成，让高中数学课堂焕发光彩

［摘 要］ 数学教育既要遵循科学性，又要凸显艺术性. 艺术与科学的本质区别在于：科学研究的是客观规律，而艺术更强调独特性. 在教育领域，永远找不到两个完全一样的情境，因为课堂会随着教学活动的推进而不断变化. 文章从以下几点对高中数学课堂的动态生成展开阐述：顺应学生思维，自然生成；借助典型错误，促进生成；探索教学方法，驱动生成.

［关键词］ 动态生成；思维；错误

课堂预设是指教师根据教学目标与学生的认知结构而设计的教学方案；课堂生成是指教学活动过程中，因为没有出现课堂预设的信息或目标，教师结合当时的实际情况灵活调控课堂教学方向，更新教学方法，实现超越原计划完成教学任务的过程. 预设与生成是课堂教学的重要组成部分. 精心预设能促进课堂的成功，而预设背景下的“生成”更精彩.

顺应学生思维，自然生成

数学是思维的体操，不论是课前预习、课堂教学、课后作业，还是应试等，都离不开思维的支撑. 叶澜教授认为：课堂是向未知方向前进的旅程，意外随时都有可能发生，正是这些意外促成了课堂美丽的风景［1］. 学生思维的变化是课堂预设无法完全把握的，正是这些变化让课堂变得更加生动，富有生命力.

纵然教师在课前都会结合学生的实际认知水平与教学内容的特点，做好精心预设，但课堂教学是一个动态过程，学生的思维会随着课堂教学的推进而发生一些奇妙的变化，灵感与奇思妙想就在这个时候不期而至. 面对这种情况，教师应敏捷地捕捉到学生思维的火花，应用自己的教学经验与智慧，顺应学生的思维迅速作出判断并调整教学方向，使课堂生成自然发生.

例1 在图1的平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），点E为圆C上的动点，点G为圆C上的另一动点，EF⊥FG，点M为线段EG的中点. 判断：线段OM的长度是不是定值？如果是，请求出；若不是，请说明.

1. 课堂预设

预设1：结合几何图形的性质，分别连接CM，CG，根据圆的几何性质，不难发现CM2+GM2=CG2=16. 在Rt△FEG中，已知MF是斜边GE的中线，所以MF与GM相等，由此可知MC2+MF2=16. 假设点M（x，y），则（x0+1）2+y+（x0-1）2+y=16，经整理，得x+y=7，即OM2=x+y=7. 由此确定线段OM的长度是定值.

预设2：设y=kx+b为线段EG所在直线的方程，点E，G的坐标分别为（x，y），（x，y），列方程组（x+1）2+y2=16，

y=kx+b，消去y，得（1+k2）x2+（2+2kb）x+b2=15. 根据EF⊥FG，可知（x-1）（x-1）+yy=0，即（x-1）（x-1）+yy=xx-（x+x）+（kx+b）（kx+b）+1=（k2+1）xx+（kb-1）（x+x）+b2+1=b2-15++b2+1=0. 经化简，得b2=7k2+6.

因为点M是线段EG的中点，所以x=，y=，所以OM2=x+y=. 把式子b2=6+7k2代入其中进行化简，可得OM2=7. 由此确定线段OM的长度是定值.

2. 课堂生成

虽然教师在预设环节将两种解题思路都考虑到了，但在实际教学中，没有完全按照预设路径走，学生给出了如下思维过程.

因为点E（x，y），G（x，y）都位于圆C上，同时FG⊥FE，所以列方程组（

x+1）2+y

=16，

（

x+1）2+y

=16，

（

x-1）（

x-1）

+y

y=0，整理该方程组，可得x

+y

=

15-2x，

x

+y

=15-2x，

x

x

+y

y

=x

+x-1.此方程组共有x，y，x，y四个未知数，而解这一方程组无法获得这些未知数的值，学生的思维在此处出现了障碍. 教师若选择置之不理，强行将学生的解题思路“掰”到预设的解题方法上去，难免消减学生的学习兴趣. 教师若顺应学生的思维继续前行，不仅能柳暗花明，还能凸显学生思维的价值，增强学生的学习信心.

师：获得x，y，x，y这四个未知数的值并非我们解题的最终目标，对吗？我们解题的最终目标是判断MO是否为定值，因此可以换个角度思考，想办法避开求这四个未知数的具体值——用这四个未知数来表示MO2，结合上述方程组中的三个等式，可以尝试通过消除未知数求解问题.

教师话音刚落，就有学生提出了以下方法：MO2=

+

=［（x+y）+（x+y）+2（xx+yy）］=7，由此可确定线段OM的长度是定值.

师：太棒了！这就是解析几何中常常用到的“设而不求”法，虽然我们无法获得x，y，x，y这四个未知数的具体值，却不会妨碍“线段OM的长度是定值”这个结论的生成.

教师用自己的智慧肯定了学生的思维价值，保护了学生的思维路径，同时又不着痕迹地化解了学生思维受阻的点，成功让课堂生成自然发生. 在此基础上，教师进一步与学生一起总结本题的解题方法，以深化学生对“设而不求”法的认识. 因此，这是一个成功的教学案例，具有一定的参考意义.

<D：＼DW＼数学教学通讯（下旬）＼2023年＼2023数学教学通讯中旬（02期）＼aa-2.tif> 借助典型错误，促进生成

“过程与方法”教学强调教师要善于捕捉学生的错误，并充分利用错误的教学价值，帮助学生判断错误的根源，寻求纠错方法，以揭示知识的本质［2］. 实践证明，错误是课堂动态生成的良好资源，正如心理学家盖耶所言：“不允许学生犯错，将会错过最有成效的教学时刻.”确实，利用好课堂中一些关键且隐蔽的错误，不仅能有效启发学生的思维，还能揭示问题的本质，提高教学效率.

例2 若想让7个人排成一排，且甲、乙、丙三人为互不相邻的关系，存在多少种排队情况？

此为典型的排列组合中“相邻与不相邻”的问题，解决这一类问题行之有效的方法为“插空法”. 为了激发学生的思维，让学生明确思考方向，教师对“插空法”先行示范，并适当加以练习，而后再将此题交给学生解决. 大部分学生拿到此题后，根据自身的认知结构，应用“插空法”很快就获得了答案：存在AA=1440种排队情况.

当教师认为此题求解结束时，突然有学生举手提出：用“插空法”获得的确实是这个结果，但用“排除法”却得出了不同的结论，具体列式为A-3AA+2AA=2160.

师：你能将想法表达出来，值得表扬. 请给大家解释一下所列式子的意义.

生1：从“排除法”的角度来看，甲、乙相邻有AA种情况；乙、丙相邻有AA种情况；甲、丙相邻有AA种情况. 利用“捆绑法”可得甲、乙、丙三人相邻有AA种情况. 3个式子AA都包含有甲、乙、丙三人相邻的情况，这些情况一共被减了3次，因此需要加上2倍的AA，得到A-3AA+2AA=2160. 但用这种方法来计算，比用“插空法”多了720种情况，这是为什么呢？

这个问题成功吸引住了全体师生的注意力，此情此景，教师若回避这个问题，显然不是上上之策，于情于理教师都必须解决这位学生的困惑. 因此，教师顺势将此作为一个典型的教学素材加以利用，一方面凸显了这个问题的价值，另一方面可以从根本上帮助学生解题.

师：学贵有疑，你所提出的问题非常好！在排列组合类的问题中，探寻一个错误解法的根源确实不那么容易，现在我们就一起来探讨：用“排除法”为什么比“插空法”多了720种情况？

（学生沉默）

师：现在我们一起来分析，当甲、乙两人相邻时，丙与他们相邻存在多少种情况？

生（众）：AA种. （显然，错误的结果具有先入为主的效应. ）

师：究竟是不是这么多种呢？我们一起来排排看. 现在我们暂时不考虑其他四人，就排一排当甲、乙捆绑在一起时，丙与他们相邻存在多少种情况. 用“甲乙”代表他们捆绑在一起，不可分开.

在教师的提示下，学生很快就得到下列4种情况：丙“甲乙”、丙“乙甲”、“甲乙”丙、“乙甲”丙.

师：很好，此排列的关键在于将“甲乙”捆绑在了一起. 如果将甲、乙、丙三人捆绑在一起排列，那么存在几种情况呢？

生2：6种，分别为“甲乙丙”“甲丙乙”“乙丙甲”“乙甲丙”“丙乙甲”“丙甲乙”.

师：非常好！通过这个简单的问题，你们有什么新的发现吗？

学生顿悟，当“甲乙”确定在一起时，丙无法插入他们的中间. 同理可知，“甲丙”在一起时，乙不能插入他们的中间；“乙丙”在一起时，甲也不能插入他们的中间. 由此可知，在算式3AA中，“甲乙丙”在一起的情况有：“甲乙”丙、“乙甲”丙、“丙乙”甲、“乙丙”甲、丙“乙甲”、“甲丙”乙、“丙甲”乙、丙“甲乙”、甲“乙丙”、乙“甲丙”、乙“丙甲”、甲“丙乙”，共有2个A.

从中可以看出，在算式3AA中，包含的是2个AA，并非3个AA，因此A-3AA仅需加上1个AA，而AA=720，因此多出来的720种情况就显现出来了！（师生都松了一口气）

此过程充分显示了教师教学的灵活性与智慧，列举法的应用，使得模糊的问题变得一目了然，学生在一个简单问题的牵引下，顺利突破了思维障碍，错解的根源也水落石出. 在实际教学中，教师把握好学生的错误资源，审时度势地利用这些资源帮助学生追查错误根源并纠错，不仅能充分暴露思维的障碍点，还能拓宽学生的视野，开阔学生的思维，深化学生对知识本质的认识，让课堂在动态生成中焕发蓬勃生机.

探索教学方法，驱动生成

个体差异性使每一个学生偏好的解题方法不一样，课堂上丰富多样的解题方法常能营造出百花齐放的氛围，让每一个学生都能发现适合自己的思维方式. 同时，“一己之见”无法满足学生的思维需求，将各种解题方法汇聚到一起，能让学生从中辨析各种方法的优劣，从而优化解题思路，提高解题能力［3］. 当然，集思广益的解题方法，也是对学生思维的回应.

例3 已知直线l的方程为2mx+（1-m2）y-4m-4=0，如果对任意实数m，直线l都与一个定圆呈相切的关系，则该定圆的方程是什么？

生3：假设该定圆的方程是（x-x）2+（y-y）2=r2，圆心（x，y）到直线l的距离为半径r. 由题意可列等式=r，将该式整理成关于m的方程为（y-r2）m4+4y（2-x）m3+2（2x-y-8x+4y-r2+8）m2+4（xy-4x-2y+8）m+y-8y-r2+16=0. 根据题设条件“对任意实数m，直线l都与所设定圆相切”，可知上式为一个关于实数m的恒等式，且m的各次项系数与常数都是0，由此可得x=2，y=2，r=2. 因此，该定圆的方程是（x-2）2+（y-2）2=4.

生4：取几个m的特殊值，获得特殊的几条直线，只要能求出这些直线的内切圆，而后通过检验即可完成求解. 如当m=0时，直线是y=4；当m=1时，直线是x=4；当m=-1时，直线是x=0. 探索发现，与“y=4，x=4，x=0”三条直线相切的圆为（x-2）2+（y-2）2=4. 检验可知：从圆心（2，2）到直线l的距离d===2=r，与实数m并没有关系. 因此，直线l和定圆（x-2）2+（y-2）2=4是相切的关系.

生5：把直线l的方程进行整理，生成关于m的一元二次方程为ym2-2（x-2）m-y+4=0，令判别式为0，可得4（x-2）2-4y（4-y）=0，经整理，得（x-2）2+（y-2）2=4.

分析几位学生所展示的解题方法后，师生共同认为：第一位学生所展示的解题方法，思维清晰、脉络清楚，缺点是运算量大，对变形能力与运算能力的要求高；第二位学生的解题方法从几个特殊情况出发，通过几条特殊直线获得定圆方程，并检验其是否符合一般情况，这种解题方法的可操作性强且计算量不大，值得推荐；第三位学生的解题方法，从表面上看是一步就获得了定圆的方程，但该生自己都觉得是歪打正着的方法，并不理解为什么. 但有学生认为，第三种解法必然存在一定的道理，既然能准确获得定圆的方程，并不一定是巧合，这种解法存在继续研究的价值. 在该生的提议下，教师带领学生沿着第三种解法继续往下探索：

如图2所示，关于x，y的方程2mx+（1-m2）y-4m-4=0表示无数条直线和一个定圆相切，无数条直线汇聚在一起就组成了定圆的包络线. 定圆的圆心为（2，2），半径为2. 若确定一个m，则对应包络线中的一条.

相反，如果确定一个点（x，y），那么过点（x，y）的包络线可能有两条，对应关于m的方程有两解；也可能只有一条，对应关于m的方程只有一解；还可能没有，对应关于m的方程无解.

令判别式为0，从本质上来看，就是过点（x，y）的圆的包络线只有一条，而点（x，y）是包络线在定圆上的切点. 通过判别式为0而获得的关于x，y的二元二次方程，即为待求的定圆的方程.

第三种解法的探索对教师的业务水平与专业素养的要求都比较高，该采取怎样的方式与学生一起探索，需要结合实际情况而定. 若教师有过强的专业素养，选择直接讲解，能为学生答疑解惑；若将一些解法作为课堂研究的素材，师生通力合作，能促进课堂动态生成，不乏为上上之策.

总之，动态生成是教学所需，也是课堂常态. 教师应不断地提升自身的业务水平与综合素养，灵活应对课堂中的各种意外事件，充分利用各种临时形成的素材与资源，通过一定的教学手段改进方法，让每一节课都在动态生成中焕发光彩.

参考文献：

［1］ 叶澜.让课堂焕发出生命活力——论中小学教学改革的深化［J］. 教育研究，1997（09）：3-8.

［2］ 池长环. 新课程理念下数学“生成性”备课研究［J］. 教育教学论坛，2012（24）：32-33+117.

［3］ 喻平，董林伟，魏玉华. 数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通［J］. 数学教育学报，2015，24（01）：26-28.