APOS理论模式与应用策略的研究

［摘 要］ 文章以“数列”的概念为例，从APOS理论所提的四个阶段（活动阶段、过程阶段、对象阶段与图式阶段）入手设计概念教学，并从“注重教学思想”“细化教学理论”“择取教学方式”三个方面谈一些思考.

［关键词］ APOS理论；概念教学；数列

APOS理论是杜宾斯基等人在研究概念教学过程中提出的一种学习理论，该理论认为学习是知识建构的过程，“反省抽象”是促进学生优化学习方式，实现深度学习的基础. APOS理论认为数学学习需要经历活动、过程、对象与图式四个阶段，学生的思维在这四个阶段中转化与升华. 本文以“数列”的概念为例，探讨如何在教学中践行APOS理论.

APOS理论模式

杜宾斯基认为个体在概念学习时需借助“心智结构”赋予概念一定的意义，心智结构的构建一般经历如下四个阶段.

1. 活动（Action）阶段

心智结构的活动阶段是指个体遵循一定的操作或记忆指令，对数学对象形成初步认识的过程. 此为学习的基本操作活动，如将学生的行为变化外显与意向变化作为记忆指令，即通过适当的外部活动刺激，让学生对数学概念形成一定的认识与体验，并发现背景环境与概念之间存在怎样的联系.

2. 过程（Process）阶段

该阶段是指在多次活动之后，学生对活动内容进行分析与反思，形成思维内化与压缩，这是将外部活动内化成“过程”的心理变化. 这里的“过程”无需外部刺激，学生就能在脑海中实施活动，甚至可逆转或组合整个活动.

例如椭圆的教学，教师借助GeoGebra软件画图，学生在此基础上对椭圆的形成获得明确的认识，这样在后续学习中，在没有工具辅助的情况下，学生通过自己的想象也能在脑海中构建出完整的椭圆图形.

3. 对象（Object）阶段

随着个体意识的进一步深入，学生能从整体层面对“过程”进行转换与操作，那么“对象”则会自然而然地刻画在学生的脑海中，为后续学习奠定基础. 需要应用该知识时，大脑可以将这部分知识内容解压缩，再现对象形成过程，使概念能在学生脑海中形成一种静态的结构关系——实体.

4. 图式（Schema）阶段

当学生对活动、过程与对象进行整合后，形成数学概念的综合图式，此阶段需要投入较多的精力与时间才能完成. 数学概念的综合图式，随着对知识认识的逐步深入而完善，即将所学知识与其他相关内容结合构建综合图式，为建构完整的数学知识体系奠定基础.

综上分析，APOS理论实则为一个循环反馈系统，学生在“活动”中压缩脑海中的“过程”，并将它转化为“对象”，必要时又将“对象”解压为“过程”，学生的思维经历多次反复循环，最终形成综合“图式”（如图1所示）.

基于APOS理论的概念教学设计

概念教学切忌灌输，应结合学生真实的认知水平，将概念形成过程循序渐进地呈现出来，让学生经历观察、辨别、猜想、验证等过程. 以“数列”的概念为例，基于APOS理论设计如下四个阶段：①辨认分化阶段；②检验概括阶段；③推广阶段；④形式阶段.

1. 活动阶段——辨认分化阶段

活动1 探索数列的属性.

（1）教师借助PPT展示花瓣图（图略），图中显示各朵花分别有3，5，8，13， 21，…片花瓣.

（2）呈现古印度国王与棋盘和麦粒的小故事.

（3）如图2所示，每幅图中的点分别对应数字1，3，6，10，….

如图3所示，每幅图中的点分别对应数字1，4，9，16，….

设计意图 设置经典情境意在激发学生的探究兴趣，渗透数学文化，让学生自主揭开“数列”的面纱，感知数列源于生活的真谛，为更好地辨认数列奠定基础.

此过程抽象的是研究对象在空间形式与数量关系方面的共同本质属性，而非物理属性. 显然，每一种物品或事物都有各自的特点，又有相似的地方. 每幅图所表示的数与图中的序列号均有关系，从中也能发现同一个数字具备不同的属性特征.

2. 过程阶段——检验概括阶段

活动2 抽象数列的概念.

（1）数列3，2，1与数列1，2，3是否为同一数列？（不是，它们的顺序不同.）

（2）说说数列与集合在记法上的异同点是什么. （数列中的数具有顺序性且可以相同，而集合中的各个元素没有顺序性且有互异性.）

设计意图 上述两个问题的提出，意在深化学生对数列概念的理解，明晰数列的有序性与可重复性，同时与集合中的元素进行辨析，进一步深化学生对数列概念的认识.

随着以上探究活动的实施，学生自主获得了数列概念的文字与符号表达式，其中要引起学生关注数列项与项数的区别，以及a与｛a｝的关系.

3. 对象阶段——推广阶段

活动3 甄别函数解析式与数列通项公式.

（1）说说函数解析式y=f（x）与数列通项公式a=f（n）的区别.

我们可将数列视为定义域是正整数集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）的函数a=f（n）. 也就是说，自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值，可获得对应的一列函数值. 两者最大的区别在于定义域上，函数的定义域可为任意的非空数集，而数列的定义域只能是正整数集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）.

（2）函数y=2x+1的图象与通项公式为a=2n+1的数列的图象相同吗？

设计意图 学生通过两者对比，自主发现函数解析式与数列通项公式的异同点，充分感知数列属于一种特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上.

4. 图式阶段——形式阶段

活动4 判断数列的单调性.

（1）通过以上探索，我们都知道数列是一种特殊的函数，那么能否利用函数求最值的方法来获得数列的最大项或最小项呢？

（2）怎样确定数列｛a｝的单调性？

设计意图 问题（1）的提出意在引导学生借助函数的性质获得数列的最大项或最小项，值得注意的是这两者之间有一定的差异，即数列｛a｝中的n∈N*. 问题（2）意在引导学生从数列的单调性出发，来比较a与a的大小，这对发展学生的逻辑推理能力与数学运算能力具有重要意义.

几点思考

1. 注重教学思想

知识的形成需要经历循序渐进的过程，每一个数学概念并非独立的个体，课堂上有限的时间并不能完全阐述清楚各个概念的内涵与外延. 因此，教师应更新教学思想，从“大概念”的角度出发，将概念置于相应的单元或学科体系中进行教学，让学生从宏观的角度认识它的本质，这对完善学生的知识结构具有重要意义.

2. 细化教学理论

APOS理论的应用为数学教学提供了方法指导与理论支撑. 教师应用APOS理论时，可结合学生的实际认知水平适当地改进与细化教学流程，从真正意义上做到因材施教. 如活动阶段，教师就可以结合学情创设恰当的情境，深化学生对知识的了解，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力.

3. 择取教学方式

在概念教学时，教师可根据概念特征基于APOS理论择取合适的方式. 若学生对概念已经有了初步认识，可以“同化”为方向实施教学；若学生对概念毫无基础，可择取概念形成的方式实施教学. 不论哪种教学方式的应用，其目的都是让学生能用数学概念解决实际问题，这是实施教学的宗旨，也是提升学生数学学科核心素养的基本保障.

总之，时代的发展孕育着大量新的研究理论. APOS理论之所以能在众多教育理论中脱颖而出，是因为它不仅为数学教学提供了指导，更重要的是为图式水平的划分提供了参考. 因此，APOS理论是一种关注学生思维发展走向的教育教学理论，是值得探讨与研究的理论.