巧用问题驱动 发展探究能力

［摘 要］ 高中数学学科具有较强的抽象性与逻辑性，很多学生对定义存在理解困难，对解题存在认知障碍. 巧用问题驱动实施教学，可从一定意义上提升学生在课堂中的探究效率，从而更好地梳理知识结构，理解知识本质，提高解题效率. 研究者以“双曲线”的拓展教学为例，分别从研究缘起、教学实践与教学思考三个方面展开探索.

［关键词］ 问题；探究；拓展

以核心素养为导向的高中数学教学更关注学生探究意识与思维能力的培养. 借助问题驱动学生的思维，让学生学会从数学的视角去认识生活实际问题，并形成解决问题的能力是发展核心素养的重要途径之一［1］. 从数学史的发展历程来看，数学每一次的重大发现与突破都与问题有着密不可分的联系，一些数学问题的解决促使数学理论的发展. 因此，借助问题驱动教学的模式值得深入探索与推广，它是学生提升探索能力与学习能力的重要通道.

研究缘起

学海无涯. 学习过程中难免遇到一些困惑，如学习双曲线之后，一些思维活跃的学生对双曲线的概念就产生了疑惑：初中阶段研究的反比例函数图象为双曲线，高中阶段探索的双曲线与之是不是同一个东西呢？除了反比例函数之外，还存在其他可以描述双曲线的方程吗？为了帮助学生解开这个谜团，笔者特地设计了本节课教学，以期通过问题驱动的方式来拓展学生对双曲线的认识.

教学实践

1. 反比例函数图象、分式函数图象与双曲线之间的关系的探索

（1）函数y=的图象的探索

以双曲线的定义为教学起点，引导学生通过两个定点的探索，感知这两定点与反比例函数上的任意点之间的距离差的绝对值是定值，而且这两定点之间的距离大于该定值.

师：首先我们一起来探索反比例函数y=.

问题1 倘若M（x，y）为反比例函数y=图象上的一点，探寻定点P（x，y），Q（x，y），使得PM -QM 为一个固定的数值.

面对这个问题，学生表示无从下手，于是笔者启发如下：关于点P（x，y），Q（x，y）的探寻，可以尝试从双曲线的定义与性质着手.

生1：点P，Q必然位于反比例函数y=图象的对称轴上.

师：它的对称轴是什么呢？

生2：对称轴为直线y=x，倘若咱们探寻的点为P（a，a）与Q（b，b），这两点必然关于原点对称，故这两点坐标可重新设成P（a，a）与Q（-a，-a），列式为MP -MQ =

-

.

问题2 想要确定PM -QM 是不是常数，该怎么处理？

生3：可通过运算来分析，主要思考式子中a取什么值的时候，式子（x-a）2+

-a

能以代数式的平方来表达. 因为=，假设x+=t（t≤-2或t≥2），则（x-a）2+

-a

=t2+2a2-2at-2=（t-a）2+a2-2，得a2=2，也就是当a=±时，（x-a）2+

-a

=（t±）2. 即当M（x，y）为反比例函数y=第一象限的图象上的点时，且t≥2，PM -QM =2恒为常数. 与之类似，若M（x，y）为反比例函数y=第三象限的图象上的点时，且t≤-2，MP -MQ =2同样恒为常数，且2<PQ=4.

师：很完整，以上探索明确反比例函数y=的图象必然为双曲线形状. 该特殊情况可否推广到一般呢？

问题3 分析反比例函数y=（k≠0，k为常数）的图象形状是不是双曲线.

有了以上探索作为方法基础，学生通过合作交流很快就获得定点（k，k）和（-k，-k）满足双曲线的定义.

至此，有些教师认为该探究结束了. 事实上，学生的潜能是无穷的，教师还可以带领学生进入深层次探究，借助问题驱动学生的思维引发联想，为学生实现深度学习与发展创新意识做铺垫.

（2）坐标轴旋转公式的探索

问题4 关于反比例函数y=（k≠0，k为常数）的图象，大家通过探索都已经明确了. 有没有同学想过这样一个问题：反比例函数y=的图象是双曲线，但双曲线的标准方程与y=的差异太大了些，这是为什么呢？

学生沉默，一名学生犹豫地提出：“是不是与坐标系有关？”

师：这个思维跨度有些大，想法很好，值得探索. 接下来我们就从坐标轴旋转的角度来分析，类似于物理的参照物，坐标轴旋转本身就是因为参照系发生了改变，导致点的坐标发生了变化，与之对应的方程必然也会发生改变.

此环节比较抽象，学生理解起来有些困难，因此需要教师加以点拨.

师：坐标轴的旋转是指坐标的单位长度与位置都不发生改变，仅仅将坐标轴的方向进行变化. 现在我们要探索这样两个问题：坐标轴围绕原点进行旋转，坐标系内的点会随之怎么改变？这个问题怎么转化成数学问题？

生4：我用数学语言来描述这个问题，假设点M（x，y）是平面直角坐标系xOy内的一点，若该坐标系的坐标轴逆时针旋转角θ，此时的平面直角坐标系为x′Oy′，旋转后的点M位于（x′，y′）处，那么（x，y）与（x′，y′）之间的关系是什么？

师：旋转坐标轴时，什么条件发生了变化，什么条件没有发生变化？

生5：如图1所示，原点与点M之间的距离没有发生变化，但旋转之后的角度发生了变化.

师：因此我们该怎么探索这个问题呢？

生6：假设OM=r，则x=rcosα，

y=rsinα.旋转坐标轴后获得一个新的坐标系x′Oy′，此时点M的坐标是（x′，y′），则x′=rcos（α-θ），

y′=rsin（α-θ），即x′=xcosθ+ysinθ，

y′=ycosθ-xsinθ.

师：除此之外，还可以怎么理解？

生7：借助逆向思维分析，即将坐标系xOy视为坐标系x′Oy′顺时针旋转角θ或逆时针旋转角-θ而来的，因此列式为x=x′cosθ-y′sinθ，

y=y′cosθ+x′sinθ.

至此，学生在探索中获得了相应的旋转公式. 但拓展教学并未画上句号，而应随着学生的思维顺势而上，以旋转公式为跳板，继续探寻双曲线与一次分式函数图象之间的联系.

拓展1 分析一次分式函数y=（p≠0）的图象与双曲线之间的联系.

师：众所周知，反比例函数y=（k≠0，k为常数）的图象经平移可得一次分式函数的图象，既然大家对反比例函数图象为双曲线有了明确认识，接下来，就从转化坐标轴的角度来讨论它们图象之间的联系.

问题5 y=±x为反比例函数图象的对称轴所在的直线方程，x轴、y轴为双曲线的对称轴，若将坐标轴旋转至与y=±x重合的位置，情况是怎样的呢？

生8：坐标系xOy以原点为中心，顺时针旋转后获得坐标系x′Oy′，那么原来y=上的点P（x，y）就转变成了点P′（x′，y′），则

x=x′+

y′，

y=

y′-x′，代入y=可得

x′+y′

·

y′-x′

=k，化简得y′2-x′2=2k.

师：通过以上探索发现，随着坐标轴的旋转，等轴双曲线的标准方程和反比例函数的解析式之间存在一致性.

在此基础上，学生自主交流，提炼出如下结论：一次分式函数y=（p≠0）的图象为等轴双曲线.

2. 双曲线与对勾函数图象之间的关系的探索

拓展2 关于y=mx+（mn≠0）（对勾函数）的图象的探索.

问题6 大家对函数y=mx+的图象存在两条渐近线非常熟悉，该特点和双曲线有高度相似性，那么对勾函数的图象是双曲线吗？

为了帮助学生厘清探索思路，笔者通过问题启发的形式与学生展开交流.

师：若明确点P与两个定点A（1，2），B（-1，-2）之间的距离差的绝对值为4，则点P的轨迹方程是什么？

生9：假设点P（x，y），根据题设条件可得4=

-

，经化简得y=+x.

师：很好，在探索过程中，大家有没有发现该曲线与双曲线也有关系？y=+x从本质上来说就是一个对勾函数，据此你们有什么想法？

生10：结合以上探索，猜想y=mx+（mn≠0）的图象为双曲线.

师：这个猜想是否成立呢？现在请大家合作交流并验证，然后将结论展示出来.

生11：从函数y=mx+（mn≠0）的图象来看，它的渐近线分别是y=mx与x=0，将坐标系xOy的坐标轴顺时针旋转角θ或逆时针旋转角-θ获得坐标系x′Oy′，-=1的图象（双曲线）有一条渐近线y′轴. 若点P（x，y）是双曲线-=1位于坐标系xOy内的一点，与之相对应的在坐标系x′Oy′内的点为P′（x′，y′），则x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ. 假设锐角α为-=1的一条渐近线的倾斜角，那么α+θ=. 因为tanα=，所以sinα

=，

cosα

=，sinθ

=，

cosθ

=.根据点P（x，y）至点P′（x′，y′）的旋转公式得

x′=·

x-·y，

y′=·

x+·y，即

x=·

x′+·y′，

y=-·x′

+·y′，则焦点F（c，0）转化成点F′（b，a），同时顶点A（a，0）转化成A′

，

，那么-=1的标准方程就转化成-=1，经化简得y′=+x′（对勾函数）.

由此，师生通过共同探索，得到结论：-=1（双曲线的标准方程）的图象经过旋转，使y轴与其渐近线重合，获得y=mx+（mn≠0）（对勾函数）的图象.

3. 关于双曲线方程的探索

拓展3 探索中心点位于原点的双曲线的方程.

问题7 已知-=1为坐标系xOy内的双曲线的标准方程，若将坐标系xOy顺时针旋转角θ或逆时针旋转角-θ获得一个新的坐标系x′Oy′，则x′Oy′内的双曲线的方程是怎样的？

生12：假设坐标系xOy中的点P（x，y）位于坐标系x′Oy′中是P′（x′，y′），则x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ，将其代入-=1可得-a2（-x′sinθ+y′cosθ）2+b2（x′cosθ+y′sinθ）2=a2b2，经化简得双曲线方程（b2cos2θ-a2sin2θ）x′2+2sinθ·cosθ（a2+b2）x′y′+（b2sin2θ-a2cos2θ）·y′2=a2b2①.

结合前面的探索得到结论：若b2sin2θ-a2cos2θ=0，也就是当tanθ=时，①式就转化成y′=+x′（对勾函数）；当a=b，且cos2θ≠0时，①式就是x′2+2x′y′tan2θ-y′2=（等轴双曲线）；当a=b，且θ=时，①式就是y′=（反比例函数）.

几点思考

1. 问题是启发探究行为的起点

数学课堂由多个问题构成，想要激起学生的探究行为，教师在课前除了研究教材与课标要求，还要研究学生，并基于学生的实际认知水平提出恰当的问题，让学生的思维随着问题的提出逐渐深入，由此进入真正意义上的探索状态.

本节课，笔者根据本班学生的实际情况，发现学生除了对反比例函数是双曲线有所了解外，对其他的双曲线一知半解. 因此，笔者就以此作为课堂教学重点，引导学生分别从不同的维度拓展知识面，通过探索问题让学生对双曲线产生更加深刻的理解，完善学生的知识结构.

2. 总结提炼是提高探究效率的关键

师生、生生积极的互动与交流可提高探索效率，然而有些教师只关注“过程性”教学，不关注探索活动的总结与反思，导致学生虽然经历了探究过程，但因为缺乏总结与提炼，无法形成完整的知识结构，只能做到知其然而不知其所以然的状况. 实践证明，总结与反思是构建学生认知结构不可或缺的环节.

如本节课，学生已有的认知结构中虽然存在反比例函数与对勾函数等知识，对双曲线也有所了解，但这些知识都是以独立的形态存在的. 课堂上，在问题的驱动下，学生将零散的知识有机地融合到一起，惊喜地发现了它们之间的关系. 这一发现进一步深化了学生对知识本质的理解，为构建完整的知识体系创造了条件.

3.过程评价是提高探究效率的催化剂

新课标引领下的数学教学要将评价贯穿课堂的始终，即关注“过程性评价”的重要性. 想要提高课堂探究效率，就要关注到课堂每一个探究过程的评价，此为提升探究活动效率的催化剂. 如本节课，在师生互动过程中，笔者对学生所反馈的每一个问题或解题思路，都及时给予点评与引导，以此不断推动学生的探究行为，让探究过程更加丰富，获得的结论更加精确. 实践证明，恰如其分的评价可帮助学生更清晰地认识自己，提升学习数学的兴趣.

总之，巧用问题驱动是发展学生数学探究能力，提升学生学习内驱力的重要方式之一. 教师应在教学前做好精心预设，为教学时能更好地点拨与引导学生打下基础. 同时，课堂上与学生积极的互动，以及恰当的评价可促使学生将感性思维转向理性思维，此为发展学生数学学科核心素养的重要途径.

参考文献：

［1］ 陈德燕. 基于情境、问题导向的探究体验式课堂教学实践［J］. 数学通报，2020，59（4）：35-38.