单元大概念视域下高中数学学习中创新思维能力的养成研究

［摘 要］ 新形势下，国与国之间的竞争是创新人才的竞争，如今的数学教学面临着更多元、更多变人才的培养. 如何立足我国基础教育国情，改变传统教学模式，致力于单元大概念视域下发展学生的创新思维呢？对此，研究者进行了大量探索与实践，从核心概念的界定出发，以“复数的乘法”教学为例，具体谈谈单元大概念视域下培养创新思维的具体措施.

［关键词］ 大概念；创新思维；复数

随着时代的发展，“大概念”一词在数学教学中出现的频率越来越高. 为了满足时代进步的需要，培养学生的创新思维刻不容缓. 将单元大概念与创新思维的培养有机地融合于一体是实施结构化教学的重要方式，也是发展学生数学学科核心素养的重要举措.

核心概念的界定

1. 大概念

大概念（Big Idea）源于美国，属于一种统整性概念，即归纳与整合一些特定的概念，融合生活现象、学科知识与基础技能，帮助学生构建完整的概念网络. 单元大概念，顾名思义是指某个单元的概念体系.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调教师需重视学科大概念，在精选学科内容的基础上实施结构化教学，以促使数学学科核心素养的落地. 至此，大概念被提到了重要的位置，但在实际应用时却困难重重，究其主要原因在于它的整合性比较强，不少教师尚未适应从宏观的角度设计教学，尤其在单元大概念视域下培养创新思维，仍需进一步探索.

2. 创新思维

创新思维是指突破常规思维的界限，用独特、新颖的方式解决实际问题的过程. 该过程主要从反常规的视角去提出问题、分析问题，并从新视角提出与众不同的解决问题的方案. 因此，创新思维是一种具有社会意义的成果. 实践证明，培养学生的数学创新思维是推动社会进步与发展的原动力.

具体措施

1. 教学现状分析

高考背景下的数学教学，学生在知识的学习上缺乏一个连续的整体性，对知识的掌握存在“低、浅、散”等现象，无法从宏观的视角认识知识背后所蕴含的逻辑关系与思想方法，尤其在创新思维的发展上普遍存在不足. 新课标强调高中数学教学需及时更新并优化学生的知识结构，让学生在知识的“再创造”与“再发现”中发展创新思维.

复数应用较为广泛，它从实数扩充而来，因此依然延续了实数所具备的特点与运算律等. 但不少教师认为这部分内容比较简单，于是直接带领学生进入复数计算应用环节，而忽略了复数计算理解教学. 殊不知，缺乏理解的应用，只是机械式模仿. 以单元大概念为核心设计教学，不仅能帮助学生建构完整的知识体系，还能进一步培养学生的创新思维，发展学生的数学学科核心素养.

2. 教学简录

单元大概念视域下的数学教学应以教材为依托，利用系统论分析“具有某种内在联系”的内容，经整合与重组形成结构完整的单元教学体系. 如图1所示，笔者以学科大概念为节点，从“分析教学要素”“明确教学目标”“设计核心问题”与“多元评价与反思”四个环节着手设计教学流程.

（1）分析教学要素，提取大概念诱发创新思维

教学要素主要包括课程标准、教材内容与学情等. 关于复数章节的教学，新课标强调引导学生理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义；教材所呈现的内容主要包括复数的概念、复数的四则运算、复数的三角表示等，着重强调要凸显代数运算和几何直观的融合性，让学生从中感悟知识间的关联特征，并从整体的角度理解复数章节，以发展学生的创新思维，培养学生的运算素养与直观想象素养.

鉴于高中生具备一定的逻辑推理、数学抽象与创新意识，复数的引入又是一次数系扩充，因此教学时可带领学生站在整体的角度，类比之前几次数的学习过程，将数系扩充的规则作为大概念实施单元学习，其中将复数的乘法运算与几何意义整合成一个小单元实施学习. 这种整合设计是基于发展的角度而来的，是促使学生萌生创新意识的基础.

（2）确定教学目标，以大概念引领创新思维

教学目标是制定教学计划与实施教学活动的方向标. 维金斯认为教学设计首先要明确预期的教学成效，整个课堂教学活动围绕这个预期成效而展开. 新课标已为大家初步制定了单元教学目标，教师可以此为出发点，借助大概念的网状结构逐步细化教学任务，为帮助学生建构完整的概念体系奠定基础.

如图2所示，结合数系扩充规则、课程标准和核心素养要求制定复数单元大概念教学目标.

（3）设计基本问题，以大概念培养创新思维

理解大概念的本质并不是一蹴而就的事情，而要通过概念图的绘制帮助学生逐层理解概念群，明晰概念间存在的层级关系. 本节课，数系扩充规则涉及的子概念有复数的加法、几何意义、多项式乘法、代数表示、三角表示、三角函数等. 想要逐个突破这一个个的子概念，离不开基本问题的驱动.

单元大概念视域下的问题设计需关注具体的方向，每个问题都指向于大概念的理解，学生通过对问题的思考与探索不仅能掌握基本知识与技能，还能促进“四能”的发展. 问题驱动下对已有经验进行反思，可锻炼学生迁移知识的能力，为创新能力的发展创造机会.

问题1 回顾并说一说复数加法的定义与几何意义.

追问1：众所周知，实数存在乘法运算，复数是否也存在乘法运算呢？

追问2：自主猜想并说一说复数的乘法运算法则与几何意义是什么.

设计意图 数系从实数扩充到复数，必然会涉及运算问题，类比实数的运算法则猜想复数的运算是学习能力迁移的表现. 复数既然是实数的扩充，那么复数与实数必然有所联系和区别. 联系和区别在哪儿呢？这是需要学生思考的问题.

问题2 你对复数乘法的“规定”是怎样理解的？

追问1：之前在什么情况下遇到过类似的“规定”？

追问2：这些“规定”存在共性特征吗？

设计意图 数学是一门基础学科，学生从小到大认识了不少数学“规定”，如0和任何数相乘都为0，分母不能为0等. 这些“规定”具有确定性与辩证统一性.

问题3 思考复数乘法是不是也满足结合律、交换律与乘法对加法的分配律呢？

追问1：实数乘法是否满足以上规律？

追问2：说说证明复数乘法运算律的过程.

追问3：根据实数与复数的乘法运算律来分析以上所提到的“规律”具有什么优势.

设计意图 复数运算律的探索是研究复数的基础，学生通过探究题的分析与思考获得结论. 亲历探究，一方面可让学生切身感受复数乘法运算所遵循的一般规律，另一方面还能感知复数乘法与实数乘法的共性特征，因而从代数形式上将实数乘法有机地融入复数乘法. 此过程，教师除了设计基本问题与追问外，还要站在学生的角度做好引导与点拨工作. 如乘法交换律的证明，教师首先要思考学生需要做些什么，该如何操作. 此环节，需带领学生分析：对任意z，z，z∈C，z·z=z·z成立吗？而后引导学生尝试证明，必要时给予规范的示范性指导.

学生在自主证明中，不仅能体会复数乘法的本源为实数乘法，还能训练思维的缜密性与创造性，这是促进创新能力发展的过程.

复数的乘法与两个多项式相乘高度相似，其满足乘法结合律、交换律以及乘法对加法的分配律也就能理解了. 如此分析，复数和实数乘法运算具有高度一致性就理所当然了.

关于数学知识体系的进一步扩充，想要确保其内部和谐、统一，就需对一些法则做出明确规定.

问题4 说一说复数乘法的几何意义.

追问1：复数相乘和向量相乘存在联系吗？说明理由.

追问2：关于数列1，x，-1，有没有哪种运算能将1转化为x，而后将x转化成-1？

设计意图 鉴于向量的点乘结论仅为数量，不满足乘法运算的封闭性特征，因此无法用向量相乘来分析复数相乘. 关于数列1，x，-1的问题的提出，意在引出复数乘法的几何意义，此问难度相对较大，是瑞士数学家阿甘达在1806年所解释的复数几何意义.

问题5 是否可用一个新的量来表达复数相乘？

追问1：假设复数z满足z=r，∠ZOx=θ，则复数z是多少？（以a+bi的形式呈现）

追问2：若r（cosθ+isinθ）=z，r·（cosθ+isinθ）=z，则z·z的值是多少？

追问3：尝试用图形来描述上一个问题中z·z的值.

追问4：说一说复数乘法的几何意义.

追问5：若复数z满足（i+1）z=2i，则z的值是多少？

设计意图 既然无法用向量来描述复数相乘，就需要用其他量来表示. 事实证明，用辐角与复数的模来表示复数效果不错，也就是常说的复数的三角表示法. 假设复数z=a+bi，那么（a，b）就是与复数z对应的复平面内点Z的坐标，分别用r，θ来表示坐标（a，b），则a=rcosθ，b=rsinθ，rcosθ+irsinθ=z=r（cosθ+isinθ），此为复数z的三角表示式.

在三角表示的基础上分析两个复数相乘可将其结果表示成三角形式：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

由复数乘法的几何意义可知，

z·

z=

z·

z. 关于追问5，学生容易得到如下两种解题方法：①假设z=a+bi，代进（i+1）z=2i，获得a=b=1，因此z=；②用复数乘法的几何意义解题，由于

z·

z=

z·

z，因此i+1·z=2i，所以z=.

通过问题的驱动，学生在单元大概念的背景下逐层深入地理解了复数的定义、运算规则等. 每个核心问题配上相应的追问，为学生的思维搭建了“脚手架”，让学生能顺应问题探寻研究方向，完成教学目标. 整个过程，都以学生的主动探索为主，教师只起到引导的作用，这种“以生为本”的模式成功训练了学生的数学思维，发展了学生的创新能力.

（4）多元评价反思，从真正意义上落实大概念

新课标强调教学设计需注重“教、学、评”一体化，单元大概念视域下的教学评价需重点关注过程性与形成性评价，对于学生的思考过程、行为表现、创新意识等，从多维度进行分析、评价与反思. 教学完毕后，教师还应结合评价结论对教学进行反思与调整，借助团队的力量完善教学方案，以进一步提高教学成效，发展学生的创新能力.

总之，单元大概念视域下的教学设计需重点关注知识的整体性与关联性. 鉴于知识间存在严密的逻辑关系，教师可引导学生以概念为节点，建构层次清晰的知识网络图，使得教学目标更加明确，提高教学效益的同时还能促进创新思维的发展.