探究式教学在高三一轮复习教学中的应用研究

［摘 要］ 将探究式教学模式应用在高三一轮复习教学中，能完善学生的认知结构，有效提高学生的创造力，发展学生的数学学科核心素养. 文章从探究式教学理论基础出发，以“正弦定理和余弦定理”的复习教学为例，从教学分析与具体措施两个方面展开论述，并谈几点思考，与同行交流.

［关键词］ 探究式教学；复习；教学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：数学教学要提倡独立思考、合作交流与研究性学习，要注重对学生学习兴趣与创造力的培养［1］. 事实证明，探究式教学模式是实现这一目标的重要手段，它不仅能发展学生的创新意识与科学精神，还能有效促进学生数学学科核心素养的发展.

探究式教学理论基础

1. 主体性教育理论

学生是学习的主体，是课堂的主人，主体性教育理论主张将学生放在教学首位：①从教育目标来看，数学教育的目的在于发展、增强学生的主体性；②从教育过程来看，数学教育的本质就是借助合理的手段与方法，将人类积累的活动经验、优秀文化以及科学知识等转化为学习者的“德”“才”，实现人类精神财富与核心素养的提升.

主体性教育涵盖了理性与非理性教育，这两者是相辅相成的关系，它们互相渗透、影响、补充、支持. 想要促进个体的长足发展，可从理性与非理性两个角度出发，鼓励学生独立思考与深入探究，让学生在积极主动、兴奋的状态下建构新知，形成良好的创造精神.

2. 科学哲学理论

科学哲学理论源于古希腊的自然哲学，分别经历了历史主义、逻辑经验主义以及批判理性主义等发展阶段，各个派别的理念虽然呈现出了差异性，但每种科学观都表现出了Gzy3QyES83r7uAPiSlGmcWZgaN74wgEUfM0R1l2ak5I=共同的合理性，即主张用发展与辩证的眼光来认识并理解科学. 实践告诉我们，在某个确定的时期内，人类已经掌握的知识体系与科学认知是基本稳定的，这些稳定的知识体系经实践、科学实验与推理论证过；从长远的角度来分析，历史上任何阶段的知识体系并不是绝对的真理，任何知识都存在一些不全面的地方，这是促进科学持续向前发展的原动力.

探究式教学既能帮助学生建构知识结构，又能促使学生大胆猜测、敢于探索，这些都是培养学生创新意识的前提，而且在彰显科学精神的同时还能有效推动学科的发展.

3. “再创造”理论

弗赖登塔尔提出知识的“再创造”是推动教育发展的关键，该理论主张数学学习属于一种实践、掌握与反思的过程，推崇学生为教学的主体［2］. 在该理论的指导下，体现“教辅助学”是教学的立足点，即将教师的灌输转化为学生的自主探索与实践.

“再创造”理念下的数学教学，要求学生根据自身已有的认知经验自主探索教学内容，并在教师适当的点拨下，自主发展数学思维，提升创造意识，建构完整的知识结构. 如创设丰富的情境可调动学生的探究欲，激发学生探究的积极性，并经历猜想、想象、推理、验证、抽象、概括等环节，实现知识的“再创造”，深化学生对知识本质的理解.

下面笔者结合上述教学理论，以“正弦定理和余弦定理”为例，讲述高三数学复习课教学应如何开展.

教学分析

1. 学情分析

本节课的授课对象为高三物化组合的学生，学生有较扎实的知识基础和自主学习能力，运算素养与数据分析能力都不错，大部分学生能综合应用“解三角形”相关知识解决实际问题.

2. 考情分析

“解三角形”是高考重点内容之一，其中正弦定理和余弦定理是解决此类问题的重要定理. 纵观近些年的高考试题，发现解三角形问题主要出现在填空题与解答题中. 以填空题的形式出现，主要考查学生对三角形边角互化的理解程度，这一类题属于小综合题，对学生而言稍有难度；以解答题的形式呈现，意在考查学生对三角恒等变换、正弦定理和余弦定理的综合应用，虽说难度系数不大，但对运算能力与推理能力有较高要求.

3. 教情分析

本节课为高三一轮复习课，其教学重点在于引导学生灵活应用正弦、余弦定理解三角形，其中选择定理与优化求解是教学难点，尤其涉及多解取舍的问题，需要学生能自主辨析. 本节课，若借助探究式教学模式实施教学，不仅能进一步夯实学生的知识基础，还能帮助学生建立良好的解题意识与辨析能力.

教学实施

1. 自测探底

为了充分了解学情，课前教师发放导学案，借机了解学生对正弦、余弦定理的掌握情况. 关注学生在定理变形、证明及应用方面的掌握程度，以更好地认识学生的实际认知水平，为后续教学提供参考.

导学案中的自测题：

（1）已知△ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则A=______.

（2）已知△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC的形状是______.

（3）已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10，则△ABC的面积是______.

2. 探究梳理

第一步 定理的证明回顾.

要求学生回顾正弦、余弦定理的证明方法（多种），展示余弦定理的向量证法，师生互动交流. 一方面提高学生的探究欲，另一方面达到复习提升的效果.

学生展示：因为=-，所以a2=·=（-）（-）=2-2

·

cosA+2=b2-2bccosA+c2.

教师先肯定了学生的证明过程，并提出这种证法简洁明了，体现了向量的工具性，然后要求学生进一步说明此处应用了向量的哪些知识内容促进代数与几何的灵活转化. 学生一致认为是“数量积公式”.

师生共同总结：正弦、余弦定理的向量证明，先构建三角形中的向量等式，再借助数量积运算将向量等式“实数化”，此为用向量解决几何问题的重要途径与方法.

第二步 定理应用的探究.

第一，探究解三角形的类型.

师：如图1所示，这四个三角形应用哪种定理可以求解？

生1：前两个三角形中，第一个已知两个角和一对边，第二个已知两条边和一对角，因此可借助正弦定理求解；后两个三角形中，第一个已知三边，第二个已知两边和一夹角，因此可借助余弦定理求解.

生2：我认为第②个三角形可用余弦定理构建关于c边的一元二次方程求解.

师：很好！想得比较周全，哪位学生能对此做一个小小的总结？

生3：这四个三角形，可用正弦定理求解的有①②两个三角形，可用余弦定理求解的有②③④三个三角形，值得注意的是三角形②可用两种定理求解.

第二，探究边角互化的途径.

师：请大家思考并说一说自测第（3）题的求解思路.

生4：可借助正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB将边统一为角，把问题直接转化成三角问题进行分析.

生5：还可借助余弦定理cosA=，cosB=变形，即把角都转化为边，也是将几何问题转化成代数问题来分析.

教师肯定了学生的两种解题思路，并再次强调边角互化是解三角形最常用的方法.

第三，探究边角关系的规律.

师：哪位学生来说一说，应用正弦定理时需要注意什么？其求解的关键是什么？

生6：用正弦定理解题时需要注意可能有两解的情况，其关键是辨析多解的取舍.

师：解此类题型存在什么窍门吗？

生7：只要关注到“大边所对的角比较大”这一点，在多解的取舍上就能节约很多时间.

师：非常好！接下来我们一起探索一个新问题：已知△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC的值是多少？解决本题的关键是什么？

生8：解决本题的关键是判断角A属于钝角还是锐角. 若角A为钝角，则cosA=-，sinB=，可得cosC=；若角A为锐角，则cosA=，可得cosC= -，因此无法判断角A属于钝角还是锐角.

师：还有其他判定方法吗？

生9：根据cosB=得sinB=，因此sinA<sinB，结合正弦定理得<，也就是a<b，因此角A必然为锐角.

师：非常好！一般情况下，在△ABC中，sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，此为取舍三角形多解的基本规律.

第三步 探究典型例题.

例题 已知△ABC中，a=3，b=2，B=2A.

（1）cosA的值是多少？

（2）c的值是多少？

解 （1）根据题设条件，借助正弦定理得=，所以=，解得cosA=.

（2）方法1（先求sinC，再用正弦定理解题）：根据（1）可知，cosA=，所以sinA==；根据B=2A可知，cosB=2cos2A-1=，因此sinB==. 在△ABC中，sinC=sin（A+B）=，所以c==5.

方法2（先求cosC后，再用余弦定理解题）：略.

方法3（构建关于边c的方程解题）：根据余弦定理a2=b2-2bccosA+c2得c2-8c+15=0，因此c=3或5. 根据（1）可得sinA=<，因此A<45°，B<90°，可知C>45°>A，c>3，所以c=5.

学生通过对题设条件与结论的综合分析，择取了合适的定理解题. 其中，方法3看起来容易，但要排除增解却不那么简单. 关于多解取舍问题的解决，本题除了应用之前强调的“大边所对的角比较大”外，还结合三角函数值对角的范围进行了估算，这也是解决多解取舍问题的常用方法之一.

探究：已知△ABC中的B=2A，则a，b，c三边之间必须满足什么条件？

生10：根据B=2A可知，cosB=2cos2A-1，应用余弦定理把角化为边，即可明确三边必须满足的条件.

生11：根据B=2A可知，sinB=2sinA·cosA，借助正弦或余弦定理把角化为边，有b2c=a（b2+c2-a2）.

师：生10的方法虽然能获得结论，但过程比较繁杂，而且化简时容易出错；生11的方法相对便捷很多. 大家想一想有没有什么办法可化简生10的方法？

生12：通过因式分解可得b2=a2+ac或a=c.

师：若a=c，那么b与a，c之间存在怎样的关系？

生13：若a=c，则△ABC为等腰直角三角形，b2=2a2.

探究至此，学生自主发现a=c这个结论源于b2=a2+ac. 鉴于此，形成结论：在△ABC中，如果B=2A，那么b2=a2+ac. 教师准备就此结束本题的探索，一位学生提出他还有更简便的方法：根据B=2A，可知sin（B-A）=sinA，也就是sinBcosA-cosBsinA=sinA，结合正弦定理，得b·-·a=a，经化简，得b2=a2+ac.

教师充分肯定了这种证法，并强调将B=2A变形为B-A=A是这种解法的大胆之处，它打破了常规解题模式，联用正弦、余弦定理化角为边，值得推广.

第四步 课堂小结.

（略）

几点感悟

1. 回归基础，选准探究起点

高三一轮复习是进一步夯实学生知识基础的过程，在教学设计上应回归教材，带领学生对知识点进行查漏补缺，为后续二轮、三轮复习夯实基础. 值得注意的是，探究起点决定复习教学的成败，起点太低无法激发学生的探索欲，缺乏探究的必要；起点过高使学生无法顺利衔接知识与方法，会挫伤学生的探究信心. 本节课，每一步的探究活动都是基于学生的最近发展区而设置的，既满足学生对知识基础复习的需要，又有效提升学生的推理能力.

2. 注重练习，构建知识体系

复习课与新授课有较大区别. 开展复习课，学生具备一定的认知基础，因此无需像新授课一样“再创造”概念. 精选练习一方面能激活学生的思维，让学生不由自主地回顾旧知；另一方面让学生在解题中自主构建完整的知识体系，并厘清各个知识点之间的联系，完善认知结构［3］. 本节课，以自测的方式来分析学情，并在此基础上精心准备练习，探究过程中师生积极互动，取得了不错的教学成效.

3. 自主探究，发展核心素养

学生是课堂的主人，探究式教学同样需要将学生放在首位. 本节课的复习容量大、时间紧，为了在有限时间内获取最大的效益，教师鼓励学生结合原有的认知结构进行自主探究，必要时通过合作交流攻克难关，有效推进了教学深度，整个课堂充满了生机与活力.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 上海：上海教育出版社，1995.

［3］ 郑毓信，肖伯荣，熊萍. 数学思维与数学方法论［M］. 成都：四川教育出版社，2001.