结构性问题下借助数学实验的概念教学设计

［摘 要］ 结构性问题是联结新旧知识的桥梁，能激发学生的探究欲，并助其形成系统化的知识体系.数学实验直观具体，有利于揭示概念本质. 因此，研究者以结构性问题为导向、数学实验为主线，融合直观与逻辑来设计和探究概念教学.

［关键词］ 结构性问题；数学实验；概念教学；教学设计

引言

概念是思维的细胞，是反映事物本质属性的思维形式. 数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式.数学中的推理、判断、证明等都要建立在正确的数学概念基础之上. 理解数学概念是开展其他一切数学活动的基础，是发展学生数学思维、培养学生数学能力的基石，因此概念教学在中学数学教学中占据重要地位.

一些学生觉得数学学习很困难，往往都是由于他们对概念的理解不够清晰导致的. 与此同时，部分数学教师持有重解题、轻概念的思想，在数学概念教学中，倾向于直接讲授，缺乏对教学关键环节的精心设计. 因此，想要提高中学数学教学质量，广大一线数学教师必须重视对概念教学的设计.

结构性问题

一般认为，在解题过程中，为了实现条件向结论的转化，利用问题的特殊性设计一个新的关系结构系统去实现原问题的解决，这样的问题是一个关系结构，也称为结构性问题［1］.也就是说结构性问题是通过设计新的数学对象使原问题得以转化的一种媒介性问题. 但实际上，在数学教学过程中，结构性问题更像一种教学策略，不局限于解题，只要能够设计得当，在课堂教学的引入环节、新授环节、巩固环节中都可以使用.

高中数学概念数量多、内容杂，再加上抽象性强，学生学习起来会感到困难且枯燥乏味，很难产生自主探究的欲望. 教师要想强化学生的数学理论基础，在概念教学中就需要根据具体的教学内容来设计恰当的结构性问题，创设问题情境，引发学生的学习兴趣. 这样一来，在教师精心创设的问题情境下，学生经由好奇心的驱使，在探究问题的过程中能够深度思考，与同学合作交流，进而深入理解数学概念的核心内涵，并且在此基础上发展数学思维，qfcNSsZSRxxrFt+rprRYGg==培养实事求是的优秀品质.

在数学教学中，教师创设的问题情境，向学生提出的探究性问题，应当具有知识内在的结构性，因为有价值的、合适的初始问题一定不是一个孤零零的问题，它应该与学生已经掌握的、正在或即将学习的数学知识及其组织活动“血肉相连”，具有深刻的背景（例如蕴含着丰富的数学方法、数学观念与数学思想等），能揭示新旧知识之间的联系，以及新数学知识从旧数学知识产生的清晰的脉络等内容［2］. 因此，教师要基于学生原有的认知结构来设计问题.通过巧妙的设计将一个新的概念转化为一个可以在原来知识基础上继续探讨的问题，帮助学生把即将学习的抽象的概念转变为需要解决的问题，便于学生在解决问题的过程中体会学习新概念的必要性.

数学实验

数学实验是为了建构数学概念、验证数学猜想、获得数学结论、探索数学规律、解决数学问题，借助实物和工具，对实验素材进行“数学化”操作的一种学习方式［3］.

由于概念在反映某类事物或对象时，已经不再是反映它们的表面现象，而是反映它们所特有的本质属性，具有很强的抽象性，因此学生对数学概念的掌握不是一蹴而就的事情，需要经历一个由感性到理性的循环往复的过程. 在这个过程中，学生需要不断深入探索，不断消化吸收，才能将概念内化. 因此，在概念教学中，教师要注重教学环节的设计，循序渐进地引导学生经历概念生成的过程，经历将感性知识抽象为理性知识的过程，从中感悟概念的本质. 只有当学生能深度吸收数学概念时，数学概念才能真正被学生所掌握.

荷兰数学家弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生把要学的东西亲自去发现或创造出来. 学生在教师的引导下进行数学实验，发现结论，生成概念，就是一个“再创造”的过程. 学生在实验操作的过程中建构概念，能够获得直观的经验，深化对概念的理解，发展创造性思维能力. 数学实验也让学生有了更多的学习自由、更大的探索空间，使数学学习变得生动.

基于数学概念建构的渐进性特点，教师可通过优化数学实验操作方式和操作时机，给学生创造深度消化、吸收与运用概念的机会，让数学实验在促进数学概念理解的基础上，给学生运用数学概念进行创造性学习提供方法，让数学概念建构指向数学实践应用. 这样一来，在教师优化的数学实验下，能有效改变学生学习概念的方式，学生亲身经历实验过程，就能够在实践中体会和感悟概念的生成. 在不知不觉中，学生学习概念的过程从“机械听讲”向“主动探究”转变，学生的主体意识获得了增强，思维能力也得到了提升.

结构性问题与数学实验的结合

概念教学由结构性问题出发，把教学内容巧妙地隐含在解决问题的过程中. 秉持教师为主导、学生为主体的教学理念，引导学生主动思考，认真观察，合作交流，最终不仅使学生在问题解决中获得新知识，还培养学生的自主学习能力. 为了使学生能够更好地解决问题，对结构性问题解答过程的设计要尽可能直观，对象应是学生熟悉的，这样才能够将难以入手的问题转化为熟悉的问题.而数学实验正是直观表征数学问题的手段. 若教师能够将结构性问题和数学实验有机结合起来，应用到概念教学中，则能够达到双重效果，使学生更好地理解概念的本质，让概念教学“活”起来. 下面笔者以高中“弧度制”的概念教学为例，来说明结构性问题与数学实验的结合对于概念教学的意义所在.具体设计如下：

1. 问题导入

师：在初中我们是如何度量角的大小的呢？1度的角是怎样定义的呢？

生1：用“度”来度量角，也就是我们学习的角度制. 把一个圆周360等分，每一份就是1度的角.

师：同学们还记得角单位的进制是多少吗？

生2：角的度、分、秒是六十进制的，如1°=60′.

师：非常正确. 我们在数学中常见的长度单位的进制是多少呢？

生3：常见的长度单位有米、分米、厘米，长度单位是十进制的，如1 m=10 dm，1 dm=10 cm.

师：非常正确. 之前我们学过特殊角（如30°，60°）的三角函数值，都知道sin30°=. 在这个式子中，30°以度为单位，是六十进制的，而是十进制的实数，它们的进制不同，我们应当如何统一进制呢？

设计意图 弧度制是一个抽象的、陌生的数学概念，学生很难理解透彻.在教学中，教师引导学生回忆初中所学的单位制，以及特殊角的三角函数值，根据sin30°=提出如何统一进制这一问题，促使学生产生认知冲突. 这样的数学情境问题，不但能够帮助学生复习巩固先前所学的知识，建立起知识间的联系，而且能够引导学生依据问题进行思考，激发学生对新知识的学习兴趣，驱动学生主动去探寻新知识.

生4：那我们能不能用十进制的单位制来度量角或者用六十进制的单位制来度量长度呢？

师：好，接下来我们一起探究.

2. 动手实验

师：老师让大家在课前准备了一个有30°角的三角形，以及圆规、直尺和若干细线，现在我们一起来做一个实验活动：用这些工具画出一个弧长所对的圆心角为30°的扇形.

（学生用尺规作图）

师：老师选择了两位同学所作的图呈现在大屏幕上（见图1和图2），同学们仔细观察这两位同学所作的图，能发现它们的共同特点吗？

生4：扇形中弧长所对的圆心角都是30°.

师：我们现在思考一个问题：在上述两图中能否找到与30°的圆心角相关的进制为十的量呢？

生5：由于长度单位是十进制的，因此我们可以测量图中扇形的两半径和一条弧的长度.

师：我们如何测量它们的长度呢？

生6：用直尺可以测量.

师：用直尺能够测量圆心角所对圆弧的长度吗？

生7（抢着回答）：不能，但是可以用细线将圆弧围绕起来，再用直尺测量细线的长度就能得到弧长.

师：非常不错，生7对“化曲为直”思想领悟得很好.接下来请大家动手操作一下，将自己所得到的数据记录下来，填入下表（表1）.

师：观察表（表1）中的几组数据，我们能否用弧长来度量一个角的大小？（由于每一个学生选取的半径不同，因此所画的圆弧也会出现大小不同的情况.）

生8：不能，因为同一个角所对应的弧长可能不同.

师：我们得到的数据中，除了弧长不同外，还有什么不同呢？

生9：半径也不同，而且我发现半径长的弧更长.

生10：老师，我猜想半径与弧长应该有某种关系.

师：很好，现在请同学们仔细想一想，结合角度、半径还有弧长，大家可以联想到我们学过的哪个知识点呢？

生11：弧长公式l=. 如果我们把变量移到同一边，可得=.

生12：当n=30时，=，也就是30°.

师：那这说明什么呢？

生13：弧长与半径的比值可以用来度量角的大小.

师：用我们得到的数据计算一下，看看结果如何.

生14：结果基本相符，弧长与半径的比值趋近于定值.

师：是的，我们通过观察分析，发现当角度固定时，弧长与半径的比值是一定的，因此可以用弧长与半径的比值来度量角的大小，这就是我们这节课学习的另一种度量角的单位制——弧度制.

3. 生成概念

用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

师：我们之前学习了1度角的概念，1弧度的角又该如何定义呢？

（学生思维中断）

师：我们再来看生11经弧长公式变形得到的式子=.大家能不能用这个式子来说明1弧度的角是怎样的？

生15：当l等于r时，l与r的比值为1，这时圆弧所对的圆心角就是1弧度的角.

师：非常好，现在我们就得到了1弧度的角的概念：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做“1弧度的角”.

评析 本节课是高中弧度制的概念课，教师首先提出一个合适的结构性问题，引导学生回忆初中所学的角度制以及特殊角的三角函数值，利用角单位与长度单位的进制的不同，引发学生思考如何统一进制，进而明晰引入弧度制这一概念的价值. 在后续对于结构性问题的探究过程中，教师又设计了一个实践活动，以数学实验的模式，引导学生动手操作，主动探索，由感性认识上升到理性认识，亲身体验弧度制概念的形成过程. 这样的教学设计，符合建构主义的学习观——学习是学生主动参与并建构数学知识的过程. 当学生经历弧度制概念的整个建构过程后，不但能够从真正意义上理解弧度制概念的本质，做到知其然且知其所以然，还能够培养善于思考的学习习惯以及解决问题的能力.

教学启示

（1）教师在设计概念教学时，不应拘泥于某一课时的知识点，要着眼于教材、学生认知结构的发展轨迹，寻找概念教学的立足点. 教师要能够提出与新知识密切相关且符合学生实际情況的问题，激发学生的好奇心和探究欲，引导学生在问题的驱动下不断深入探索，始终以思考的状态进行学习，使课堂活动能有条不紊地推进.

（2）教师既要重视设计概念教学，又要注意设计教学内容应该深入浅出，符合学生的认知规律. 教师要善于将数学实验融入教学环节中，为学生呈现充分的感性知识，进而实现感性知识向理性知识的转化，使学生更加深刻地理解概念，达到教学目的.

（3）始终秉持“教师为主导、学生为主体”的教学理念. 加强课堂上师生、生生之间的互动，引导学生积极思考问题，大胆阐述自己的观点；培养学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神. 在传授知识的同时注意培养学生的数学思维，丰富学生的数学思想，落实数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 宋家楷. 设计结构性问题，打开学生思维阀门［J］. 教育观察，2020，9（31）：131-133.

［2］ 张昆. 数学教学中设计“初始问题”研究——透过确定“合适根据地”的视点［J］.内江师范学院学报，2020，35（06）：18-23.

［3］ 刘德宏，刘倩饴. 数学实验：数学学习的一种重要方式［J］. 基础教育课程，2022（14）：43-49.