经历知识生成 发展核心素养

［摘 要］ 让知识在课堂中自然生成是发展学生数学学科核心素养的基础，教师的精心设计与细节处理则决定着知识是否能自然生成. “双曲线的方程”是高中阶段的重要内容之一，对夯实学生的知识基础，促进学生学力发展具有重要价值. 因此，研究者从“创设情境，提炼概念”“活动探索，构建结构”“建立模型，深化应用”“深度学习，感悟提升”等方面展开教学活动设计，并有针对性地谈几点思考.

［关键词］ 知识生成；数学学科核心素养；双曲线

随着新课改的深入推进，以数学学科核心素养为导向的教学模式受到广大教育工作者的认可，不少教师也对此展开了大量实践与研究. 探索发现，关注知识形成的过程，不仅能让学生对知识内容做到“知其然且知其所以然”，还能有效发展学生的数学思维，激发学生的数学潜能，提升学生的数学学科核心素养. 课堂是师生双边积极互动与交流的场所，也是促进教学相长的阵地. 教师作为课堂的组织者与引导者，需要充分了解学情，引导学生亲历知识生成的过程，从真正意义上提升学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养. 本文以“双曲线的方程”教学为例，谈谈具体如何操作.

教学分析

1. 教学内容分析

双曲线是继椭圆之后的又一曲线，学生在本节课之前已经学习过圆和椭圆的相关内容. 双曲线是在圆和椭圆基础上建构的又一新知，学生通过知识的类比与学习方法的迁移，想要掌握本节课的内容，难度并不大. 基于以上分析，可见本节课除了能夯实学生基础知识与基本技能外，还能提升学生的数学能力.

2. 学生情况分析

从学生的实际认知水平来看，处于该阶段的学生已经具备良好的学习能力，能在自身已有的知识结构上通过类比迁移探索新知. 因此，教学本节课的关键在于由教师引导学生掌握知识规律特点，亲历知识形成与发展的过程，以增强学生数学抽象、数学运算与逻辑推理等能力，这些都是提升学生数学学科核心素养的基础.

3. 教学目标分析

从教学内容特点与学生学情分析来看，本节课除了要教会学生掌握双曲线的定义、标准方程等核心知识外，还要引导学生亲历知识形成的过程，从双曲线的标准方程的推导过程中探索其他更多问题，并不断提升学生的数学审美观，实现五育并举.

教学实践与分析

1. 创设情境，提炼概念

情境1 用多媒体展示图1，引导学生欣赏这些美图，发现本节课即将探索的几何图形——双曲线.

情境2 某市有三个监测站分别为A，B，C，已知B处于A的正西方向，AB=10 km，C处于B的北偏西30°方向，BC=6 km，监测站的监测对象为M站. 若A在某一时刻接收到M传递来的信号，过了6秒B与C同时接收到这一信号，这一信号的传播速度为1 km/s，则M站的具体位置在哪里？

学生看到情境2，第一反应就是画图探索，即以AB为横轴，其中点为原点建系，根据题设条件探寻M站的具体位置，并思考当MB-MA恒为一个数的情况下，M站的轨迹是怎样的.

设计意图 虽说高中生具备一定的逻辑推理能力，但在实际应用时，依然会习惯性地结合形象思维去分析问题. 因此，带领学生从具体情境着手思考问题，可成功驱动学生的探索欲，为教学奠定基础. 学生从具体情境中抽象问题的本质，并以数学语言去归纳总结问题，能有效提升自身的逻辑推理与数学抽象素养.

情境1不仅陶冶了学生的审美情操，还让学生学会了从不同物品中提炼相同点，为揭露双曲线这一数学内容打下基础，促使学生带着兴趣进入学习状态；情境2则让学生在虚拟的情境中充分发挥想象，将抽象的文字不断形象化，为本节课的教学探索奠定了基础，对发展学生的空间想象与抽象素养具有重要意义.

2. 活动探索，构建结构

教学活动的开展可增强学生的探索热情，让学生全身心地投身于新知的建构中来. 本节课，结合知识特点与学情需要，笔者设计了如下探究活动.

活动1 折纸探索.

课前为各学习小组准备好A4纸. 如图2所示，在纸张上随意确定两点F，F，以点F为圆心，小于FF的长度为半径作圆. 在作出的圆F上任取一点P，折叠纸张，使点P与F重叠，用铅笔将折痕l画出来，与PF相交于点M；再随机选择点P，P，…，折叠PF，PF，PF，…，将折痕l，l，l，…画出来，与PF，PF，PF，…相交于点M，M，M，…. 重复上述操作，大量交点构成了一条曲线. 当学生自主操作完成后，教师带领学生在几何画板上演示上述操作，让学生更直观地看到曲线的形状（如图3所示）.

师：通过以上折叠操作，是否都能获得一个双曲线图形？

在这个问题的启迪下，学生经合作交流，发现：①若FF=

F

P-FP，交点M的轨迹为两条射线；②若FF<

F

P-FP，不存在交点轨迹. 双曲线的定义在活动探索中自然生成.

设计意图 折纸活动的开展，使学生对双曲线的定义有了具体形象的认识. 同时，几何画板的应用，又深化了学生对折纸活动和抽象的双曲线的理解，促进学生抽象素养的发展. 学生在此过程中化被动为主动，不断增加探索热情，提炼数学思想方法，获得了良好的数学抽象能力与数学建模能力.

活动2 问题思考.

师：通过以上探索可见双曲线和椭圆之间存在着相似性，大家能根据认知经验，借助类比迁移法自主获得双曲线的标准方程吗？

在这个问题的点拨下，学生主要从以下几个环节着手分析：①将直线FF作为x轴，线段FF的中点作为原点建立平面直角坐标系；②假设点M（x，y）是位于双曲线上的任意点；③列式

FM -

FM =2a；④将点M（x，y）代入

FM -

FM =2a，得

-

=2a；⑤化简式子. 简而言之，即经历建系、设点、列式与化简的过程，获得双曲线的标准方程.

设计意图 引导学生基于自身原有认知经验来探索问题，即将探索椭圆方程的思路迁移到双曲线的探索中，有效提升学生的类比分析能力，增强学生知识与方法的正迁移能力，培养学生的转化能力与推理能力.

3. 建立模型，深化应用

例1 化简方程：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

学生经交流，认为可从椭圆和双曲线的定义出发去化简：因为2c>2a>0，所以c2-a2>0. 令b2=c2-a2（b>0），代入（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）得-=1（a>0，b>0）.

设计意图 公式当然是越简洁越好，标准方程的推导，同样需要遵循简洁的原则. 若学生得到的结论比较烦琐，就需要想办法去优化它，此为推动逻辑推理素养与数据分析能力发展的重要途径.

例2 下列各双曲线的焦点坐标及a，b，c的值分别是什么？

①-=1；②-=1；③4x2-9y2=-36；④4x2-9y2=36.

对于这个问题，学生一致认为只要将待求方程转化为标准方程，结论就能自然而然地生成了.

例3 怎样从双曲线的方程来分析其焦点位于哪根轴？

对于这个问题，学生同样认为需要将待求方程转化为标准方程后进行判断，即系数为正数的情况下，变量所对应的坐标轴就是焦点所处的那根轴.

例4 若双曲线的标准方程是+=1，其焦点在x轴上，则实数m的取值范围是什么？

求解这个问题后，要求学生提出新问题.

设计意图 设计上述几道例题，一方面考查学生对双曲线标准方程的理解与应用情况，另一方面促使学生感知数形结合思想的重要性，进一步提炼数学思维，为提高解题效率做铺垫. 在课堂教学设计时，教师要充分考虑自身的示范作用与导向性，根据学情与教情择取恰当的教学方式以提升学生的解题能力. 例如，最后一个问题就是基于学生获得双曲线的定义而设计的，此为丰富学生学习经验与提升学生学习能力的重要举措.

4. 深度学习，感悟提升

师：说说你在本节课中的收获与感悟.

设计意图 开放性问题促使学生从自身认知习惯出发，基于课堂学习情况，通过总结与提炼，逐层深化对知识的理解，并在类比分析过程中感悟数学思想方法，完善认知结构，发展核心素养.

思考与感悟

1. 五育并举，让课堂充满活力

良好的审美观能带给学生正能量，让学生对自己、他人与社会时刻保持积极的态度，为创新意识的形成与发展奠定基础. 本节课，笔者从学生的认知规律出发，借助丰富的情境启发学生的智力，让学生通过情境的探索获得用数学眼光观察现实世界和用数学思维思考现实世界的能力. 探究活动中的折纸环节，一方面提升学生动手动脑的能力，另一方面让学生在“做中学”中获得良好的操作技能. 整个课堂因探索而充满了生机与活力，学生的德育、智育、美育、劳育等也得到了有效发展，因此这是一节成功的课堂，从真正意义上实现了五育并举.

2. 问题引领，让知识自然生成

数学家哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”，数学课堂就是由一个个问题堆砌而来的. 学生在由浅入深的问题的引领下不断深化思维，深刻理解所学内容，并随着对问题探索的深入而提升各项学力. 正如张奠宙教授所言：知识有科学与教育两种形态，即发生与呈现形式. 问题的应用可将知识的发生形式展示在学生面前，学生通过对问题的探索，获得用数学眼光观察事物与用数学思维思考事物的能力. 想要让学生亲历知识形成的过程，就要想办法将教学内容转化为一系列具有探究价值的问题，以启发学生的思维，让问题推动课堂的发展. 如本节课，笔者结合学情与知识特点设计了一系列处于学生思维最近发展区的问题，成功激活了学生的探索欲，使学生在主动观察、总结提炼中明确什么是双曲线，为后续的灵活应用夯实了基础.

3. 教育信息化，促进学力发展

虽说实操活动能增强学生的切身体验，让学生对知识的来龙去脉产生明确认识，但手工操作的局限性比较大，如折纸操作的次数就受到很大限制，这给学生观察一些数学现象带来了弊端. 信息技术的介入则能化解这一矛盾. 在教育信息化飞速发展的当下，有很多实操活动都可以结合信息技术进行. 实操与信息技术的融合，将数学现象刻画得更加清晰，给学生的深刻理解带来了便利. 如本节课的折纸活动，在几何画板的加持下，双曲线的形成过程非常直观、清晰. 学生通过实操与几何画板的应用，对双曲线的理解更加深刻. 因此，实际操作与信息技术的深度融合是提升学生学力的重要举措，也是发展学生数学学科核心素养的重要方法.

总之，引导学生经历知识生成的过程，首先要做好教学分析，在对教学内容、学情与教学目标有明确认识的基础上设计教学方案，并在各个环节中精心设计问题，以逐层推进学生思维的发展，让学生在自主观察与主动分析中学会“三会”，提升“四能”，培养数学学科核心素养.