基于构造法的高中数学解题思路探析

2024-07-03林宝金

数理化解题研究·综合版 2024年5期

林宝金

摘要：数学是一门基础学科，也是一门应用学科.在高中阶段，数学的学习不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力.在高中数学解题中，构造法是一种常用的解题方法.构造法能够帮助学生直观地理解问题，使问题更加具体化，化繁为简，从而找到解决问题的方法.本文将结合具体的例题，阐述构造法在高中数学解题中的具体运用，旨在提高学生对构造法的掌握程度.

关键词：高中数学；构造法；解题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）15-0044-03

高中数学试题往往涉及复杂的概念、抽象的符号和繁琐的计算，需要学生具备扎实的数学基础、灵活运用数学知识的能力以及良好的逻辑思维能力.然而，对于一些复杂的问题，传统的解题方法可能不够有效.构造法的运用，通常可以起到化繁为简的效果，运用构造法来解决高中数学试题成为一种可行的选择.

1 构造法

构造法是通过分析和观察数学问题中已知条件与所求结论之间的关系、特征和性质，灵活运用问题的结构特征，利用已有的数学知识构造出一个新的可以满足试题条件的数学模型.该新模型可以帮助我们以高效、简便的方式解决复杂的数学问题[1].构造法的核心思想是构造出一个满足条件的模型，然后通过对该模型的分析，找到解决问题的方法.在运用构造法时有两个关键点，一是要明确构造模型的目的，即为了什么而构造；二是要弄清楚问题的特点，以便根据特征明确方案，实现构造.

2 构造法的解题思路

构造法的本质是逆向思维.在解题时，学生需要先从问题的目标出发，通过分析问题的要求和限制，逆向推导出问题所需的模型.构造法的解题思路可以概括为以下几个步骤：（1）分析问题，明确要求.我们需要仔细阅读题目，理解问题的要求和条件.通过分析题目中所给的信息，明确需要构造的内容或达到的目标.（2）构造合适的模型.在明确问题要求后，我们需要构造一个合适的模型，以便更好地理解问题，并能够通过观察和操作进行推理和分析.这个模型可以是函数形式、数列形式、向量形式或者其他形式的表达方式，根据题目的结构特征选择最合适的构造方法.（3）探索规律，找出特殊情况.通过观察所构造的模型，我们可以开始探索其中的规律.（4）推广规律，得出结论.在找出一些规律后，我们需要进行推广，即将所发现的规律应用到一般情况中.通过推广规律，我们可以得出结论或者解决问题.该步骤需要运用到数学的推理和证明方法，确保所得的结论是正确的.

3 构造法在数学中的实际应用

3.1 构造函数

构造函数是高考数学中的一个重要考点，这类试题具有技巧性高、结构独特、综合性强等特点，在客观题和解答题中均有出现.通过已知等式或不等式的结构特征，构造出新的函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题[2].

3.1.1 导数型构造函数

例1 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf ′（x）-f（x）x2>0，且f（-2）＝0，则不等式f（x）x>0的解集是（）.

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

解析 ∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x>0时，xf ′（x）-f（x）x2>0，

令F（x）＝f（x）x，则F′（x）>0，

∴F（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，且为奇函数，

∵f（-2）＝f（2）＝0，

∴当x>0时，F（2）＝0，若使不等式F（x）>0成立，则x>2；当x<0时，F（-2）＝0，若使不等式F（x）>0成立，则-2

综上，不等式f（x）x>0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）.答案为C.

拓展构造的关键在于通过函数的导数形式，推测出函数表达式.常见的构造方式有：

出现nf（x）+xf ′（x）形式，可以构造函数F（x）＝xnf（x）；

出现xf ′（x）-nf（x）形式，可以构造函数Fx=f（x）xn.

3.1.2 利用f（x）与三角函数构造

例2 已知函数y＝f（x）对于任意的x∈

（-π2，π2）满足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0（其中f ′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）.

A．f0>2f（π4） B.2f（-π3）>（-π4）

C.2f（π3）> f（π4）D．f（0）>2f（π3）

解析设F（x）＝f（x）cosx，则F′（x）＝f ′xcosx-fxsinxcos2x＞0，则F（x）在（-π2，π2）上单调递增.A选项，f0>2f（π4），可以构造为f0cos0＞f（π4）π4.因为0＜π4，F（x）在（-π2，π2）上单调递增，所以A选项错误；B选项，2f（-π3）>f（-π4），可以构造为f-π3cos-π3＞f（-π4）cos-π4，因为-π3＜-π4，F（x）在（-π2，π2）上单调递增，B选项错误；C选项，2f（π3）> f（π4），可以构造为fπ3cosπ3＞f（π4）cosπ4，因为π3＞π4，F（x）在（-π2，π2）上单调递增，C选项正确； D选项，f（0）>2f（π3），可以构造为f0cos0＞f（π3）π3，同理分析出，D错误.

拓展 f（x）与三角函数构造函数本质上属于导数型构造函数，关键也在于通过导数形式推测出原有的函数.函数f（x）与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式，如表1.

3.1.3 同构法构造函数

当一个式子左右两边的结构完全一样，我们可以把它们看成某个函数的两个函数值，此即为同构法构造函数.该方法在处理指对混合的不等式时经常使用，但对构造能力与观察能力要求较高，需要长期的积累.

例3 设m>0，n>0，若lnm-en-1＝lnn-em，其中e是自然对数的底数，则（）.

A．m>n B．m

解析通过对题目中的等式进行观察，可以构造出lnm+em-1=lnn+en，该式子左右两边结构一致，可以利用同构法构建新函数.令f（x）=lnx+ex，因为y=lnx，y=ex均为（0，+∞）上的增函数，故f（x）=lnx+ex为0，+∞上的增函数.由lnm+em-1＝lnn+en可得，lnm+em＞lnn+en，因此m＞n.

拓展同构法常用于指对同构中.经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数，另一种是将x变成elnx然后构造函数.

3.2 构造数列

构造数列是构造法的又一种常见应用.在解决数列问题时，可以通过构造一个满足条件的数列来解决问题.数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.

3.2.1 形如an+1=pan+f（n）型

例4 数列{an}满足an=4an-1+3（n≥2）且a1＝0，则a2 024等于（）.

A．22 023-1 B．42 023-1 C．22 023+1 D．42 023+1

解析因为an=4an-1+3（n≥2），

所以an+1=4（an-1+1）（n≥2），所以{an+1}是以1为首项，4为公比的等比数列，

则an+1=4n-1.所以an=4n-1-1，则a2 024=42 023-1.

拓展常见数列的构造方法，如表2.

3.2.2 相邻项的和为特殊数列（形如an+1=pan+qan-1）

例5 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an-1（n≥2，n∈N*）．则数列{an}的通项公式为an=.