经历探索过程 发现数学规律

[摘  要] 从广义上说，数学本质上是探索规律的一门科学。对小学生而言，学习数学就是经历探索规律的过程和掌握探索规律的初步方法。文章以“表面涂色的正方体”一课的教学为例，谈谈如何多角度地引导学生经历探索规律过程，发现数学规律，积累活动经验。

[关键词] 探索规律;经历过程;积累经验

探索规律是数与代数领域教学的重要组成部分，其内容广泛存在于小学数学各阶段的各种课型中，如新授课、练习课、专题课等。探索规律作为一种贯穿整个数学教学的长线，存在数学学习的各个阶段、各个方面，要求学生能够探索给定情景中隐含的规律以及变化趋势。

苏教版教材从三年级上册开始逐步安排探索规律的专题活动，引导学生经历由特殊到一般、具体到抽象的归纳过程，获得发现和表达规律的经验，初步感悟推理、归纳等数学思想方法，体会数学知识的严谨结构，培养用数学语言表达的能力。

“表面涂色的正方体”是一节典型的规律探索类课型，教师要引导学生经历操作、观察、想象、归纳等过程，探索表面涂有颜色的小正方体的各种情况以及其中隐含的规律，并尝试用含有字母的式子表达规律。因其操作情况复杂、观察角度多元，对学生的空间想象能力提出了更高的要求，因此教学难度较大。笔者以“表面涂色的正方体”一课为例，具体阐述如何多角度引导学生经历探索的过程，从而发现规律和表征规律。

一、自定学材，暴露学情

课堂中使用的学材，更多时候是由教师准备的，这无疑是正确的。因为教师准备的学材往往具有简捷、易操作等特点，可以让学生的操作更具有指向性，能够节约课堂的时间，但存在忽视学生的生活经验、知识起点、操作需要等问题。基于此，学材的选择可以交给学生，让学生根据自身的生活经验和思维经验，自主选定学材。

“表面涂色的正方体”一课用什么材料上课，一直是教师头疼的问题。为了发挥学生的主动性和积极性，笔者将这个问题抛给学生。课前，笔者在班级提出这样的要求：“在一个较大的正方体的6个面都涂上颜色，如果把这个正方体切成若干个同样的小正方体，切成的小正方体藏着什么样的秘密，这是我们下节课要研究的内容。请大家准备学具。”要求一提出，学生立刻“炸开了锅”：“要切什么”“怎么切”的议论声此起彼伏。其实，这不仅是学生关心的现实问题，更是这节课能否顺利开展的前提。经过商讨，学生选定三种学材，分别是橡皮泥、若干白色小正方体、不同阶数的魔方，其中橡皮泥和魔方由学生自行准备，若干白色小正方体由教师提供，因为以前学习体积时，学生操作过大量的此类学具。

仔细分析学生的材料会发现，学生想象中的“切”是不同的，也代表着不同的想象力：橡皮泥可切可数，选择这类学具的学生，更想依赖切和数的操作过程，想直观地研究新问题;选择白色小正方体的学生，明白“切”和“拼”这两个看似不同的操作有一致性;选择魔方的学生，相信已经由面及体、由外及里地展开了想象。

因此，材料的选择，除了在形式上让学生亲自经历了选择材料的过程，还让学生有机会暴露自己的思维起点和操作起点，使接下来的操作能在学生可掌控的范围内进行，生成真操作、真经验。

二、设疑引思，提出问题

1. 设疑：教师提出来的疑问

“表面涂色的正方体”一课与生活联系得并不紧密，学生几乎没有直接的生活经验，对于要探索的规律也是陌生的。因此，教师要先帮助学生理解什么是“表面涂色的正方体”、小正方体是指什么。笔者希望学生能够亲手切一切、拆一拆，通过操作、观察，思考以下几个问题：

（1）将棱平均分成几份，可以得到几个小正方体？

（2）涂色的小正方体分几种情况，什么原因导致了涂色的情况不同？

（3）3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色各有几个？请记录下来。

2. 引思：学生做出来的疑问

课始，笔者要求学生用自己带来的学具，将大正方体切成若干小正方体。其中，有3名学生将每条棱平均分成2份，得到了4个小正方体（他们的学材都是橡皮泥）;14名学生将每条棱平均分成3份，得到了27个小正方体（其中2名学生用的是橡皮泥，12名学生用的是白色小方块）;1名学生将每条棱平均分成4份，得到了64个小正方体（由白色小方块拼搭涂色后，再拆开）。

学生在这个操作的过程中，衍生出两个新的问题：

（1）为什么明明是切大正方体，有的同学用先搭后拆的学具，也能达到目的？

（2）对比橡皮类的学具和小方块类的学具，你更喜欢哪一种？为什么？

玩橡皮泥的学生感受到“切正方体”和“先想好要切的份数，然后拼出相应的大正方体，再拆开”也可以达到同样的目的，并且学生亲自体验了将橡皮泥切成很多份的“难”，更能理解选择学具不能想得太“简单”。这样的体验，相比教师直接给定学具或者用课件演示，何尝不是帮助学生积累活动经验的一部分呢？

3. 再设疑：不想麻烦，唯有找规律

“现有的操作只达到了将棱平均分成4份的情况，那接着怎么办呢？”一个学生很“冲动”地回答：“我们可以把小方块集中起来，拼更大的正方形！”之所以说他很“冲动”，因为他的话并没有引起其他学生的共鸣，反而其他人一致认为：“那多麻烦啊，是有规律的！”

没有什么比学生自己提出问题更能激发其继续探索的欲望。因此，在探索规律的过程中，教师不要急于抛出所有需要解决的问题或者需要探索的规律，要给学生一些思考的方向，给学生一些实践的空间，一旦学生产生新的想法或问题，探索就将按照学生思维的生长点继续前进。

三、观察想象，走向规律

1. 以观察现象为基础发挥想象

基于真实的操作，学生很快发现，实物操作只能解决简单的问题，如果将棱平均分成更多份，需要先找出规律。那从何找起呢？笔者认为，找规律得从观察现象开始。课堂上，笔者找了一个把棱平均分成3份的学生，请他汇报是怎么数的。该生带着一堆已经拆好的小方块，分别数了3面涂色、2面涂色和1面涂色的数量，并不能很好地体现各类涂色正方体的特点。这时笔者并没有急于纠正学生，而是给学生反思的机会，提出疑问：“你想让我们观察什么？”在交流的时候，学生不仅要表达出表象的东西，还要想办法将过程呈现出来，因为操作的过程中往往蕴含了很多需要思考的东西。

该生很机智地拿起一个同学的3阶魔方，边指边说：“3面涂色的正方体都在角落，有8个;2面涂色的正方体都在这儿（指向棱），一共有12个;1面涂色的正方体都在面上，一共有6个。”

动态的观察，精彩的表达！笔者继续引导：“结合你们自己的操作以及他的汇报，你们有什么体会？”学生从自身的操作经验以及他人的操作经验中，很快得出两点共识：

一是3面涂色的都在顶点处，共8个;2面涂色的都在棱上，数出1条棱上的方块个数，再乘12;1面涂色的都在面上，数出1个面上的方块个数，再乘6。

二是可以不用真的切开，借助魔方想象，就可以继续研究更多图形。

2. 有序思考，发现规律

经过上一个环节的汇报和交流，学生意识到无论是观察还是想象，都需要有序进行。在此基础上，笔者引导学生继续观察4阶魔方，想象5阶魔方，直至更多阶魔方，学生得出初步结论：

①3面涂色的个数都是8，因为都在顶点上;

②2面涂色的个数都是12的倍数，因为都在棱上;

③1面涂色的个数都是6的倍数，因为都在面上。

在教学中，教师仅仅停留在这一步还不够，学生的思考还可以继续前进：“每条棱上的个数和每个面上的个数只能数出来吗？”在思维的关键处，这样的提问是一种思维的延伸，也是规律的完善。学生亲历探索规律的过程，借助具体实物和数据能够概括出个数与棱被平均分的份数之间的关系。

四、归纳发现，表达规律

探究进行到这里，学生从不同学材聚焦到魔方实物，经历从切、拼、拆、数到想象、运算等过程，从而类推出规律。在概括规律时，因为能力有差异，学生采用的方式有所区别：一部分学生依然借助魔方来表达，一部分学生用文字表达出规律。这两种表达都是正确的，是基于学生真实的探索经验总结而来。

在此基础上，笔者引导学生继续往前走一步——用数学语言来概括规律。从复杂的文字到简洁的语言，教师要给学生搭建一个“脚手架”。于是，笔者将应用规律和表达规律结合起来，激发学生：“如果将涂色大正方体的每条棱平均分成10份，3面、2面、1面涂色小正方体分别有多少个？”学生很快能根据之前概括的规律算出结果，并能通过3阶魔方假想10阶魔方，具体解释是如何列式计算的。最后，笔者继续引导：“再大一点，如果将涂色大正方体的每条棱平均分成n份，你能分别表示出3面、2面、1面涂色小正方体的个数吗？”

五、回顾反思，积累经验

其实研究到这里，探索表面涂色的正方体个数的规律并没有完全结束。由于时间关系，笔者无法开展进一步探索。因此，笔者将这个问题留作学生课后的探索任务。之所以敢交给学生课后探索，是因为本节课学生经历了整个探索规律的过程，积累了操作观察、发现归纳、语言表达等活动经验，能将这些经验迁移至课后的研究中。为了让学生对在课堂中学到的活动经验有一个更清晰的认识，在课的结尾处笔者和学生一起回顾本节课的探索过程。

规律的呈现都是表面的，但数学的本质是高度抽象的。“探索规律”从现象出发，将其抽象成数学模型，并用数学语言表达出来。在此过程中，教师要多角度地激发学生的迁移能力、推理能力等，引导学生经历科学的、完整的、系统的探索过程，发现规律、表达规律，感受规律的概括不是一个问题，而是一类问题。学生习得的规律既是某一结果性的知识点，还是一套可适用于其他领域学习的科学探索路径。这样的探究经验能打开学生的学习视野，拓展学生的学习场域。

参考文献：

[1] 刘晓玫. 让学生想象在彩色的空间里[J]. 小学数学教师，2019（04）：31-32.

[2] 刘晓萍，曹志国. 对“探索规律”教学的叩问——以“钉子板上的多边形”教学为例[J]. 小学数学教育，2018（08）：3.

作者简介：孟佳燕（1990—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学与研究工作。