高中数学解题中化归转化思想的妙用

刘二雄

摘 要：论述了高中数学解题中化归转化思想的运用意义，并结合具体解题案例，探究了高中数学解题中化归转化思想的巧妙运用.

关键词：高中；数学解题；化归转化思想

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0074-03

新时期的高中数学解题继承了以数学思想方法为基础的理念.化归转化思想是高中数学解题中不可替代的思想，贯穿了未知向已知转化、多元向一元转化、数字与图形的转化过程.将化归转化思想应用到高中数学解题中，可以促进高中数学解题效果的优化.因此，探索高中数学解题中化归转化思想的巧妙运用具有非常重要的意义.

1 高中数学解题中化归转化思想的运用意义

1.1 全面渗透数学思想方法

化归转化思想是以获得原问题的答案为目标，借助特定转化手段，将待解决问题归结为另外一个解决难度较小或者已解决的问题.化归转化思想是众多数学思想方法的统领，包括数形结合思想、函数与方程思想、构造法、反证法、分类讨论思想等.化归转化思想不仅仅具有普遍指导意义，而且可以统筹多数数学研究策略，如高次向低次、运算向逆运算、空间向平面、无限向有限等.

1.2 促进学科核心素养生成

化归转化思想贯穿了高中数学学科核心素养培养全程，体现为数学运算素养、数学建模素养、逻辑推理素养等.具体到高中数学解题中，图形变换、参数方程与普通方程变换、坐标变换、复数表达形式变换等均是逻辑推理、演绎运算的过程.

2 高中数学解题中化归转化思想的巧妙运用

2.1有机整合数学模型与化归转化思想

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的“学科核心素养”中明确提出：“培养学生数学建模素养，确保学生通过高中数学课程的学习，学会用数学模型解决实际问题”.基于此，教师可以从化归转化思想的应用视角着手，有机整合数学模型与化归转化思想，促使学生经历“发现和提出问题”“建立和求解模型”“检验和完善模型”“分析和解决模型”几个过程.在上述过程中，学生可以正确认识基本数学模型中的化归转化思想，并在发展化归能力的基础上，生成数学建模素养[1].

例1 求函数y=x+1x+2的值域.

解析 函数y=x+1x+2的反函数为x=1-2yy-1，x=1-2yy-1的定义域为y≠1的实数，则函数y=x+1x+2的值域为y|y≠1，y∈R.

例2 求函数y=-x2+x+2的值域.

解析 由-x2+x+2≥0，知y=-x2+x+2的定义域为x∈[-1，2].

此时，-x2+x+2=-（x-12）2+94∈［0，94］.

所以0≤-x2+x+2≤32.

所以函数y=-x2+x+2的值域为［0，32］.

2.2 关联逻辑推理与化归转化思想

逻辑推理是构建数学体系、获得数学结论的有效方式，更是数学严谨性的重要体现.为培养学生的逻辑推理素养，教师应立足数学问题作为有机体的特点，围绕数学问题各部分之间的相互联系、相互渗透、相互依存，引导学生紧扣问题已知条件和未知条件的联系，对问题进行适当转化，构建纵向与横向交错的题目推导解析网络[2].

在逻辑推理过程中，明确转化的一般原理是前提，掌握基本的化归转化思想和方法是关键.因此，教师应有意引导学生仔细观察问题条件、图象特征、求解目标的结构形式，搭建“条件—结论”的桥梁，探明数学问题逻辑及分析思路.在实践中，教师应启发学生紧盯化归要素，聚焦化归对象、化归目标、化归策略三个基本模块，确保化归转化思想与问题解决逻辑、推理过程的有效联系.

例3 已知点M（4，4），圆C：（x-p）2+y2=5（p＜3）与焦点在x轴上的椭圆E：x2a2+y2b2=1有一个公共点J（3，1），F1为椭圆左焦点，F2为椭圆右焦点，直线MF1与圆C相切，求椭圆方程.

解析 因为J（3，1）在圆（x-p）2+y2=5（p＜3）上，所以（3-p）2+1=5（p＜3）.

所以p=1，圆的方程为（x-1）2+y2=5，圆心为（1，0），半径为5.

设椭圆左焦点F1（-c，0），直线MF1的方程为y=44+c（x+c），因为直线MF1与圆相切，所以圆心C（1，0）到直线MF1的距离为半径5，所以c=4.

又因为J（3，1）在椭圆上，所以9a2+1b2=1.

又因为a2+b2=c2，解得a2=18，b2=2.

所以椭圆方程为x218+y22=1.

2.3 挖掘化归转化思想中的科学精神

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》可知，通过高中数学课程的学习，学生应当养成良好的数学学习习惯，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神.领会数学科学精神是化归转化思想应用的核心主旨.所以教师应主动带领学生挖掘化归转化思想中的科学精神，鼓励学生根据已有知识反思、质疑、求实，进一步加深理解概念、巩固基础知识、生成数学方法技能.随后根据学生数学思维品质、个性心理发展的需要，教师可贯彻生本方针，鼓励学生与同伴共同探索数学问题转化的合理性、必然性以及转化过程中的科学精神.“一题多解”是化归策略多样性的具体体现，也是挖掘化归转化思想中的科学精神的有效方式.

例4 如图1所示，在等腰RtABC中，AB=BC=2，点P满足PA·PB=0，则PC的取值范围是.

解法1 （向量法）

设∠PBC=θ，因为PA·PB=0，所以PA⊥PB.

所以PB=ABcos（π2-θ）=2sinθ.

因为PC=PB+BC，

所以

PC2=（PB+BC）2=4sin2θ-4sin2θ+4=-4sin2θ-2cos2θ+6=6-25sin（2θ+φ）.

因为θ∈（0，π），所以PC2∈［6-25，6+25］.

故PC的取值范围是［5-1，5+1］.

解法2 （坐标法）以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

图2中，A（0，2），B（0，0），C（2，0）.

设点P（x，y），则PA=（-x，2-y），PB=（-x，-y）.

因为PA·PB=0，所以x2+y2-2y=0.

化简，得x2+（y-1）2=1.

所以点P在以点M（0，1）为圆心，半径为1的圆上运动.

因为CM=（2-0）2+（0-1）2=5，

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范围是［5-1，5+1］.

图3 例4解法3图

解法3 因为点P满足PA·PB=0，所以点P在以点AB中点M为圆心，半径为1的圆上，如图3.

由勾股定理，得CM=12+22=5.

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范围是［5-1，5+1］.

因为∠APB=90°，所以点P到AB中点M的距离为12AB，当点P与A，B重合时也满足，所以由圆的定义也可以得出点P在以点M为圆心，半径为1的圆上.

2.4 梳理化归中的运算逻辑

数学运算是数学核心素养的基本组成部分，强调学生理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路.而化归中的运算涵盖了等价化归运算、非等价化归运算.等价化归运算强调转化期间前因、后果均是充分且必要的，即：转化后结果为原问题结果；非等价化归运算则是转化期间前因、后果其一非充分.

例5 一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0），其中△=b2-4ac，x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，且x1＜x2.求ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集.

解析 在a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，若△＞0，解集为{x|x＞x2或x＜x1}，若△=0，解集为{x|x∈R且x≠-b2b}，若△＜0，解集为R.

当a＜0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，若△＞0，解集为{x|x1＜x＜x2}，若△≤0，解集为.

3 结束语

化归转化思想是高中数学解题中不可或缺的思想，将化归转化思想运用到高中数学解题中，可以全面渗透多种数学思想方法，促进数学学科核心素养培养目标达成.因此，教师应借助数学解题契机，巧妙探索化归转化思想的运用途径，充分利用化归转化思想，促进学生生成数学学科核心素养.

参考文献：

［1］

穆聪敏，张玲梅.化归思想在数学中的应用研究[J].现代职业教育，2022（38）：42-44.

[2] 王震.结构化视域下高中数学问题解决与创新能力培养[J].数学通报，2023，62（05）：7-11，41.

［责任编辑：李 璟］