核心素养视角下构造法在高考解题中的应用

方成

摘 要：通过研究高考题，尝试从不同角度观察问题结构，找到问题的隐含信息，构造与之关联的函数、方程、不等式、数列、向量等，使其转化到学生熟悉的情境中，从而化繁为易，灵活解题.

关键词：核心素养；高考试题；构造法；问题结构；转化

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0065-03

在高中数学学习中，构造法是学生研究问题最基本、最重要的思想方法之一，高考试题中也经常出现它的踪影.构造的过程实际上是一种创新思维的过程，反映了学生数学知识的深度与广度，同时也显露出自身的数学素养.然而，“构造法”难在如何“构造”，而且“构造”也没有一般的途径，因此学生解决问题甚感困难.

1 构造法的概念与解题价值

构造法是指根据问题的条件或结论所具有的特征和性质，通过构造合适的数学模型来解决问题的方法.这种方法不仅强调通过建立具体的数学模型来分析和解决实际问题，从而培养学生的问题解决能力、数学思维能力和创新意识，而且可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学学习的效果，并把数学知识应用到实际生活中.学生学习数学概念的过程，就是学生掌握数学本质的过程.

2 高考数学解题中的构造类型

2.1 构造数列

例1 （2018年江苏卷第14题）已知集合A=x|x=2n-1，n∈N*，B=x|x=2n，n∈N*，

将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值.

分析 将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，所以我们首先要找集合A，B的相似之处，构造一个数列an，再分析它和Sn>12an+1之间的关系，从而找出最小值.先来列举B=2，4，8，16，32…，与A相比，元素间隔大，所以从Sn中加了几个B中元素考虑.

1个：n=1+1=2，S2=3，12a3=36；

2个：n=2+2=4，S4=10，12a5=60；

3个：n=4+3=7，S7=30，12a8=108;

4个：n=8+4=12，S12=94，12a13=204；

5个：n=16+5=21，S21=318，12a22=396;

6个：n=32+6=38，S38=1 150，12a39=780.

发现21≤n≤38时Sn-12an+1发生变号，于是采用二分法查找：S30=687，12a31=612，所以所求n应在22～29之间；S25=462，12a26=492，所以所求n应在25～29之间；

S26=503，12a27=516，因为S27>

12a28，而S26<12a27，故答案为27.

2.2 构造函数

例2 已知函数f（x）=1x-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）-f（x2）x1-x2

解析 （1）由题意可知：函数f（x）=1x-x+alnx的定义域为（0，+∞）.

对函数f（x）进行求导，得

f ′（x）=-x2+ax-1x.

令g（x）=-x2+ax-1，

①若a<0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②若a>0时，Δ=a2-4≤0，即0

结合①②，得当a≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减.

③若Δ>0时，即a>2时， x=a±a2-42，故f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上单调递减，在（a-a2-42，a+a2-42）上单调递增.

综上所述，当a≤2时，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，当a>2时，f（x）在（0，a-a2-42）和（a+a2-42，+∞）上单调递减，在（a-a2-42，a+a2-42）上单调递增.

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，由（1）小题可知，当a>2时，x1=a-a2-42，x2=a+a2-42，此时x1

要证f（x1）-f（x2）x1-x2

f（x1）-f（x2）>（a-2）（x1-x2）.

又f（x1）-f（x2）=x2-x1x2x1+（x2-x1）+alnx1x2，

由x1x2=1，得

f（x1）-f（x2）=2（x2-x1）+alnx1x2.

即证2（x2-x1）+alnx1x2>（a-2）（x1-x2）.

即证alnx1x2>a（x1-x2）.

令x1x2=t，则0

由x1x2=1知，x1=t，即证lnt>t-1t.

令g（t）=lnt-t+1t，则g′（t）=1t-12t-12t3≤1t-12×2×1t=0，故g（t）单调递减.

因为g（1）=0，故g（t）>0，所以lnt>t-1t .

2.3 构造方程

例3 （2022年全国新高考Ⅰ卷21题）已知点 A（2，1）在双曲线C：x2a2-x2a2-1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP， AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

解析 （1）将点A的坐标代入双曲线方程得a2=2，所以双曲线C的方程为x22-y2=1.构造直线y=kx+m，联立解得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，由根与系数的关系与两直线斜率之和为0，解得斜率k=-1.

（2）设直线AP的倾斜角为θ（0<θ<π2），由题意可知∠PAQ=π-2θ.

因为tan∠PAQ=22，所以tanθ=2.

又因为y1-1x1-2=2，x212-y21=1，得到

x1=10-423.

所以AP=3x1-2=43（2-1）3.

同理，x2=10+423，

AQ=3x2-2=43（2+1）3.

由tan∠PAQ=22，有sin∠PAQ=223.

故S△PAQ=12APAQsin∠PAQ=1629.

2.4 构造不等式

例4 已知函数f（x）=x-lnx.若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

证明 函数f（x）的导函数为f ′（x）=12x-1x，因为函数f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，则

12x1-1x1=12x2-1x2.

变形，得12x1-12x2=1x1-1x2=2（12x1-12x2）（1x1+1x2）.

化简，得1x1+1x2=12.

由基本不等式可知

12x1x2=x1+x2≥24x1x2.

因为x1≠x2，所以x1x2>256.

由题意得f（x1）+f（x2）=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln（x1x2）.

设g（x）=12 x-lnx，则g（x）′=14x（x-4），当g′（x）=0，得x=16.当x>16时，g（x）单调递增.故g（x1x2）>g（256）=8-8ln2.

即f（x1）+f（x2）>8-8ln2.

2.5 构造图形

例5 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为.

分析 当截面为正三角形时，如图1，首先需要构造出一个棱长为1的正方体，确定截面在正方体什么位置时，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等.设当平面α与正方体相交于A，B，C时，当AC=BC=AB时，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，面积为S△ABC=32.

当截面为六边形对，如图2，如果平面平移至图2位置时，截面面积值最大，此时六边形每个顶点都在正方体各个棱的中点处.

则六边形边长为（12）2+（12）2=22.

则六边形CBDEFG的面积为

SBDEFGC=6×34×（22）2=334，最大值为334.

3 结束语

当数学问题出现时，一种解题思路是从已知条件出发，探求问题结论，但有时这种做法并不奏效.此时，就要打破常规，洞穿问题结构，构造数学对象.而这个数学对象与所给条件、结论之间存在某种“关系”，能使问题趋向简单化.在构造数学对象的过程中，学生的思维不仅得到了提升，并且对原有的知识进行了再创造.因此，在高考数学解题活动中，学生要具备扎实的数学基础，活跃的数学思维，看穿问题本质，构造新的问题条件特征，从而寻求最佳的解题途径，达到高校选拔人才的目的［1］.

参考文献：

［1］

傅海伦，贾冠军．数学思想方法发展概论［M］.济南：山东教育出版社，2009.

［责任编辑：李 璟］