二元函数条件最值问题常见的求解方法

彭光焰

摘 要：求二元函数条件最值问题技巧性强、难度大、方法多变，二元函数条件最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.本文通过一道联考题介绍了求二元函数条件最值的求法.

关键词：消元；基本不等式；柯西不等式；判别式；导数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0040-05

二元条件最值问题是高考、自主招生、强基、各类竞赛的热点.常考常新，形式各样，变化多端，难度较大，选拔性高，区分度强，倍受关注.代数变换、合理转化、换元消元、配方化简等是常见的解题技巧［1］.本文通过一道高考题对处理二元条件最值问题的常用求解方法进行归纳总结，以期帮助学生开阔解题思路，锻炼学生灵活应用知识分析和解决问题的能力，最终提升学生数学学科核心素养.

1 题目呈现

题目 （2022年10月8日湖北高三金太阳百校联考第16题）已知正数x，y满足3x+4y=4，则y（1xy+3+12xy+1）的最小值是.

2 解法探讨

视角1 基本不等式法.

解法1 （消去y+基本不等式）

由3x+4y=4，得y=44-3x（0

则y（1xy+3+12xy+1）=44-3x·［14x/（4-3x）+3+18x/（4-3x）+1］

=4（112-5x+14+5x）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

=14（2+12-5x4+5x+4+5x12-5x）

≥14（2+212-5x4+5x·4+5x12-5x）=1，

当且仅当12-5x=4+5x，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法2 （消去x+基本不等式）

由3x+4y=4，得3xy=4y-4（y>1）.

由y（1xy+3+12xy+1）=y（33xy+9+36xy+3）

=y（34y+5+38y-5）

=112［（4y+5）+（8y-5）］（34y+5+38y-5）

=14（2+4y+58y-5+8y-54y+5）

≥14（2+24y+58y-5·8y-54y+5）=1，

当且仅当4y+58y-5=8y-54y+5，即y=52，x=45时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法3 （条件变形+基本不等式）

由3x+4y=4，得3xy+4=4y.

y（1xy+3+12xy+1）=14·4y（1xy+3+12xy+1）

=14（3xy+4）（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

=14［（2+2xy+1xy+3+xy+32xy+1）

≥14［（2+22xy+1xy+3·xy+32xy+1）=1，

当且仅当（2xy+1）2=（xy+3）2，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法4 （结论变形+条件变形+基本不等式）因为y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1=1x+3/y+12x+1/y，

x+3y+2x+1y=3x+4y=4，14［（x+3y）+（2x+1y）］=1，

所以y（1xy+3+12xy+1）=14（x+3y+2x+1y）（1x+3/y+12x+1/y）

=14（2+2x+1/yx+3/y+x+3/y2x+1/y）

≥14（2+22x+1/yx+3/y·x+3/y2x+1/y）=1，

当且仅当x+3y=2x+1y，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法5 （双换元+基本不等式）

设xy+3=a（a>3），2xy+1=b（b>1），则3xy+4=a+b.

又由3x+4y=4，得

3xy+4=4y，

4y=a+b，

y=a+b4.

y（1xy+3+12xy+1）=a+b4（1a+1b）

=14（2+ba+ab）≥14（2+2ba·ab）=1，

当且仅当a=b，即xy+3=2xy+1，xy=2.

又3x+4y=4，所以x=45，y=52时，等号成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法6 （双换元+消元+基本不等式）

设xy=a，y=b（a>0，b>0），由3x+4y=4，得3a+4=4b.

y（1xy+3+12xy+1）=b（1a+3+12a+1）

=14·4b·（1a+3+12a+1）

=14（3a+4）（1a+3+12a+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

=14（2+a+32a+1+2a+1a+3）

≥14（2+2a+32a+1·2a+1a+3）

=1，

当且仅当a+3=2a+1，a=2时等号成立，即x=45，y=52时，等号成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角2 判别式法.

解法7 （消去y+判别式）

由解法1 令t=112-5x+14+5x（00.

t=16（12-5x）（4+5x）=16-25x2+40x+48，

25tx2-40tx+16-48t=0，t>0，

所以Δ=（40t）2-4·25t·（16-48t）≥0.

即4t2-t≥0，t≤0（舍去），t≥14.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法8  （消去x+判别式）

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）=y（34y+5+38y-5）=36y232y2+20y-25，

令t=y232y2+20y-25（y>1），

由t=y232y2+20y-25（y>1），得

（32t-1）y2+20ty-25t=0，

当32t-1≠0时，Δ=400t2+100t（32t-1）≥0，

36t2-t≥0时，t≤0（舍去），t≥136且t≠132.

当32t-1=0时，t=132，y=54>1，符合题意.

故t≥136，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角3 柯西不等式法.

解法9 （消去y+柯西不等式）

由解法1 ，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

≥14（12-5x·112-5x+4+5x·14+5x）2=1，

当且仅当=12-5x1/（12-5x）=4+5x1/（4+5x），

即x=45，y=52时，等号成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法10 （消去x+柯西不等式）

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（4y+5）+（8y-5）］（14y+5+18y-5）

≥14（4y+5·14y+5+8y-5·18y-5）2

当且仅当4y+51/（4y+5）=8y-51/（8y-5），

即x=45，y=52时，等号成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法11 （条件变形+柯西不等式）

由解法3，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

≥14（xy+3·1xy+3+2xy+1·12xy+1）2=1，

当且仅当xy+31/（xy+3）=2xy+11/（2xy+1），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法12 （结论变形+条件变形+柯西不等式）

由解法4 ，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（x+3y）+（2x+1y）］（1x+3/y+12x+1/y）

≥14（x+3y·1x+3/y+2x+1y·12x+1/y）2=1，

当且仅当x+3/y1/（x+3/y）=2x+1/y1/（2x+1/y），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法13 （双换元+柯西不等式）

由解法5，得

y（1xy+3+12xy+1）=14（a+b）（1a+1b）

≥14（a·1a+b·1b）2=1，

当且仅当a1/a=b1/b，即a=b，xy+3=2xy+1，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法14 （双换元+消元+柯西不等式）

由解法6，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

≥14（a+3·1a+3）+2a+1·12a+1）2=1

当且仅当a+31/a+3=2a+11/2a+1，即a=2，xy=2，又3x+4y=4，所以x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角4 导数法.

解法15 （消去y+导数）

由解法7 ，令t=112-5x+14+5x（0

t=16-25x2+40x+48，

t′=-16（-50x+40）（-25x2+40x+48）2

=160（5x-4）（-25x2+40x+48）2.

当00.

所以当x=45时，它有最小值，t的最小值是14.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法16  （消去x+导数）

由解法8 ，得 t=y232y2+20y-25（y>1），

t′=2y（32y2+20y-25）-y2（64y+20）（32y2+20y-25）2

=10y（2y-5）（32y2+20y-25）2，

当1

当y>52时，t′>0.

所以y=52时，t的最小值是136，即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角5 权方和不等式法.

解法17 （权方和不等式）

y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=12x+3/y+122x+1/y

≥（1+1）23x+4/y=44=1，

当且仅当1x+3/y=12x+1/y3x+4y=4，即x=45y=52时取等号.

即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角6 拉格朗日乘数法.

解法18 （拉格朗日乘数法）

令F（x，y）=y（1xy+3+12xy+1）+λ（3x+4y-4），

F′x=-y2（xy+3）2-2y2（2xy+1）2+3λ，①

F′y=3（xy+3）2+1（2xy+1）2-4λy2，②

3x+4y=4，③

由①和②联立求解得xy=2，④

由③和④联立求解得x=45，y=52.

故当x=45，y=52时，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

3 结束语

从多角度探究一道联考试题，是培养学生能力的重要方式，也是实现数学核心素养的一个重要的载体.多角度探究一道试题有利于学生由点到面地掌握有关知识，有利于学生抓住问题的本质、求解方法以及蕴含的结论，最终实现做一题得一类题、做一题掌握更多的知识.思考角度不同，方法就不相同，所涉及的知识也不同，解题的难易程度也不尽相同，对培养学生发散思维能力非常重要，它有利于培养学生的创新意识和提升学生数学核心素养.另外，本文中柯西不等式、权方和不等式、拉格朗日乘数法并不是高考要求考查的内容.但是，作为整个数学知识体系的一部分，对于学有余力的学生，进行一些拓展，使其知识面更加全面和完整是非常有必要的［2］.

参考文献：

［1］ 杨华，邵春成.探索发现 迁移拓展［J］.数学通讯，2023（15）：47-49.

［2］宋秋林，何拓程.谈谈多变元问题的思考策略：从2022年一道高考题的解法说起［J］.高中数理化，2022（21）：40-42.

［责任编辑：李 璟］