判断二面角为锐角或钝角的方法及延伸

赵彬 陈英宁

摘 要：二面角为锐角或者钝角是高考数学立体几何二面角中的一个难点.通常情况下，我们都是通过观察得到，或者题目中计算夹角的正弦值无需判断.文章通过一道实例详细介绍了二面角为锐角和钝角的判断方法.

关键词：二面角；法向量；叉积

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0071-03

对于空间向量与立体几何中的二面角，我们在判断二面角是锐角还是钝角的时候，通常是在图中直接观察来作出判断，但是有些图形看起来却不是那么直观.那么，在教学中，有没有更好的方法研究呢？本文以一道高考真题为例，对二面角为锐角或钝角的判断方法作如下介绍.

1 真题改编

例1 （2022年新高考全国Ⅰ卷第19题改编）在图1中，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的余弦值.

解析 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1且交于A1B，AA1=AB，连接AB1，则AB1⊥A1B.

所以AB1⊥平面A1BC.所以AB1⊥BC.

由直棱柱知：BB1⊥BC.

所以BC⊥平面ABB1A1.

不妨设AA1=AB=a，所以

A1B=2a，S△A1BC=12·2a·BC=22.

则BC=4a.

而S△ABC=12·a·4a=2，直棱柱的体积为4，所以a=2，BC=4a=2.

2 方法探究

2.1 定义法直接求解

解析 因为AC=22，A1C=23，AD=CD=3，AB=BC=2，所以ΔABD≌ΔCBD.

在图2中，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，由二面角的定义知：∠AEC即为二面角A-BD-C的平面角

[1].

在△CBD中，根据计算得：CE=263=AE，

在△AEC中，cos∠AEC=-12.

2.2 向量辅助法1

解析 在图3中，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，22，0），D（0，2，1），

BD=（-2，0，1），AB=（2，2，0），BC=（-2，2，0）.图3 建系示意图

设平面ABD和平面CBD的法向量分别为

n1=（x1，y1，z1）和n2=（x2，y2，z2），

则BD·n1=0，AB·n1=0，BD·n2=0，BC·n2=0，

不妨设x1=1，则y1=-1，z1=2.

令x2=1，则y2=1，z2=2.

所以n1=（1，-1，2），n2=（1，1，2）.

接下来，我们要用向量研究二面角的大小，那如何判断二面角与两个法向量n1和n2之间的关系呢？观察图4：过两半平面的交线l上一点A分别作AB⊥l，AC⊥l，则∠BAC为两半平面所成二面角的平面角，我们设∠BAC=θ.

（1）当法向量n1和n2方向对于两个半平面是同进或者同出时，θ=π-；

（2）当法向量n1和n2方向对于两个半平面是一进一出时，θ=；

怎么判断两个法向量的方向呢，我们首先借助于向量辅助法：

如果n1·AC>0时，法向量n1是进；如果n1·AC<0时，法向量n1是出；同理，如果n2·AB>0时，法向量n2是进；如果n2·AB<0时，法向量n2是出.特别注意，这里的辅助向量必须是从两个半平面的公共直线上一点引出的.

在图3中，对于例题中我们求出的法向量n1=（1，-1，2），n2=（1，1，2），BA=（-2，-2，0），BC=（-2，2，0），n1·BC<0，n2·BA<0，则法向量n1对于平面ABD是出的，法向量n2对于平面CBD也是出的，两个法向量都是同出的，所以θ=π-，即

cosθ=cos（π-）=-cos=-12.

2.3 向量辅助法2

我们借助于向量辅助法1的技巧，在图4中，在两个半平面各取一点B，C，构造向量BC