关于“垂线段最短”解最值的专题教学探究

徐强

[ 摘 要 ]围绕“垂线段最短”可以构建解题模型，解决线段最值问题.教学中教师应立足知识定义，开展模型探索，再结合实例强化应用.研究者结合教学实践，开展“垂线段最短”解最值微专题设计，并提出相应的教学建议.

[ 关键词 ]垂线段；最短；定义；模型；最值

“垂线段最短”是初中数学的核心内容，在数学解题中有着广泛的应用，可求解相关最值问题.“垂线段最短”解最值的方法较为特殊，是基于教材定义的思路构建，因此教学中教师需要精设教学环节，引导学生明晰定义，掌握构建思路，结合实例强化.下面结合教学实践，进行具体探究环节设计.

教学环节设计探究

“垂线段最短”是初中数学的基础知识，教学中需要完成“定义讲解”到“解题构建”的过渡，整个过程笔者建议结合具体图形，直观呈现解析方法、构建策略，结合具体问题来逐步强化.教学设计可分为四个环节：定义讲解、模型构建、初步应用、拓展强化.

1.教学环节（一）——教材释义，定义讲解

垂线段最短：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.

教学预设：教学中教师首先给出上述定义，让学生重温定义，再结合具体图形引导学生直观理解.如图1所示，分析点A到直线l上的线段，其中点B，C是直线l上的一般点，而点M为垂线段点，显然AB> AC>AM，由此学生可以直观地理解垂线段最短的定义.

教学建议：该环节的核心内容是让学生直观理解定义，因此教师设计该环节时不仅需要给出具体文字定义，还需要结合图形来明确定义内容，同时关注如下两点：一是关注线段的直观比对；二是关注垂线段的定义，即定点到垂足的距离.

2.教学环节（二）——模型构建，策略生成

“垂线段最短”可应用于线段最值问题中，尤其适用于涉及两条线段的最值中，教学中需要教师结合具体情形来构建解析模型.

教学预设：如图2所示，在△ABC中，M，N分别是DE，BC上的动点，连接AM，MN，求AM + MN的最小值.

利用“垂线段最短”来分析思考，显然作出点A到BC的垂线段，则可以确定线段和的最小值.具体作图过程如下：

过点A作BC的垂线，垂足为Q，与DE相交于点P，当M，N分别与P，Q重合时，AM + MN有最小值，即为AQ的长度.如图2所示，显然图中AM + MN ≤ AQ，其中AQ即为点A到BC边的垂线段.

教学建议：在利用“垂线段最短”模型解最值教学中，教师不仅要引导学生关注模型的构建过程，还要让学生掌握两点核心内容，一是模型的本质，即过定点作定直线的垂线段；二是明晰模型适用的问题需要具备两大特征：①含有一个定点；②动点的运动轨迹为直线.

3.教学环节（三）——模型应用，强化练习

上述完成了“垂线段最短”定义的讲解和模型构建，该环节需要引导学生进行应用练习，问题选取不宜过难，与上述模型问题结构类似为宜.

问题1 如图3所示，在△ABC中，AC = BC = 10，∠ACB = 4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是 .

教学预设：本题为关于两线段和的最小值，探究教学中需要教师引导学生从问题特征入手，定位方法，再结合模型进行思路构建.

题目设定C为定点，而点E，F分别是线段BD，BC上的动点，动点的轨迹均为直线，显然可以利用“垂线段最短”模型来求解.

求解CE+EF的最小值，可先进行对称转化，再结合定义确定最值：过点C作关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于点F，交BD于点E，如图4所示.根据对称可知EG=EC，从而可将问题转化为EG+ EF的最小值.

教学建议：对于模型的应用教学，教师要重视两点，一是学生刚掌握了模型方法，问题选取时要紧密联系模型；二是教学引导要紧扣模型应用，从问题入手，定位解法，再结合模型分析推理，过程引导十分重要.

4.教学环节（四）——拓展强化，综合应用

定义模型在综合性问题中也有广泛的应用，教学探究中还需要进一步拓展强化，以拓宽学生的解题视野.问题选取适当变式，可结合几何运动，变换其中的动点轨迹条件来变式探索.

教学预设：本问题是关于直线DF的最小值探究，问题较为特殊，“读题”阶段需要教师引导学生关注两点，一是问题的特点，涉及线段旋转，让学生结合旋转特性推理条件；二是E为动点，其运动轨迹不确定，需要教师引导学生先分析轨迹，再确定方法思路.

动点轨迹探究：△ABC为等边三角形，E为其对称轴上的一个动点，显然可推得∠CAE = 30°，BD = 43，∠CBF = 30°，从而可确定点F的运动轨迹为直线BF.

教学建议：对于变式综合性问题的探究教学，需要注意过程引导，且对于每一个过程均需要慎重解读，围绕解题过程来分环节设计.以上述教学为例，分为旋转推理、进一步解读、轨迹探究、最值求解四个阶段，每一个阶段均需要教师进行细致的推理引导.

专题设计教学思考

上述围绕“垂线段最短”定义开展模型解题应用构建，整个过程从“基本的知识定义”出发，构建“解题模型”，再深入“解题拓展”，整个微专题设计方案具有极高的参考价值，现提出以下几点教学建议.

建议1 立足教材基础，整合构建模型.

“垂线段最短”是教材的基础知识，立足该内容开展探索构建，有助于学生“学以致用”，能提升学生对知识的理解.方法构建中需要对知识进行整合，探索构建模型，形成解题策略.因此教学中笔者建议教师引导学生深度解读教材的基础知识，探索解题方法.

建议2 环节关联设计，问题设问引导.

在“解题方法”专题探究过程中，教师要精设教学环节，各环节之间紧密关联，按照知识的生成规律来编排，要引导学生从基础知识入手，生成解题方法，再强化应用，提升学生思维.问题探索建议采用设问引导的方式，启发学生思考.