借助“直观”启发几何问题解决

赵文倩

[ 摘 要 ]文章以三角形中位线定理的再证明为抓手，梳理利用“几何直观”培养学生分析、探究能力的图形表象、实验、知识联想、数形结合等方法，揭示借助“几何直观”发现解决问题方法的基本套路，并应用套路解决新问题，以培养学生的分析探究能力.

[ 关键词 ]核心素养；几何直观；中位线定理

“几何直观”的内容和要求

“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具，也许是数学中最直观、具体和真实的部分”[1]（Mam？ mana&Villani，1998），所以《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《标准》）把几何直观作为核心素养的主要表现之一.《标准》指出：几何直观要求能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类，几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.

几何直观是思考问题、解决问题的重要思维方式之一，是直接“从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的（状态）的能力”.对几何直观最贴切的表述应该是史宁中教授的：思路是看出来的，不是证出来的[2].这里的“看出”，就是凭借几何直观洞悉几何元素的内在联系，这不仅有助于探索问题解决的思路，而且可以获得对数学的直观理解，抓住问题的本质.

借助“几何直观”解决几何问题的实践

根据直观性的表现，我们是否可以在几何问题中借助直观来认识和理解问题，同时帮助人们探索问题、促进发现呢？如三角形中位线定理，传统课堂在提出“你能根据猜想进行证明吗？”这一问题后，学生直接回答自己的证明方法，然后进入应用环节.这种做法，对学生而言，并没有经历定理的探究过程，只是接受了一种数学事实.实践证明，学生很多时候遇到几何问题解决不了，是卡在第一步，即无从下手，不知道朝什么方向思考，简单地说，就是不知道如何添加辅助线.这就需要学生利用“几何直观”分析和探究问题，找到图形间的内在联系以及解决问题的方向，从而达到问题解决的目的.

为了帮助学生明确对几何图形的直观感受，并且运用这种直观感受，笔者将九年级总复习阶段的学生作为教学对象，以中位线的性质证明的再探究、再经历、再创造、再应用为例，通过如下环节予以说明.

环节一 利用纸片折痕，感受直观内涵.

提问 请猜想图1中线段AB与线段CD之间的位置关系，并猜想图2中∠1的度数.

设计意图 将图1所示的矩形沿着AB对折，发现折叠后的BD与

BC完全重合，所以AB与CD垂直.将图2所示的矩形沿着MN折叠，发现边MP与MQ不重合，验证了猜想∠1=45°是不准确的.引导学生认识到一些结论正确与否可通过观察猜想、操作认证这种“直观”的方法予以验证，从而建立直观观念.

环节二 再探中位线，打开直观空间.

提问 上述证法一、二，你是从什么角度想到可以这样解决问题的？

回答 ①看图形很像相似中的“A”型相似，于是尝试用相似来解决；②要证明平行，可以利用三线八角，从而想到利用相似证明角相等；③由“平行且相等”联想到构造平行四边形，只要证明四边形DBCO是平行四边形就可以得到结论.

教学意图 “是这样”“会这样”等直观意识是解决问题的起点，“A”型相似简单、易懂，能让学生感受到直观的魅力、知识的力量；而由“平行且相等”联想到平行四边形，回顾了已学知识，带动了再探究的发生.

2.系统梳理，拓宽直观

提问 抛开中位线定理的证明，看到“中点”“平行”“线段倍分”这些关键词，你会想到哪些相关的知识和方法？

学生表达，教师板书，形成如下思维导图（如图5、图6和图7）.

提问 你发现更多的证明方法了吗？

证法三 （从倍长中线方法中获得灵感）

证法四 （从对角线互相平分中获得灵感）

如图9，延长DE至点O，使得DE=EO，连接OC，DC，AO.由于对角线互相平分，证得四边形ADCO是平行四边形.再根据CO∥AD∥BD，CO=AD=BD，得到四边形BDOC是平行四边形.

证法六 （从中点坐标公式中获得利用解析法解决问题的灵感）

证法丰富，此处不一一罗列.

教学意图 从直观到猜想、验证、证明，是几何学习的基本套路.学生围绕已知证法中包含的关键词的知识梳理，拓展了思路，形成了更丰富的直观观念，其中解析法的直观、简明，让学生获得了更愉快的学习体验，为之后问题的解决提供了更丰富的直观路径.

环节三 借助直观思维，解决真实问题.

问题 如图12，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边AB上，BE=6，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点.若M，N分别是DG，CE的中点，求MN的长.

（课堂上，学生展示其看到的、想到的、直观分割的，猜测、验证并证明）

解法一 （利用“图形表象”中的“正方形垂直特性”获得图形直观）

如图13，利用垂直分割，过点 M，N分别作BC，DC的垂线，构成三边长分别为3，4，5的直角三角形MNO.

解法二 （利用“知识联想”中的“中位线”获得思路直观）

如图14、15，学生观察发现题目中出现两个中点，但是两个中点没有出现在同一个三角形中，故而想到利用矩形的对角线构造中点，形成新的中位线解决问题.图14中的MO，NO分别是△GCD和△EGC的中位线，图15中的MO，NO分别是△EGD和△ECD的中位线，它们均构成三边长分别为3，4，5的直角三角形MNO.

解法五 （利用“拟实验”中的“测量”，结合“知识联想”中的“中线”获得直观）

解法四中学生测量后发现MN的长度大致是5，有些学生直观联想到矩形的对角线相等，那么MN除了是EC长度的一半，是否也是FB长度的一半呢？如图18，连接MF后，只要证明△MBF是直角三角形即可.朝着观察猜想的方向努力，自然发现MF是等腰直角三角形DGF的中线，易得△MBF是直角三角形，从而得解.

解法六 （利用“数形结合”获得代数直观）

如图19，建立平面直角坐标系，首先可以得到点E，C的坐标，又因为DB是正方形的对角线，于是易得点D，G的坐标，利用中点坐标公式可得点M，N的坐标.最后利用两点间的距离公式或构造直角三角形都可以很快得解.

教学意图 应用是检验教学成败的有效手段，通过直观建立起的观念能不能在问题解决中发挥作用，是衡量本节复习教学有效性的一个重要因素.本环节与前期探究紧密结合，学生分享所悟、所猜、所证，如解法一的垂直分割、解法四通过测量猜想△EMC是等腰直角三角形、解法六的以数定形的数形结合等，都体现了利用各类方法获得几何直观后处理问题的有效性，利用解法的多样性使得几何问题成为思维训练的良好素材.

学生通过“垂直分割试一试”“我感到它是……”“我量一量发现……”等直观的学习方式找到了问题解决策略，实现了直观路径多元，解答策略多样.

利用“几何直观”培养分析、探究能力的方法

（一）以已有知识作为“几何直观”的培养起点

在初中几何学习中，学生往往先利用经验、直觉去推理，就像本课例中，有的学生利用中点倍长中线、构造中位线，有的学生利用中线构造直角三角形，这些都是建立在学生已有的数学经验之上的.接着，在教师所设计的问题引导下，学生探究新的数学策略，解决新的问题，形成宏观认识.从学习心理上来看，这样的教学设计对学生建立数学学习的认识，并化解不必要的心理障碍是有利且有效的.

本节课中，我们尝试利用中位线定理的证明，将“碎片化教学”整合起来，通过学生独立思考、交流方法逐步感悟数学思想方法.不要仅仅成为做题的机器，不要迷恋解题上的一招一式，要注重过程中的通性通法.当学生独立面对一个数学对象时，要学会如何研究一个数学对象，明白研究内容、思路和方法是什么，初中几何教学要注重学生几何直观的发展.

（二）获得“几何直观”的策略

1.利用“图形表象”获得图形直观

根据学生对图形的认知可以将几何概念划分为以下三个层次：最低层次是直观概念，这一层次一般只涉及图形的形状，而与图形元素的性质和关系无关；第二层次属于分析层次，不仅需要观察图形的直观，更要对图形的位置与度量特征等进行分析；第三层次是一些由公理系统所“生成”的，也就是由几何推理得到二级结论[2].

学生处理几何问题多停留在最低层次，而初中阶段的综合性几何问题，要求学生达到更高层次，所以在对图形进行观察后，教师应及时引导学生对图形中的条件进行组合，得到一些基本图形.视觉是一种直觉（有时对发现证明是必需的）的工具.例如环节三中存在矩形AEFD、矩形EBCF、等腰直角三角形EBG、等腰直角三角形DFG、等腰直角三角形ABD等，这些基本图形的得出可以帮助我们在解题时得到一些有益的结论，例如：连接MF，则MF与DG垂直；连接BF，则BF=EC，N为BF的中点等.

2.利用“拟实验”获得结论直观

几何量都可以用距离、角度等来进行刻画，因此，学生可以通过各种测量工具进行实验.虽然这样的“实验”不具有科学性，因为再精密的测量仪器都会产生误差，却有助于学生去接受从而演绎得到概念，这种方式被称为“拟实验”[1].

学生可以通过“拟实验”获得可能的结论，进阶的图形直观来自“操作”.课堂上从矩形纸片中的线和角入手，学生利用折叠、测量等方式进行简单验证，通过“拟实验”获得可能的结论就是几何直观的一种.不是所有的“拟实验”都是正确的，但可以为我们解决问题提供方向.在环节三中的解法四、五中，学生动手测量后发现MN的长度大致是5，于是猜想其是EC长度的一半，则出现解法五猜想MN的长度是FB长度的一半，以及解法四关注题目中要素之间的联系.

3.利用“知识联想”获得思路直观

数学猜想是数学学习过程中的一种重要方法，许多重要的数学理论都来自数学猜想.然而猜想不是空想，是学生在教师创设的情境下有方向地推测和判断，是基于学生已有知识做出的合理猜测.例如通过“联想相关知识点”使条件和结论之间建立联系，从而形成有效的数学猜想，可以帮助学生更快地找到问题的突破口，从而增强学生的学习信心.

环节二中，学生分享的方法有限，当多解问题分享停滞时，就是分享用“知识联想”获得直观，从而解决问题的最佳时机.教师适时介入，指导学生发散思维，利用“知识联想”打开思路，引导学生将学习的方式从“已知辅助线后进行证明和学习用多种方法证明”，转变为“怎么会想到这样解决问题，怎么想到这样添加辅助线”；引导学生尝试利用题目和结论中的一些关键词来展开想象，从中选取合适的方法解决问题.在环节三的解法二、三中，学生根据中点发散思维，思考涉及的方法，使这种“联想型直观”得以落实.

4.利用“数形结合”获得代数直观

众所周知，解析几何的诞生是近代数学的第一个里程碑.解析几何是“数形结合”的重要应用，是以平面直角坐标系为研究工具，通过代数运算研究几何图形，这是几何直观方法中重要的一种.在实际教学中，有的教师将这种“数形结合”简单化为“平面直角坐标系中的计算”教学以及套用公式，这背离了“数形结合”思想.平面几何教学中的一个明显感受是很难得出某些几何元素之间的关系，但在解析几何中借助平面直角坐标系，我们可以通过坐标和代数语言来准确描述这些关系[3].

环节三的解法六，利用平面直角坐标系解决几何问题，这是最有“几何直观”味道的方法，也就是利用代数来刻画几何规律.在利用“代数刻画”获得直观时需要注意以下两点：一是要注意学生是否具备解析的基础.例如，必须能够熟练运用中点坐标公式和两点间距离公式等.二是方法分享后及时引导学生思考看到哪些要素可以想到用解析法解决问题.例如，看到平行四边形、特殊平行四边形（菱形的对角线为坐标轴、矩形、正方形）、平行线等，不应仅停留在解决问题上，更要关注是怎么想到的.

（三）“几何直观”培养过程中的情感、态度与价值观

在分享数种解法的过程中，我们惊喜地发现，学生很好地利用了几何中的直观，着重分享了知识的发生过程，而不仅仅是证明过程.在学生谈体会中笔者发现，不少学生转变了学习数学的角度，从被动学习转化为主动学习，能够积极地想到，并进一步去做到.

英国教育家怀特海曾经说过：“教育是教人们如何运用知识的艺术.当你丢掉你的课本，烧掉你的听课笔记，忘掉了你为了应付考试而背诵的细节，你的学习对你来说才是有用的.”显然，那些“丢掉的、烧掉的、忘掉的”应该就是单纯的知识，“剩下的”应该就是学生在获得这些知识的过程中所用到的解决问题的方法、思想、素养[4].研究问题的方法、看待问题的角度、数学的思维、克服困难的精神才是真正的数学核心素养，才是一节课中需要突破的关键环节.

参考文献：

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]史宁中.数学课程标准修订与核心素养[J].教育研究与评论，2022（05）：18-27.

[3]章建跃.利用几何图形建立直观 通过代数运算刻画规律——解析几何内容分析与教学思考（之一）[J].数学通报，2021，60（07）：7-14.

[4]岳绍杰，于彬.一次市级初中数学优质课评选的亮点展示与评析[J].中学数学月刊，2020（05）：28-30.