二次函数动点问题解题教学设计

陈进发

摘要：二次函数动点问题作为中考数学的压轴题，在一定程度上能够拉开学生中考数学成绩的差距.从学生的做答情况和数据统计来看，学生对二次函数动点问题的掌握情况并不乐观.本文中结合二次函数动点问题中的面积最值问题和特殊点存在问题的典型例题，分析了对应题型的解题思路与方法.

关键词：初中数学;二次函数;动点问题

二次函数动点问题一直是初中学生的学习重点.由于二次函数动点问题能够综合几何、方程、一次函数、不等式等多个内容，考查模式多样，因此二次函数动点问题备受命题人的喜爱，二次函数动点问题也通常会作为压轴题出现在中考数学试卷上.一道综合性的二次函数动点问题往往需要教师花费一节课的时间带领学生探究，这大大降低了课堂的教学效率，不利于学生数学成绩的提高.笔者把自己对二次函数动点问题中两个常见题型解题教学设计呈现给大家，供大家讨论并批评指正.

1 教学分析

1.1 教学目标

知识技能：通过代数和几何两个板块的知识进行解决.

数学思考：建立数感和符号意识，提高学生的思维逻辑能力和空间想象能力.

情感态度：建立二次函数常见动点问题的整体框架，缓解学生的畏难情绪；提高逻辑思维能力和知识应用能力.

1.2 教学重难点

教学重点：掌握解决二次函数中面积最值问题的常见方法.

教学难点：对二次函数中的面积最值问题的分析和解读；对数形结合、分类讨论思想的渗透.

2 教学过程

2.1 复习巩固

基于前几节课的复习成果，笔者在本节课初始环节利用课件或多媒体等方式为学生呈现常见的二次函数动点面积问题的解题方法和图形模型（见图1）.

图1二次函数动点问题常见解题模型

设计意图：引导学生巩固基础知识，加深学生的学习印象.同时为接下来的“二次函数动点问题中面积的最大值问题”解题教学奠定基础.

2.2 二次函数中面积最值问题的解题方法

例1如图2所示，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴与点D，已知A（-1，0），C（0，2）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F.问当点E运动到什么位置时，△BCF的面积最大？并求出△BCF的最大面积以及此时点E的坐标.

分析：第（1）问较简单，这里从略.

第（2）问是常见的动点面积最值问题，笔者先提出几个具体问题，再引导学生进行探究.具体问题如下：

问题1大家能否根据题中所给信息画出△BCF的草图？

问题2利用割补法如何表示出△BCF的面积？

问题3如何求得△BCF面积的最大值？

引导学生进行自主探究或合作探究，对学生的解题思路一对一讲解和评价，提高学生的学习积极性.解题思路如下：

（Ⅰ）根据问题（2）中的描述，可以作出△BCF的草图（见图3）.

（Ⅱ）由图3，将S△BCF切割为S△CEF+S△BFE，经过化简可知本质上是求12EF·OB的最大值.

（Ⅲ）求△BCF面积的最大值，即求EF·OB的最大值.而OB的长度已知，则本问重点在于求出线段EF的长度.具体解决方法如下.

根据点E和点F在抛物线上的位置，我们可以得知两点的横坐标相同，因此可以设点E的坐标为a，-12a+2，点F的坐标为a，-12a2+32a+2，由此可以算出EF=-12a2+2a（0＜a＜4）.再根据三角形面积公式求出S△CBF=-（a－2）2+4.这样就可以很明显地发现，当a=2时，S△BCF有最大值，且最大值为4.

设计意图：引导学生应用三角形面积公式解得面积最值问题，通过列举清晰明了的任务，促使学生获得明确的解题思路和解题过程，推动学生二次函数动点问题解题能力的提升.

2.3 二次函数动点问题中特殊点存在问题解题思路

例2如图4所示，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为直线x=1，且A（-1，0），B（3，0），连接BC.问对称轴上是否存在一点P，使得△CPA是以AC为腰的等腰三角形.若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

分析：该题是常见的动点求特殊点问题，笔者先提出几个具体问题，再引导学生进行探究.

问题1以AC为腰的等腰三角形APC共有几种情况？

问题2利用等腰三角形的哪些知识判定△APC为等腰三角形？

问题3如何求点P的坐标？

在列举出三个问题后，引导学生对任务进行逐一解答.解题思路如下.

（Ⅰ）根据已知条件，以AC为腰的情况共有两种，即以A为顶点和以C为顶点的等腰三角形.

（Ⅱ）可以利用“两条边相等，则该三角形为等腰三角形”进行分析，可以得出AC=AP或AC=PC.

（Ⅲ）先求出AC，AP，PC的长度.易知OC（0，3），设点P的坐标为（1，a），则

AC=12+32=10，AP=22+a2，CP=12+（a－3）2.

下面分类讨论：

①当AC=AP时，解得a=±6，

则P（1，6）或（1，-6）.

②当AC=PC时，解得a=0或6，

则P（1，0）或（1，6）.

综上可知，点P的坐标为（1，6）或（1，-6）或（1，0）或（1，6）.

设计意图：引导学生对三个小问题逐一解答.将原问题拆分成几个小问题进行分析，在此过程中渗透数形结合、分类讨论等思

维方法，以便疏通学生的解题思路.

3 总结

综上所述，二次函数动点问题教学具有复杂性、多样性等特点.教师要充分挖掘二次函数动点问题的代表性题型，基于典型题目为学生提供具体的解题思路.只有这样才能有效缓解学生的畏难情绪，提高学生的学习兴趣，并逐步培养逻辑思维能力和知识应用能力，进而有助于综合能力的提升和发展.

参考文献：

彭文斌.促进学生理解的“生长式问题串”设计策略——以“二次函数背景下的最值问题”专题复习课为例.中学数学月刊，2022（9）：2728，32.

范月娥.打造“探究和分享”数学课堂——以“与二次函数模型有关的最值问题”教学为例.中学教学参考，2022（2）：46.

陆立明.二次函数综合题解题分析与备考策略——以南宁市中考数学二次函数题型为例.中学教学参考，2022（17）：2224.

王华峰，万建光.几何画板在教学中的应用——以二次函数y=a（x-h）2+k教学为例.中学数学，2022（8）：9496.

张青.巧用几何画板探究存在问题——以“二次函数背景下直角三角形存在性问题”为例.中学数学研究（华南师范大学版），2022（2）：69.