基于整体视角构建系统思维

高凯亮

摘要：基于整体视角的教学，有助于学生从整体上把握学习内容，感悟数学学科本质，同时也有助于培养系统思维.“有理数的乘方”这节课将类比乘法运算的由来，构建出乘方运算，最后在整体视角下建立“加、减、乘、除、乘方”五种运算的内在联系，帮助学生深层次理解乘方运算.

关键词：整体性；系统思维；乘方；运算

“有理数的乘方”是有理数的第五种运算，也是有理数章节最后一种运算.因此，笔者在一次校级研究课中采用从数学内部发展的视角引入的方式，让学生在活动中感受研究乘方运算的必然性，自主意识到（-2）4与-24的区别，通过对“有理数乘方运算的幂的符号规律”等问题的探讨，促使学生积累一定的运算经验，帮助学生构建系统思考问题的思维方式，课堂取得了较好的教学效果.

1 基于学习价值的教学分析

基于“有理数的乘方”的学习价值进行分析，体现在以下两个方面：

（1）感悟有理数运算的内在联系，树立整体观念

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出，需要从整体上把握教学内容之间的内在关联，树立整体观念.学生在学习“有理数的乘方”之前已经学习了有理数的加、减、乘、除四种运算，从数学内部结构来看，乘方运算是特殊的乘法运算，除法运算可以转化为乘法运算，乘法运算又是特殊的加法运算，减法运算可以转化为加法运算，因此，有理数的加法运算是其他类型运算的“根基”.从整体视角构建出乘方运算，有助于学生更好地把握乘方运算的本质，感悟有理数运算的内在联系，也为后续构建“有理数的混合运算”中的运算顺序埋下伏笔.

（2）积累运算经验，发展运算能力

运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力.在运算过程中观察出一些运算规律有助于积累运算经验，形成运算技巧，发展运算能力.在有理数乘方的运算过程中通过观察、归纳“有理数乘方运算的幂的符号规律”，进而积累运算经验，便于后续进行乘方运算时能快速确定运算结果的符号，通过规律的发现、验证与总结归纳等过程，促进运算能力的发展.

2 “有理数的乘方”教学过程

2.1 情境引入，探究新知

核心问题1前面学习了有理数的哪些运算？运算结果的名称分别叫什么呢？（加、减、乘、除；和、差、积、商.）

追1：前面学习有理数的加、减、乘、除四种运算，说是四种运算，能否简化一下呢？

生：可以简化成加法和乘法两种运算，因为减法可以转化成加法，除法可以转化成乘法.

追2：能具体说说是如何转化的吗？

设计说明：通过回顾减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，明晰可以将有理数的减法运算转化为加法运算.

依据除法法则“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”，明确可以将有理数的除法运算转化为乘法运算.通过对核心问题1的探讨，学生能够自主意识到四种运算其实可以简化成两种运算，渗透转化思想，并回顾每一种运算结果的名称，为接下来赋予乘方运算结果名称的必要性埋下伏笔.

核心问题2你见过各个加数都相同的加法运算吗？这样的加法运算可以怎样简便表示呢？类似地，各个乘数都相同的乘法运算可以怎样简便表示呢？

师：例如，2＋2＋2＋2可以表示为4×2，这样表示较为简洁，由此，我们学习的乘法诞生了！类似地，2×2×2×2可以简洁地表示为24，因此，2×2×2×2＝24＝16，请同学们注意它与4×2的区别.

追1：类似地，如何表示4个（-2）相乘呢？如何表示5个13相乘呢？写出它们的运算结果.（学生写下来，教师希沃投影.）

追2：类似于这样的乘法算式写得完吗？更一般的情形如何表示呢？（用字母表示.）

追3：从哪里获得的经验呢？（加法、乘法运算律.）

追4：幂具有怎样的结构呢？（底数、指数.）

设计说明：通过回顾乘法算式的由来，明晰乘法运算是特殊的加法运算，从书写形式上感受乘法运算的简洁性；类似地，引出乘方运算的定义，在此过程中感悟乘方运算的本质是乘法运算，为从整体视角感悟“加、减、乘、除、乘方”五种运算的内在联系埋下伏笔.

特别说明，教师在该教学活动过程中需要放慢脚步.追问1中让学生表示4个（-2）相乘、5个13相乘时，需要全体学生都尝试书写.七年级初期的学生整体观念较为薄弱，大部分学生容易将4个（-2）相乘错误表示为-24，将5个13相乘错误表示为153.此处是本节课的难点之一，笔者执教时有意识让学生对比-24与（-2）4，153与135在书写上的区别，通过小组研讨引导学生感悟两种表示方法的不同含义，在研讨过程中让学生意识到加了括号就代表一个整体，渗透整体思想；学生对这两种表示方法含义的理解会直接影响后续包含乘方的有理数混合运算的正确率，因此，在乘方运算的新授课上就要让学生厘清此类问题.利用追问2让学生自主意识到用字母表示乘方运算的必要性，渗透从特殊到一般研究问题的路径.在该教学片段教师需要逐渐形成结构化的板书（图1）.

2.2 例题精解，总结算法

例计算：

（1）27；（2）（-3）4；（3）-43；

（4）-234；（5）02 022.

追1：如何进行乘方运算？

追2：02 022＝0；那么02 023，02 024，……，等于多少？由此，你有什么猜想呢？

师生活动：本环节让学生尝试独立解决，教师批改例题完成较快的学生的解答，由小组长辅助批改，尽量做到全员批改，根据小组长汇报的批改情况，进行有针对性的讲解.批改过程中教师需要特别关注后进生的完成情况，确保全体学生“双基”目标的达成.

设计说明：根据学生例题的完成情况展开追问.追问1的目的是形成乘方运算的一般性算法，渗透转化思想.追问2的目的是引导学生归纳出“0的任何正整数次幂都是0”，教师可引导学生用乘方的定义解释其原因，深化对乘方运算的理解.

2.3 探究符号规律，形成运算技巧

题组1计算：（1）（-3）2；（2）（-3）3；

（3）-124；（4）-125.

题组2计算：（1）32；（2）33；（3）124；（4）125.

追1：观察题组1，你有什么发现？

追2：观察题组2，你有什么发现？

追3：对比题组1与题组2，你又有哪些发现？你能对（-a）2n＝a2n，（-a）2n＋1＝-a2n＋1进行解释吗？

设计说明：本环节在学生独立完成两个题组后展开三个追问，学生先进行小组讨论，再汇报.对于讨论中目标不明确的小组，教师需要适时介入指导，帮助学生将问题聚焦到乘方运算结果的符号和幂的什么元素有关系.通过追问1与追问2，进一步总结出“负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数”，在总结规律的过程中积累运算经验，形成运算技巧.通过追问3，学生能够自主发现（-3）2＝32，（-3）3＝-33，

自主意识到平方等于9的数有两个，分别是3和-3，教师引导学生用乘方的定义对其进行解释.追问3实际上是乘方运算的应用，并让学生尝试用字母表示该规律，体现规律的一般性.

2.4 畅谈收获

通过本节课的学习，你有哪些收获？你对有理数的运算有了哪些认识？

设计说明：本环节让学生畅所欲言，最后将问题聚焦到感悟有理数的“加、减、乘、除、乘方”运算的内在联系上，并完善核心问题1中的板书（略），形成能体现五种运算内在联系的板书（图2）.

运算类型加减乘除乘方……

运算结果名称和差积商幕……

2.5 发现乘方模型，感受数学价值

师：同学们，生活中有乘方运算的实例吗？

设计说明：列举拉面、折纸等实例，让学生在课堂上动手操作折纸，在折纸过程中记录折纸的次数与层数之间的关系，感受乘方模型在生活中随处可见，触手可及，增强学生用数学的眼光观察现实世界的意识.通过PPT视频，了解一张纸对折105次后是否比宇宙还要大？感受随着折纸次数的增加，层数变化的速度越来越快，渗透“对应、变化”数学思想.

3 总结与反思

3.1 基于整体视角，构建系统思维

系统思维有助于研究者把握问题本质.简单来说，不是就事论事，而是需要从整体上对事物进行全面思考；整体性原则是系统思维的核心，是发展系统思维的必要条件.基于整体视角的教学有助于学生形成有逻辑的知识网，厘清相关数学对象的内在关联，帮助学生更好地把握数学本质，助力提升数学核心素养.整体视角下的教学设计一般分为“总—分—总”三个流程，首先需要由核心问题引领，引导学生在整体视角下提出研究的问题（总），再通过具体活动对其展开研究（分），最后又一次在整体视角下将研究的数学对象与相关数学对象进行耦合连接（总）.例如，本节课之前学生已经学习过“加、减、乘、除”四种运算，笔者执教时有意识引导学生回顾了乘法运算的来源与价值后，为了体现数学的简洁性，在乘法运算的基础上迁移出乘方运算，体会用数学符号表达问题的便捷，感受学习乘方运算的合理性与必然性，接下来通过两个有层次的活动对乘方运算展开研究，本课小结中又引导学生感受到五种运算的内在联系，同时帮助学生构建系统思考问题的思维方式.

3.2 关注“式结构”，积累活动经验

关注“式结构”是研究“数与代数”领域的重要导向，正所谓“解题运算要提升，结构分析应先行”.本节课笔者在每一个环节中都渗透了需要关注“式结构”的意识，例如由核心问题2引出乘方运算后，从“式结构”上让学生直观感受到引入乘方运算表示特殊的乘法具有简洁性.在“幂”的概念引出后，笔者追问“幂具有怎样的结构呢？”（由底数与指数组成），有意识地让学生从整体与局部两个视角认识“幂”的结构.“探究符号规律”环节，在对比中让学生自主意识到（-3）2＝32，（-3）3＝-33，再运用乘方的定义解释，并尝试用字母表示该规律，通过总结规律学生自主意识到若一个数的平方等于9，那么这个数是±3，这个结论是学生在观察“式结构”中自主发现的，并非教师机械的提问回答出来的.本节课课后作业中有一道填空题“一个数的平方等于16，那么这个数是多少”，根据以往的经验，七年级新授课的作业中该题的错误率会极高，本节课后该题全班（45人）仅有1位学生出错，这让笔者喜出望外.通过此次研究课，笔者也注意到增强学生关注“式结构”的意识在研究“数与代数”领域问题中的重要性，需要在“数与代数”领域的每节课上逐步渗透关注“式结构”的意识.例如，学习各类型方程的解法时，关注“式结构”的特征可能就存在简便解法，进而提高解决问题的效率；后续学习幂的运算时，底数相同且指数也相同的幂才能进行加（减）法运算，只有底数相同的幂才能进行乘（除）法运算.因此，教师需要在七年级初期将关注“式结构”的意识落实到常规教学中，帮助学生开启学习“数与代数”知识领域的“大门”.