探索思路构建，提升核心素养

易红

【摘要】教师在教授学生解决数学问题时，我们需要重视学生的学习状况，以他们的思维能力为基础，鼓励他们去研究和解决问题，用一系列的条件来建立思考的框架.中考的几何题目最后一题往往在教材的各个知识点交叉部分出题，掌握图形的特性，逐步解构和建立，可以达到解决问题的目标.在教导解题的过程中，我们需要关注学生的思维，注重研究的体验.这篇文章研究了一个几何综合题目的建设过程，并提出了相关的教学建议.

【关键词】几何；动态；模型

教师在讲授解题的核心是培育学生的思考能力，使他们变得擅长解决问题.然而，解决问题的关键并不在于数量，而在于质量，我们需要通过解题让学生深刻掌握概念，巩固基础，从而灵巧地应对各种各样的问题.下面我将用一道几何难题为例，关注学生的思考，探究解题的过程，构建问题解决的思维路径.

1 问题呈现

例1 如图1，假设在四边形ABCD中，E是BC线段上的点，DE⊥BC，∠A=45°，AB=BE，F是CD线段上的任意一点.连接BF、EF，并对以下问题给出答案.

（1）如图1，如果点F和D叠在一起，CE=1，求BD的长度？

（2）如图2，当F点恰好位于CD的中心位置，那么∠ABF的平分线AG和AD线段会相交于G点，试证明：BF=22EC+AG

（3）在（1）条件成立的情况下 ，将 △CEF沿CD平移 ，得到△C′E′F′ 连接BE′将BE′绕着点E′顺时针旋转90°得线段E′B′，再连接AB′和BB′， 在平移过程中，当△ABB′的周长最短时，请求出tan∠DAB′的值.

本题是一道几何综合问题，它的特点是融合性强，完全满足了新的教学大纲对学生的知识和能力测评的需要.该问题将动态几何与逻辑推理结合起来，题目的设定简洁明了，图像清晰易懂，设计独特巧妙.此问题的难度层次感强，知识综合要求高尤其是第三个题目，通过把图形的位移和线段的转动结合，同时融入了三角函数，最大周长等知识.位移和转动的结合在重要的题目中并不常见，这个问题的新颖性并没有超过考试大纲，给予了学生更多的思考可能，可以根据不同的条件寻找解题口径.在具体的解题过程中，学生的思考方式会有较大的差别，教学指导更侧重于对图像的全面分析，注重建立思维的路径，探索解题的方向.

2 针对学生开展解题分析

这个题目本质上是一个几何综合问题，对于基础不扎实的学生，题目的复杂程度过高，通常他们会在阅读题目后选择放弃.该问题主要围绕平行四边形进行研究，探讨了F点的位置，并提出了涉及系数的线段以及差值关系的论述.它利用动态图像阐释了建立三角函数的方法.对于那些基础一般的学生，如果他们无法理解线段系数的特殊特性，构建等腰直角三角形，采用“瓜豆原理”去解析移动点的路径，那么他们将会很难改变条件，也无法把条件与几何相似或等效的概念联结起来.因此，要想顺利探究问题，主要需要注意两个方面：一是要重视分析解题的关键环节；二是要重视改变条件，构建解题策略.

2.1 第（1）问的解题分析

在问题一中，F点和 D点是重合的.根据 DE与BC的垂直关系，我们可以得出DBE三角形是个直角三角形. 利用勾股定理和四边形的性质，我们能计算出BD的距离.这个问题是十分简便的.确立端点推进的开始是相当重要的，由于∠A=45°，从而认定三角形 DEC为等腰直角三角形.因此，DE和EC的长度均为1，由此得出DC、AB和BE的长度.在直角三角形DEB里，DE=1，BE的距离待定，能够通过勾股定理计算出BD的距离，同时整体图像的线段距离如图4展示.教学时，教师应引导学生关注此图形的两个关键特征：第一个是直角三角形的属性——勾股定理；另一个是平行四边形的属性——等长对边.基于这些几何属性进行线段关系的演绎，并且在考虑角度条件时，能引导学生从几何特征和三角函数的视角去探究.建议使用前述直观方式解决图形线段的推导问题，把相关线段的标记写在图内，这有助于建立线段联系.在首个问题里，F点和 D点实际上是同一个位置.依据 DE与 BC垂直以及 F点与 D点的重合状况，我们可以确认三角形DBE是个直角三角形，通过应用勾股定理和利用四边形的性质，对求解BD的长度就相对简单了.挑选适当的段进行推理的起始非常关键，当定出∠A=45°后，我们可以推断出三角形DEC是一个等腰直角三角形，由此也能得出DE和EC的长度是1.根据这个推论，我们能进一步得知 DC、AB和BE的长度.在直角三角形DEB里，DE的距离为1，BE的距离应用勾股理论，我们可以计算出 BD的距离.图4揭示了整体图形的线条长度.

在进行教导的时候老师必须指导学生们深度领悟这个图像的两个焦点——一是直角三角形的特质也就是勾股定理；再者就是平行四边形的特征，那就是对边等长.了解这些几何特征后，我们可以推理出线段的关系.在处理角度问题时，教师能够教导孩子们从几何特征和三角函数的视角进行探索.我建议对于图形线段推演难题，采纳更直观的方法，将所需的线段长度直接在图上表示出来，这样有助于确认线段间的关联.

2.2 第（2）问的解题分析

关于第二个问题，对于含有系数的线段和差的转化策略掌握也不够牢固，因此无法灵活地构建图形，也就无法消除系数，将其转变为常见的线段和差的关系.依据这个系数，我们自然会想到构建等腰直角三角形，根据题目的给定条件，将其转化为EF或 FC 或 DF即可，具体的证明步骤如下：

将FE延伸到点H，使∠GBH=135°，如图5展示的那样.通过引用平行四边形的特性我们可以推导出.∠ABC=135°，故∠GBH=∠ABC， 即∠ABG=∠EBH.鉴于DE和EC呈直角，且角度C为45°，我们可以推定，三角形DEC是一个等腰直角三角形.而F点位于DC的中心，这就说明EF和CF正交并具有同样的长度，因此，我们可以推出∠FEC与∠BEH的度数均为45°，EF=22EC.我们可以进一步验证 △ABG和△EBH的等价性，这就意味着∠H∠AGB和∠EBG是相等的.另外，我们已经知道BG是∠ABF的平分线，因此∠ABG和∠FBG的大小是一致的.因此，∠FBG和∠EBH也是等大的，这样就可以推断出∠EBG和∠FBH是同等大小的，∠H=∠FBH. 所以FB=FH=22EC+AG

在解答此问题时，我们还能采用新颖的方式，将AB作为边构造一个与△BEF全等的三角形，进一步运用平行四边形属性推导出△HBG是一等腰三角形.利用线段和差和等腰直角三角形理论，也可以推导出验证，如下述详细说明：

延长DA至H，使得AH=EF，再连接BH ，如图6所示.可以直接证明∠BEF和

∠BAH都=135°，同时我们已知AH等于EF，BA等于BE，所以可以推断出三角形ABH与三角形EBF是全等的，这就意味着BH与BF是相等的，而且∠ABH与∠EBF也是相等的.考虑到BG是∠ABF的平分线，因此.∠ABG=∠FBG，由此可以得出∠HBG等于∠EBG的结论.由于AD平行于BC，那么 ∠HGB就会等于∠EBG. 这就表明∠HGB等于∠HBG，进而我们可以知道BF，HB，HG的长度=AH+AG=22EC+AG

2.3 第（3）问的解题分析

题目第三部分是一个整合了几何运动和三角函数的复合题，考查的是图形的位移和段落的旋转.结合平移知识可知，点E′的运动轨迹为过点 E 且平行 于 CF′的一条线 段 . 利用“瓜豆原理”分析点B′的运动轨迹. 过 点E作 EL⊥BE，使 得 EL=BE，构 造 等 腰直角三角形△BEL，如图7所示. 易证图 7中阴 影部分的两个三角形为相似关系 ，故有∠B′LB=∠E′EB=45° 所以∠B′LE=90°，即点B′在过点L且平行于BE的射线上.△ABB′的周长可表示为C△ABB′=AB+ BB′+AB′，其中AB为定值 ，则三角形周长的最小值由“BB′+AB′”来决定 ，符合“将军饮马”模型. 延长LB′，作点A关于 LB′的对称点A′ ，由对 称性可知AB′= A′B′，则BB′+AB′=BB′+A′B′. 分析可知，当 点A′，B′，B三 点 共 线1 时 BB′+A′B′可取得最小值 ， 此时点B′为A′B与直线L的交点，如图8所示. 可证图8中有△ANB′∽△A′OB，由相似性质可得NB′OB=ANA′O，其中OB=1，AN=2－1，A′O=22－1则 NB′=2－122－1而 tan ∠DAB′=tan∠AB′N=NANB′=22－1，即 tan ∠DAB′的 值 为22－1

3 围绕教学深入思考

对学生的思考能力进行的上述考题研究中，总共包含了三个问题，其中后两个的难度相对较高.这些问题各自独立，然而又存在着某种知识上的联系，因此具有很强的综合性. 经过深入思考，提出了相应的建议.

3.1 基础强化，知识联网

对初中数学学习的概念、定理、定义和公式深入理解和掌握是解决综合性问题的基石.只有深入理解知识的本质，使用适当的解题策略和技巧，才能在解决问题的过程中灵活应变.在任何一题中，比如平行四边形的特性、勾股定理，或相似和全等三角形的特性，这些都是解答问题的根基.若学生未能深刻理解这些知识点并灵活运用，有可能在解题时遇见困难.故老师应该对"只强调问题解答，忽视基础知识"的观点有所改变，教学时需注重讲解基础理论，并结合考试技巧，以增强学生的解题能力.

3.2 重视审题，过程推理

这个问题蕴含着各种详尽的信息条件，包括平移与旋转的几何变换，最大/最小周长，三角函数等常见知识的覆盖.要通过对题目信息的解读，理解问题的设定，掌握图形规律，这是题目审查过程的关键环节.一些学生在这个过程中可能会忽略条件分析，导致他们无法深度理解图像所含的暗示，从而在解题过程中可能会感到思维难度.因此，在日常教学中，教师需要按照教科书的习题示范学生如何正确的审题，引导他们转化信息条件，感受解题的过程，并且在图形变换和过程分析中帮助他们提升思维能力，并培养他们理性分析的习惯.

3.3 注重积累，总结模型

所提及的问题综合性较强，尤其是末尾的问题整合了众多的模型，如“瓜豆模型”和“将军饮马模型”，为后续的问题设置了必要的条件.尽管数学模型可能并非教科书的核心内容，通过对模型的归纳与结果的总结，解题效率仍可显著提升.因此，在实践教学中，教师不应仅教授题目，反而应该重视整理知识模型，并鼓励学生关注图形模型，对模型结果进行总结，进而创建相应的答题策略.同样地，教师需要重视从多个视角研究模型，扩展模型的结果，以引导学生在学习中学以致用，在探索和思考的过程中提升他们的知识和能力.

参考文献：

［1］刘伟鹏．一道“三点共线”问题的解法 ［J］ ．中学数学参考（ 下旬） ，2019 （3） ：77－78．

［2］赵临龙关于二次曲线三点共线的统一证明及思考 ［J］ ．中学数学研究，2019 （9） ： 23-24.