平面向量数量积的最值问题求解策略

林芬

［摘 要］文章从一道求解平面向量数量积的最值的填空题入手，探究平面向量数量积的最值问题的多种解法，通过反思提炼，以提高学生的解题能力。

［关键词］平面向量；数量积；最值问题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0024-03

平面向量数量积的最值问题，是各级各类考试的热点。本文拟从一道填空题入手，探究平面向量数量积的最值问题的多种解法，并通过反思提炼以及解法活用，促进学生实现对知识的融会贯通和方法的灵活运用，提高学生的解题能力。

［题目］已知圆[O]的半径为[1，PA、PB]为该圆的两条切线， [A、B]为两切点，那么[PA·PB]的最小值为                 。

一、多解探究

平面向量具有代数和几何的双重属性，求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路，代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。

思路1：利用定义代数化，直接利用平面向量数量积的定义，借助基本不等式求解。

解法1：如图1所示，设[OP=x]，[∠APO=θ]，则[PA=x2-1]，[cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2]，所以[PA·PB=PAPBcos2θ=PA2cos2θ=（x2-1）1-2x2=x2+2x2-3≥22-3]，当且仅当[x2=2]时等号成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路2：利用平面向量的基底转化运算。

解法2：如图2所示， 设[AB]的中点为[M]，设[OM=x]，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理得[OA2=OM×OP]，[MA2=OMPM]，所以[OP=1x]，[PM=1x-x]，所以[PA·PB=（PM+MA）·（PM+MB）=（PM+MA）（PM-MA）=PM2-MA2=PM2-OMPM=1x-x2-x1x-x=2x2+1x2-3≥22-3]，当且仅当[x2=22]时等号成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路3：利用平面向量的极化恒等式加以转化。

解法3：如图2所示，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理有[OA2=OMOP]，所以[OP=1OM]，[PA·PB=14（PA+PB）2-（PA-PB）2][ =14（2PM）2-AB2=14（2PM）2-（2AM）2=PM2-AM2=][（OP-OM）2-OA2-OM2][ =1OM-OM2-OA2-OM2][ =2OM2+1OM2-3≥22-3]，当且仅当[OM=124]时等号成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路4：建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解。

解法4：如图3所示，建立平面直角坐标系，设[A（x，y）]，[P（x0，0）]，则[B（x，-y）]，[x2+y2=1]，所以[PA=（x-x0 ，y）]，[PB = （x-x0 ，-y）]，所以[PA·PB=x2-2xx0+x20-y2=2x2+x20-2xx0-1]，又[OA·PA=0]，所以[PA·PB=2x2+x20-2xx0-1=2x2+x20-3≥22x2x20-3=22-3]，当且仅当[2x2=x20]，即[x=124]时等号成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路5：利用平面向量数量积定义，换元转化为分式型最值问题。

解法5：如图1所示，设[∠APO=θ]，则[PA·PB=PA2cos2θ]，在[Rt△PAO]中，[tanθ=1PA，]因为[cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=PA2-1PA2+1]，所以[PA·PB=PA2PA2-1PA2+1]，令[PA2=t]，则[PA·PB=t2-tt+1=t+1+2t+1-3≥22-3]，当且仅当[t+1=2]，即[t=2-1]时等号成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

二、反思提炼

求解平面向量数量积的最值问题，最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式，选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向：利用数量积的定义，借助平面几何知识，转化为关于某个变量的函数，如思路1；利用向量运算（三角形法则）和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数，如思路2；利用向量极化恒等式：[a·b=14（a+b）2-（a-b）2]进行转化，如思路3； 建立平面直角坐标系，把问题转化为坐标运算，如思路4；设角度，把问题转化为三角函数问题后，换元化为分式型的最值问题，如思路5。建立目标函数后求最值，需具体问题具体分析。求最值问题一般有两种方法：一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。

三、解法活用

［例1］已知圆[O]的半径是1，直线[PA]与圆[O]相切于点[A]，过点[P]的直线[PB]与圆[O]交于[B]、[C]两点，且点[A]与点[O]在直线[PB]的两侧，点[D]为[BC]的中点，若[PA=3]，则[PA·PD]的最大值为             。

分析：依题意求出[PO=2]，[∠APO=π6]，设[∠CPO=α]，将[PA·PD]转化为[α]的函数，由三角函数的最值求解。

解：依题意，如图4所示，在[Rt△AOP]中，[AO=1]，[AP=3]，所以[PO=2]，[∠APO=π6]，设[∠CPO=α]，[α∈0，π6]，在[Rt△DOP]中，[PD=POcosα=2cosα]，[PA·PD=]

[PAPDcosπ6-α=3×2cosαcosπ6-α=][23cosα32cosα+12sinα=32cos2α+32sin2α+] [32 =3sin2α+π3+32]，由于[α∈0，π6]，则[2α+π3∈π3，2π3]，当[2α+π3=π2]时，[sin2α+π3=1]，此时[PA?PD]取得最大值[32+3]。

点评：本题结合平面向量数量积定义和几何图形特征，将原问题转化为三角函数的最值问题。

［例2］已知向量[a，b，e]满足[e=1]，[a·e=1]，[b·e=2]，[a-b=2]，则[a·b]的最小值是            。

分析：由题意知，若[e=（1，0）]，设[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，求出[a+b]、[a-b]的坐标。

思路1：根据[a·b=a+b22-a-b22]求最小值。

思路2：由已知[a-b=1+（m-n）2=2]，结合基本不等式求[mn]的取值范围，再由平面向量数量积坐标表示求[a·b]的最小值；注意取值条件。

解法1：由题意，若[e=（1，0）]，设[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，则[a+b=（3，m+n）]，[a-b=（-1，m-n）]，[a·b=a+b22-a-b22=149+（m+n）2-4=145+（m+n）2≥54]，当且仅当[m+n=0]时等号成立，故[a·b]的最小值为[54]。

解法2：[a-b=1+（m-n）2=2]，即[（m-n）2=3]，由基本不等式得[mn≥-34]，当且仅当[m=-n]时等号成立，故[a·b=2+mn≥2-34=54]，所以[a·b]的最小值为[54]。

点评：解法1采用了向量极化恒等式，通过配方法求最值；解法2采用了坐标法，利用基本不等式求最值。

［例3］已知[OA=OB=OC=1]，[OA·OB=0]，[OP≤1]，则[AP·BP+BP·CP+CP·AP]的最大值为          。

分析：利用向量的减法法则，把[AP]，[BP]，[CP]转化为[OA]，[OB]，[OC]，[OP]进行求解。

解：设[M=AP·BP+BP·CP+CP·AP]，则[M=（OP-OA）（OP-OB）+（OP-OB）（OP-OC）+（OP-][OC）（OP-OA）] [=3OP2-（OA+OB）?OP+（OB+OC）?OP+（OC+OA）?OP+（OA·OB+OB·OC+][OC·OA） ][=3OP2-2（OA+OB+OC）·OP+（OA?OB+OB·OC+OC?OA） ][=3OP-OA+OB+OC32-（OA+OB+OC）23+（OA?OB+OB?OC+OC?OA）=][3OP-OA+OB+OC32+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1]。设[OP=（x，y）]，[OA=（1，0）]，[OB=（0，1）]，[OC=]（[cosθ]，[sinθ]），[θ∈0，2π ]，[OG=OA+OB+OC3]，即[G]为[△ABC]的重心，则[OP-OA+OB+OC32=PG2]，∵[OA=OB=OC=1]，[OP≤1]，∴[A]、[B]、[C]三点共圆，点[P]位于圆上或圆内，故当[P]为射线[GO]与圆周交点时，[PG2]最大，即[OG+12]最大。∴[M≤3OG+12+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1][=3（1+cosθ）2+（1+sinθ）2+12+sinθ+cosθ3-1=][3133+2（cosθ+sinθ）+12+sinθ+cosθ3-1]。由[-2≤sinθ+cosθ≤2]得，[M≤3133+22+12+23-1=5+32]。当且仅当[θ=π4]时，[M]取到最大值[5+32]。

点评：本题应用平面向量基本定理，将所求向量向基底转化，同时为了构建目标函数将向量坐标化，求最值时，既应用了几何图形的性质，又运用了三角函数的有界性。用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

［例4］已知向量[a]，[b]满足[a=3]，且[b-λa]的最小值为1（[λ]为实数），记[a，b=α]，[a，a-b=β]，则[b·（b-a）cos（α+β）]最大值为            。

分析：如图5所示，由题意建立位于坐标系内的[△OAB]，先数形结合得出[B]到[OA]的距离为1，再利用三角形内角和关系转化为求[-b·b-a]的最大值，利用坐标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的最值，进一步得到答案。

解：设[a=OA]，[OA=3]，[b=OB]，由[b-λa]的最小值为1（[λ]为实数），[∴B]到[OA]的距离为1，如图5所示建立平面直角坐标系，[A（3，0）]，[B（x，1）]，∵[a，b=α]，[a，a-b=β]，∴在[△ABO]中，[∠BOA=α]，[∠BAO=β]，∴[cos（α+β）=-cos∠OBA=-cosb，b-a]， ∴[b·（b-a）cos（α+β）=b·（b-a）-cosb，b-a=-b·b-a=-x2+1·（x-3）2+1][ =-x4-6x3+11x2-6x+10]，

令[f（x）=x4-6x3+11x2-6x+10 ]，[ f（x）=4x3-18x2+22x-6=2（2x-3）（x2-3x+1）]，

令[f ′（x）=0]，得[x=32]或[3+52]或[3-52]或[x<3-52]时， [f（x）<0]， [f（x）]单调递减；

[x∈3-52，32]， [f（x）>0]， [f（x）]单调递增；

[x∈32，3+52]， [f（x）<0]， [f（x）]单调递减；

[x∈3+52，+∞]， [f（x）>0]， [f（x）]单调递增；

∵[f3+52=f3-52=9]，∴[f（x）min=9]，∴[-b·b-amax=-3]，即[b·（b-a）cos（α+β）]的最大值为[-3]。

点评：建立平面直角坐标系，在图形中找到角度的关系，转化为求[-b·b-a]的最大值，再转化为求函数最值问题，利用导数找出函数的单调性，即可分析函数的最值。

由此可见，求解平面向量数量积的最值问题的关键是数形结合，建立目标函数，利用向量数量积定义和向量运算公式进行合理转化。

（责任编辑 黄桂坚）