求解三角函数最值问题五策略

王春娥

［摘 要］三角函数最值问题历来是三角函数中的热点问题之一。文章结合几道例题，探讨求解三角函数最值问题的策略，旨在拓宽学生思维，发展学生核心素养。

［关键词］三角函数；最值问题；策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0021-03

三角函数最值问题历来是三角函数中的热点问题之一，其涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解答这类问题时要注意三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论及各种隐含条件等。求解这类问题有哪些基本策略呢？

一、化“一”策略

所谓化“一”，就是对于形如[f（x）=asin2x+bcos2x+csinxcosx+d]的三角函数，可运用倍角公式、三角恒等变换等将其化为形如[y=Asin2x+Bcos2x+C]的形式，进而利用辅助角公式[Asinx+Bcosx=A2+B2sin（x+φ）+C]化为只含有一个函数名的形式，最后利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值。

［例1］函数[f（x）=-2cos2x-π4+6sinxcosx-2cos2x+1]，[x∈R]。

（1）把[f（x）]的解析式改写为[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式；

（2）求[f（x）]的最小正周期并求[f（x）]在区间[0，π2]上的最大值和最小值。

分析：（1）由三角恒等变换公式，即可化简函数[f（x）]的解析式为[f（x）=22sin2x-π4]。（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，求得[f（x）]的最小正周期为[T=2π2=π]，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值。

解：（1）由题意，函数[f（x）=-2cos2x-π4+] [6sinxcosx-2cos2x+1=-222cos2x+22sin2x+][3sin2x-（2cos2x-1）=2sin2x-2cos2x=22sin2x-π4]，即[f（x）]的解析式为[f（x）=22sin2x-π4]。

（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，所以函数[f（x）]的最小正周期为[T=2π2=π]，

因为[x∈0，π2]，则[2x-π4∈-π4，3π4]，所以当[2x-π4=-π4]，即[x=0]时，函数取得最小值，最小值为[f（x）=22sin-π4=-2]。当[2x-π4=π2]，即[x=3π8]时，函数取得最大值，最大值为[f（x）=22sinπ2=22]，即函数的最小值为[-2]，最大值为[22]。

点评：本题给出的三角函数的解析式是关于[sinx]与[cosx]的二次齐次式，故可利用二倍角公式和辅助角公式将其化为[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式。

二、换元策略

对于含有[sinα±cosα]和[sinαcosα]的三角函数值域问题，可利用[（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα] 并通过换元转化为熟悉的函数（如一次函数、二次函数和分式函数）的最值问题来解答。

［例2］本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图1所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，其水平截面图为矩形[ABCD]，它的宽[AD]为2.4米，车厢的左侧直线[CD]与车道中间的分界线相交于[E]、[F]，记[∠DAE=θ]。

（1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好[θ=π6]，且[A]、[B]也都在车道中间的直线上，直线[CD]也恰好过路口边界[O]，求此大卡车的车长。

（2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意[θ]，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值。

分析：（1）通过解直角三角形，分别求出[OE]，[OF]，[ED]，[CF]，即可求得本题答案。（2）用[θ]表示[AB]，利用换元法并结合函数的单调性，求出[AB]的最小值，即可得到大卡车车长的最大值。

解：（1）如图2所示，作[EM⊥OM]，垂足为[M]，作[FN⊥ON]，垂足为[N]，因为[∠DAE=π6]，所以[∠MEO=∠NOF=∠BFO=π6]，在[Rt△ADE]中，[ED=2.4×tanπ6=435]，在[Rt△BCF]中，[CF=2.4tanπ6=1235]，在[Rt△OME]中，[OE=4cosπ6=833]，在[Rt△ONF]中，[OF=4sinπ6=8]，所以[CD=OE+OF-ED-CF=833+8-435-1235=8-8315]。

（2）因为[∠DAE=θ]，所以[OE=4cosθ]，[OF=4sinθ]，[ED=2.4tanθ]，[CF=2.4tanθ]，

所以[AB=CD=OE+OF-ED-CF=4cosθ+4sinθ-2.4tanθ-2.4tanθ=4sinθ+4cosθ-2.4sin2θ-2.4cos2θsinθcosθ=4（sinθ+cosθ）-2.4sinθcosθ0<θ<π2]。

令[sinθ+cosθ=t]，则[t=2sinθ+π4]，[∵0<θ<π2]，[∴θ+π4∈π4，3π4]，所以[10]。

故[AB=8kk+352-1=8k-1625k+65]在[25，2-35]上单调递减，所以当[k=2-35]，即[t=2]时，[AB]取最大值[82-245]，故要使大卡车在里侧车道转弯时对任意[θ]，此车都不越中间车道线，大卡车的车长的最大值为[82-245]。

点评：本例题虽然属于三角函数实际问题，但最终探讨的是含有[sinα+cosα]和[sinαcosα]的三角函数值域问题，我们可以通过换元转化为熟悉的函数（如二次函数、分式函数）来解答。这类问题的易错点是忽视新元的取值范围。

三、数形结合策略

对于含有根式和绝对值符号的三角函数，可以通过挖掘它的几何意义，利用数形结合的方法来求解。

［例3］函数[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx]的最大值为           。

分析：利用三角函数的平方关系将[fx]转化为点[P]到点[A、B]的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得答案。

解：因为[5cos2x-4sinx+5=9cos2x-4cos2x-4sinx+5][=9cos2x+4sin2x-4sinx+1=（3cosx）2+（2sinx-1）2]，所以[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx=（3cosx）2+（2sinx-1）2-（3cosx）2]，故[f（x）]的最大值转化为点[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]与[B（0，2sinx）]的距离之差的最大值，因为[-1≤sinx≤1]，[-2≤-2sinx≤2]，[-1≤1-2sinx≤3]，所以[PA-PB≤AB=（1-2sinx）2=1-2sinx≤3]。当且仅当[sinx=-1]时，等号成立，则[PA-PB≤3]，经检验，此时[cosx=0]，[f（x）=5×02-4×（-1）+5-3×0=3]，所以[f（x）≤3]，即[f（x）]的最大值为[3]。

点评：解答本题的精妙之处在于把[f（x）]的最大值转化为点[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]与[B（0，2sinx）]的距离之差的最大值，从几何意义入手，问题迎刃而解。

四、基本不等式策略

基本不等式可以用来求函数的最值，当然也可以用来求三角函数的最值，但需注意基本不等式应用的前提条件和灵活配凑技巧。

［例4］求函数[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2（x∈R）]的最小值。

分析：先将函数变形为[f（x）=96sin2x+3+166cos2x+4]，然后乘以[6sin2x+3+6cos2x+4]，结合基本不等式解决。

解：[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2=96sin2x+3+166cos2x+4=6sin2x+3+6cos2x+413·96sin2x+3+166cos2x+4=11325+9（6cos2x+4）6sin2x+3+16（6sin2x+3）6cos2x+4≥11325+29×16=4913]，当且仅当[6sin2x+33=6cos2x+44]时取等号，即[tanx=±32]时取等号，所以当[tanx=±32]时，函数[f（x）]取得最小值[4913]。

点评：利用基本不等式求三角函数最值的难点在于原三角函数式的合理配凑，同时还需注意等号能否取到。

五、求导策略

导数可以用来求函数的最值，当然也可以用来求三角函数的最值。当函数解析式中含有的三角函数并不统一，且不是齐次式时，求导是最好的方法，但计算量比较大。

［例5］修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段。如图3所示，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为[C]且直径[MN]平行坝面。坝面上点[A]满足[AC⊥MN]，且[AC]长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点[A]到小岛建三段栈道[AB]、[BD]与[BE]，水面上的点[B]在线段[AC]上，且[BD]、[BE]均与圆[C]相切，切点分别为[D]、[E]，其中栈道[AB]、[BD]、[BE]和小岛在同一个平面上。此外在半圆小岛上再修建栈道[ME]、[DN]以及[MN]，则需要修建的栈道总长度的最小值为               百米。

分析：连接[CD]、[CE]，设[∠CBE=∠CBD=θ]，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值。

解：连接[CD]、[CE]，由半圆半径为1得[CD=CE=1]。由对称性，设[∠CBE=∠CBD=θ]，又[CD⊥BD]，[CE⊥BE]，所以[BE=BD=CDtanθ=1tanθ]，[BC=CDsinθ=1sinθ]，易知[∠MCE=∠NCD=θ]，所以[ME=ND=θ]。又[AC=3]，故[AB=AC-BC=3-1sinθ∈（0，2）]，故[sinθ∈13，1]，令[sinθ0=13]且[θ0∈0，π6]，则[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，[θ∈θ0 ，π2]，故[f（θ）=-cosθ（2cosθ-1）sin2θ]。

[[θ] [θ0 ，π3] [π3] [π3，π2] [f（θ）] - 0 + [f（θ）] 单调递减 极小值 单调递增 ]

所以栈道总长度的最小值[f（θ）min=fπ3=2π3+5]。

点评：本题属于实际问题中的三角函数最值问题，但建立的三角函数是非常规三角函数[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，无法经过三角变换化成[f（x）=Asin（ωx+φ）+B]的形式，也无法用换元法转化为其他函数的最值问题，这时就要想到用导数法求最值。利用导数法求三角函数的最值，是新课标高考命题的重要考点。

从以上五种情形可以看出，求三角函数的最值并非“杂乱无章”，而是有规律可循的，在遇到具体问题时，我们必须认真分析其特点，从而合理选择化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法和导数法等。其实，当方法选对，解决这类问题并不难。

（责任编辑 黄桂坚）